八年级数学下册第六章平行试题新版北师大版.docx
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八年级数学下册第六章平行试题新版北师大版
第六章 平行四边形
1.平行四边形的性质
（1）根据平行四边形对边相等，可知平行四边形相邻两边长之和是平行四边形周长的一半.
（2）平行四边形的对角相等，邻角互补，这是根据平行线的性质进行推导得出的，可以用来求角的度数.
（3）平行四边形的对角线互相平分，且一条对角线将平行四边形分成两个全等的三角形，两条对角线将平行四边形分成两组全等的三角形，可以应用全等三角形的性质进行解题.
【例1】在▱ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，则▱ABCD的周长为__________cm.
【标准解答】∵在▱ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，∴CD=AB=6cm，AD=BC=8cm，
∴▱ABCD的周长为6+6+8+8=28（cm）.
答案：
28
【例2】在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（4，2），则顶点D的坐标为（ ）
A.（7，2）B.（5，4）
C.（1，2）D.（2，1）
【标准解答】选C.如图.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∵▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，0），（3，0），（4，2），
∴顶点D的坐标为（1，2）.
【例3】如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是________.
【标准解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=3，AD=BC=4，
∵EF⊥AB，∴EH⊥DC，∠BFE=90°，
∵∠ABC=60°，∴∠HCB=∠B=60°，
∴∠FEB=∠CEH=180°-∠B-∠BFE=30°，
∵E为BC的中点，∴BE=CE=2，
∴CH=BF=1，
由勾股定理得：
EF=EH=
.
∴△DEF的面积是
EF·DH=2
.
答案：
2
【例4】如图，E，F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF，请你猜想：
线段BE与线段DF有怎样的关系?
并对你的猜想加以证明.
【标准解答】猜想：
BE
DF.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CB=AD，CB∥AD，∴∠BCE=∠DAF
在△BCE和△DAF中，
∴△BCE≌△DAF.∴BE=DF，∠BEC=∠DFA.∴BE∥DF，故BE
DF.
【例5】如图，在▱ABCD中，∠B=80°，AE平分∠BAD交BC于点E，CF∥AE交AD于点F，则∠1=（ ）
A.40° B.50° C.60° D.80°
【标准解答】选B.因为∠B=80°，
所以∠BAD=100°，
又AE平分∠BAD，
所以∠BAE=∠DAE=∠BEA=50°，
因为CF∥AE，所以∠1=∠BEA=50°.
【例6】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC，BD相交于点O.若AC=6，则线段AO的长度等于________.
【标准解答】易知四边形ABCD是平行四边形，所以AO=OC=
AC=3.
答案：
3
【例7】如图所示，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是（ ）
A.AC⊥BDB.AB=CD
C.BO=ODD.∠BAD=∠BCD
【标准解答】选A.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB=CD，则选项B正确；又根据平行四边形的对角线互相平分，∴BO=OD，则选项C正确；又∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABC+∠BCD=180°，∠BAD+∠ABC=
180°，∴∠BAD=∠BCD，则选项D正确；由BO=OD，假设AC⊥BD，
又∵OA=OA，∴△ABO≌△ADO，∴AB=AD与已知AB≠AD矛盾，∴AC不垂直BD，则选项A错误.
1.已知▱ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（ ）
A.4B.12C.24D.28
2.若平行四边形ABCD的周长为22cm.AC，BD相交于O，△AOD的周长比△AOB的周长小3cm，则AD=________，AB=________.
2.平行四边形的判定
（1）利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”来说明
【例1】如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的延长线上的一点，且EC∥BD，试说明：
四边形BECD是平行四边形.
【标准解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，即BE∥CD，
∵EC∥BD，∴四边形BECD是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）.
（2）利用“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”来说明
【例2】在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB，试说明：
四边形AFCE是平行四边形.
【标准解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°，
∴∠ADE=∠CBF=60°，
又∵AE=AD，CF=CB，
∴△AED，△CFB是等边三角形，
又在平行四边形ABCD中，AD=BC，DC=AB，∴AE=CF，ED=BF，∴ED+DC=BF+AB，即EC=AF，
∴四边形AFCE是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
（3）利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来说明
【例3】如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC边的中点，若把△ADE绕着点E顺时针旋转180°得到△CFE.试判断四边形DBCF是怎样的四边形，说明你的理由.
【标准解答】四边形DBCF是平行四边形.理由如下：
∵△ADE绕点E顺时针旋转180°，得到△CFE，∴△ADE≌△CFE，且A，E，C和D，E，F在一条直线上，
∴AD=CF，∠A=∠ECF，∴AB∥CF，
又∵D是AB的中点，∴AD=DB=CF，
∴四边形DBCF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）.
（4）利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”来说明
【例4】如图，已知，在平行四边形ABCD中，∠ABC，∠ADC的平分线分别交CD，AB于点E，F，
求证：
四边形DFBE是平行四边形.
【标准解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，∠A=∠C，
∵BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC，
∴∠1=∠3=
∠ADC，∠2=∠4=
∠ABC，∴∠1=∠2=∠3=∠4，
又∵∠DEB=∠4+∠C，∠DFB=∠3+∠A，∠A=∠C，∴∠DEB=∠DFB，
∴四边形DFBE是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）.
（5）利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”来说明
【例5】如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O，点E，F分别为OB，OD的中点，过O任作一直线分别交AB，CD于点G，H.
说明：
四边形EHFG是平行四边形.
【标准解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB∥CD，
∴∠BAO=∠DCO，
又∵∠AOG=∠COH，
∴△AOG≌△COH.
∴OG=OH.
又∵E，F分别为OB，OD的中点，
∴OE=OF，
∴四边形EHFG是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.
1.如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件________（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形.
2.已知：
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF∥BE.
求证：
四边形ABCD为平行四边形.
3.三角形中位线
（1）三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
（2）三角形的中位线定理中说明了三角形中位线与三角形第三边的位置关系与数量关系，为我们证明平行或求线段的长度提供了依据.
【例1】如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A，B两点的点O，再分别取OA，OB的中点M，N，量得MN=20m，则池塘的宽度AB为__________m.
【标准解答】由三角形的中位线定理可知，AB=2MN=40m.
答案：
40
【例2】已知：
如图，在△ABC中，DE，DF是△ABC的中位线，连接EF，AD，其交点为O.求证：
（1）△CDE≌△DBF.
（2）OA=OD.
【标准解答】
（1）∵DE，DF是△ABC的中位线，∴DF=CE，DF∥CE，DB=DC.
∵DF∥CE，∴∠C=∠BDF.
在△CDE和△DBF中
∴△CDE≌△DBF（SAS）.
（2）∵DE，DF是△ABC的中位线，
∴DF=AE，DF∥AE，
∴四边形DEAF是平行四边形，
∵EF与AD交于O点，∴AO=OD.
1.如图，在△ABC中，CD是高，CE是中线，CE=CB，点A，D关于点F对称，过点F作FG∥CD，交AC边于点G，连接GE.若AC=18，BC=12，则△CEG的周长为________.
2.如图，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次连接△A1B1C1的三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为________.
4.多边形的有关问题
（1）多边形的角度计算
①利用多边形内角和公式计算多边形的内角和或边数
【例1】一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为（ ）
A.6B.7C.8D.9
【标准解答】选B.设边数为n，
由题意得（n-2）·180°=900°，解得n=7.
②利用多边形外角和，计算多边形中各角的度数或边数.
【例2】已知一个正多边形的一个内角是120°，则这个多边形的边数是________.
【标准解答】外角是180°-120°=60°，360÷60=6，则这个多边形是六边形.
答案：
六
③利用多边形内角和公式和外角和，计算多边形中对角线条数
【例3】若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是________.
【标准解答】由题意可知（n-2）×180°=1260°，解得n=9，所以从一个顶点出发能引9-3=6（条）对角线.
答案：
6
1.正八边形的每个内角为（ ）
A.120°B.135°C.140°D.144°
2.若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是（ ）
A.12B.11C.10D.9
3.如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是（ ）
A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形
（2）解决多边形问题的方法
①将多边形问题转化为三角形问题解决
在解决多边形问题时，如果无法直接应用内角和公式或外角和时，我们可以将多边形通过连接对角线转化成三角形问题解决.
【例1】求五边形的内角和.
【标准解答1】连接对角线AC，AD，将五边形ABCDE转化成三个三角形：
△ABC，△ADC，△ADE，此时五边形ABCDE的内角和=3×180°=540°.
【标准解答2】在五边形ABCDE内部任取一点O，连接AO，BO，CO，DO，EO，将五边形ABCDE转化为五个三角形△ABO，△BCO，△DCO，△DEO，△AEO，∴五边形ABCDE的内角和=5×180°-360°=540°.实际上点O的位置也可以放在五边形的任意一条边上，或五边形的外部.
②将内角问题转化为外角来解决
一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数，根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以多边形的边数就可以求出外角的度数，再转化为内角的度数.或者利用360除以外角的度数就可以求出外角的个数，即多边形的边数.
【例2】正五边形的每一个内角都等于________°.
【标准解答】正五边形的外角是：
360÷5=72°，则内角的度数是：
180°-72°=108°.
答案：
108
1.正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为（ ）
A.9B.8C.7D.4
2.正多边形的一个外角等于20°，则这个正多边形的边数是________.
（3）多边形剪去一个角的三种情况
①过多边形的一条对角线剪去一个角，则新多边形的边数比原多边形的边数少1.
②过多边形的一个顶点剪去一个角，则新多边形的边数与原多边形的边数相同.
③不过多边形的顶点剪去一个角，则新多边形的边数比原多边形的边数多1.
【例】若把一个多边形剪去一个角，剩余部分的内角和为1440°，那么原多边形有________条边.
【标准解答】设新多边形是n边形，由多边形内角和公式得（n-2）180°=1440°，解得n=10，原多边形边数是10-1=9或10+1=11或10.
答案：
9，10或11
凸六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少?
画出图形说明.
（4）多边形的镶嵌问题
判断多边形能否进行平面镶嵌，关键是检验拼接在同一点的各个角的和是否等于360°.若等于360°，则可以镶嵌；若不等于360°，则不能进行镶嵌.
【例】下列正多边形中，不能铺满地面的是（ ）
A.正三角形B.正方形
C.正六边形D.正七边形
【标准解答】选D.A.∵正三角形的内角是60°，6×60°=360°，∴正三角形能铺满地面；
B.∵正方形的内角是90°，4×90°=360°，∴正方形能铺满地面；
C.∵正六边形的内角是120°，3×120°=360°，∴正六边形能铺满地面；
D.∵正七边形的内角是
，
同任何一个正整数相乘都不等于360°，∴正七边形不能铺满地面.
小芳家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖.建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能密铺地面的，便向她推荐了几种形状的地砖.你认为要使地面密铺，小芳应选择另一种形状的地砖是（ ）
跟踪训练答案解析
1.平行四边形的性质
【跟踪训练】
1.【解析】选B.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵平行四边形ABCD的周长是32，
∴2（AB+BC）=32，∴BC=12.
2.【解析】由平行四边形对角线互相平分知BO=OD，故△AOD周长比△AOB的周长小3cm，实际上就是AB-AD=3（cm）.由平行四边形的周长为22cm可知AD+AB=11cm，解得AB=7cm，AD=4cm.
答案：
4cm 7cm
2.平行四边形的判定
【跟踪训练】
1.【解析】∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形.
答案：
BO=DO
2.【证明】∵AB∥CD，∴∠DCA=∠BAC，
∵DF∥BE，∴∠DFA=∠BEC，
∴∠AEB=∠DFC，
在△AEB和△CFD中
∴△AEB≌△CFD（ASA），∴AB=CD，
∵AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形.
3.三角形中位线
【跟踪训练】
1.【解析】由题意得：
CE=CB=12，
∵点F是AD的中点，FG∥CD，
∴FG是△ADC的中位线，所以CG=
AC=9，
∵点E是AB的中点，∴EG是△ABC的中位线，
∴GE=
BC=6，∴△CEG的周长为：
CE+GE+CG=12+6+9=27.
答案：
27
2.【解析】因为A2，B2，C2是△A1B1C1的三边中点，所以△A2B2C2的周长是
=8，以此类推△A5B5C5的周长为
=1.
答案：
1
4.多边形的有关问题
（1）多边形的角度计算
【跟踪训练】
1.【解析】选B.根据多边形的内角和公式，可得正八边形内角和为：
（8-2）×
180°=1080°，又因为正八边形的每个内角都相等，所以正八边形的每个内角等于1080°÷8=135°.
2.【解析】选A.∵一个正多边形的每个内角为150°，
∴这个正多边形的每个外角=180°-150°=30°，
∴这个正多边形的边数=
=12.
3.【解析】选D.根据题意，得（n-2）·180°=180°，
解得：
n=3.
（2）解决多边形问题的方法
【跟踪训练】
1.【解析】选B.∵正多边形的一个内角为135°，∴外角是180°-135°=45°，
∵360÷45=8，
则这个多边形是八边形.
2.【解析】因为外角是20°，360÷20=18，则这个正多边形是18边形.
答案：
18
（3）多边形剪去一个角的三种情况
【跟踪训练】
【解析】∵六边形剪去一个角的边数有增加1、减少1、不变三种情况，
∴新多边形的边数为7，5，6三种情况，
如图：
（4）多边形的镶嵌问题
【跟踪训练】
【解析】选B.A.正八边形、正三角形内角分别为135°，60°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
B.正方形、正八边形内角分别为90°，135°，由于135×2+90=360，故能铺满；
C.正六边形和正八边形内角分别为120°，135°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满；
D.正八边形、正五边形内角分别为135°，108°，显然不能构成360°的周角，故不能铺满.
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