三角形全等性质和判定.docx
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三角形全等性质和判定
一.本周教学内容:
第十四章复习三角形全等的性质和判定、学会运用五种判定全等的方法
二.教学目标:
1.掌握三角形全等的条件及其运用,学会有条理的思考和简单的推理、表达。
2.会简单的尺规作图。
3.通过三角形全等判定方法的运用过程,掌握应用方法,发展几何思维能力。
4.通过三角形全等定理的学习,体会三角形全等在实际问题中的运用。
三.教学重点和难点:
重点:
寻找三角形全等的条件,正确运用三角形全等的判定方法。
难点:
由条件正确地选择合理的三角形全等的判定方法。
关键:
注重分析和观察,充分运用综合分析法来进行几何的简单推理。
四.知识网络图:
五.知识点复习:
(一)三角形全等
定义:
如图△ABC和△DEF能够完全重合,那么△ABC和△DEF就是全等三角形。
可记作△ABC≌△DEF,读作三角形ABC全等于三角形DEF。
其中对应顶点是A和D,B和E,C和F;对应角是∠A和∠D,∠B和∠E,∠C和∠F;对应边是AB和DE,AC和DF,BC和EF。
注意:
寻找全等三角形的对应角,对应边的一般规律是:
把其中一个图形通过旋转、翻转或平移,能与另一个图形完全重合,则重合的边就是对应边,重合的角就是对应角,表示两个三角形全等时,要把对应字母写在对应位置上。
(二)三角形全等的识别方法。
1.如果两个三角形的三条边分别对应相等,那么这两个三角形全等,简记为SSS。
2.如果两个三角形的两边及这两边的夹角对应相等,那么这两个三角形全等,简记为SAS。
3.如果两个三角形的两个角及这两个角的夹边对应相等,那么这两个三角形全等,简记为ASA。
4.如果两个三角形的两个角及其中的一个角所对的边对应相等,那么这两个三角形全等,简记为AAS。
5.如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等,那么这两个直角三角形全等,简记为HL。
(三)不能判定三角形全等的方法。
以下两种方法是不能判定三角形全等的,有些同学容易混淆。
1.“SSA”
举反例:
如图AC=AD
△ABC与△ABD中,AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但显然△ABC与△ABD不全等。
2.“AAA”——举反例:
形状相同,但大小不同的三角板。
(四)三角形全等的证题思路:
【典型例题】
例1.【99江西】已知,如图,BC=BD,∠C=∠D,求证:
AC=AD。
有一同学证法如下:
证:
连结AB
在ΔABC和ΔABD中
BC=BD
∠C=∠D
AB=AB
∴ΔABC≌ΔABD(SAS)
∴AC=AD
你认为这位同学的证法对吗?
如果错误,错在哪里,应怎样证明?
答:
证法错误。
SAS定理应用错误。
证明:
连结CD
∵BC=BD∴∠BCD=∠BDC
∴∠ACB=∠ADB∴∠ACB+∠BCD=∠ADB+∠BDC
∴∠ACD=∠ADC∴AC=AD
例2.已知:
AB=AC,EB=EC,AE的延长线交BC于D,试说明:
BD=CD
解:
在△ABE和△ACE中
AB=AC,EB=EC,AE=AE
∴△ABE≌△ACE(SSS)
∴∠BAE=∠CAE
在△ABD和△ACD中
∵AB=AC∠BAE=∠CAEAD=AD
∴△ABD≌△ACD(SAS)
∴BD=CD
例3.说一说:
在一次战役中,我军阵地与敌人碉堡隔河相望,需要知道碉堡与我军阵地的距离。
在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下,一个战士利用他头上的帽子就测出了我军阵地与敌人碉堡的距离。
你知道他用的是什么方法?
其中的原理是什么?
答:
这个小战士正是利用了三角形全等的知识,通过可丈量距离的长度来估计自己与敌人的碉堡的距离。
例4.如图,△AOC≌△BOD,∠A和∠B是对应角,AO和BO是对应边,写出其它的对应角,对应边。
解:
∠C和∠D,∠COA和∠DOB是对应角。
AC和BD,CO和DO是对应边。
说明:
此题同学们容易出现的错误是认为∠C与∠B是对应角,∠A与∠D是对应角。
例5.如图所示,D是△ABC的边BC上的中点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E、F,且BF=CE。
求证:
(1)△ABC是等腰三角形
(2)∠A=90°时,试判断四边形AFDE是怎样的四边形,并证明你的结论。
解:
(1)证明:
∵DE⊥AC,DF⊥AB
∴∠BFD=∠DEC=90°
∵D为BC中点
∴BD=DC
在Rt△BFD与Rt△CED中
∴Rt△BFD≌Rt△CED(HL)
∴∠B=∠C
∴AB=AC
即△ABC是等腰三角形
(2)当∠A=90°时,四边形AFDE是正方形
∵∠AFD=∠AED=∠A=90°
∴四边形AFDE是矩形
∵△BFD≌△CED
∴FD=ED
∴四边形AFDE是正方形
例6.试一试
已知:
A、B两点之间被一个池塘隔开,无法直接测量A、B间的距离,请给出一个适合可行的方案,画出设计图,说明依据。
答:
可以根据三角形全等设计合适的方法测量AB之间的距离:
图3
【模拟试题】(答题时间:
40分钟)
一.填空题
1.在△ABC中,∠C=60°,∠A=2∠B,则∠A=_______,∠B=________。
2.图中的两个三角形全等,AB和CD,BC和DA是对应边,用符号表示这两个三角形全等是,还有一组对应边是和,对应角是∠BAC和,∠B和,∠ACB和。
3.木工师傅在做完门框后,为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条(即图中的AB、CD两个木条),这样做所依据的数学道理是___________________。
4.已知AB=AC,AD=AE,∠1=∠2。
说出下列判断正确的理由:
(1)∠EAC=∠DAB;
(2)△ABD≌△ACE;
(3)BD=CE。
解:
(1)∵∠1=∠2()
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD()
∴∠EAC=∠DAB;()
(2)在△ABD和△ACE中,
()
∴△ABD≌△ACE();
(3)∵△ABD≌△ACE
∴BD=CE()。
5.如图所示,AC,BD交于点O,OA=OB,OC=OD,则图中全等三角形有_______对,它们分别是:
。
二.选择题
6.一个三角形的三个内角中,至少有()
A.一个锐角B.两个锐角C.一个钝角D.一个直角
7.如图,在△ABC中,BC边上的高为()
A.BEB.ADC.BFD.CF
8.在△ABC中,∠A-∠B=∠C,那么△ABC是()
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.不能确定
9.如果一个三角形三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点,那么这个三角形是()
A.锐角三角形B.直角三角形
C.钝角三角形D.不能确定
10.如图,AD是△ABC边BC上的高,AE是△ABC的角平分线,∠BAC=46°,∠C=74°,则∠DAE等于()
A.16°B.23°C.44°D.7°
11.如图,△ABD≌△ACE,点B和点C是一对对应顶点,AB=8cm,BD=7cm,AD=6cm,则BE的长是()
A.1cmB.2cmC.4cmD.6cm
三.证明题
12.已知,∠A=∠D,∠ABC=∠DCB,求证:
△ABC≌△DCB;
13.已知AD=CB,∠1=∠2,求证:
△ADC≌△CBA;
14.已知AB∥DE,BC∥EF,D,C在AF上,且AC=DF,求证△ABC≌△DEF;
15.已知AC与BD相交于点O,OA=OC,OB=OD,求证:
△AOB≌△COD;
16.已知AD平分∠BAC且垂直BC,求证:
AB=AC。
17.已知AB=CD,DE=BF,A,C,E,F在同一直线上,且AE=CF,求证:
△ABF≌△CDE,∠D=∠B。
【试题答案】
一.
1.80°,40°
2.△ABC≌△CDA;AC、CA;∠DCA;∠D;∠CAD
3.三角形的稳定性
4.
(1)已知;
(2)已知,已证,已知;SAS;(3)全等三角形对应边相等。
5.三;△AOD≌△BOC;△ACD≌△BDC;△ADB≌△BCA。
二.
6.B7.B8.B9.B10.D11.B
三.
12.证明:
13.证明:
14.证明:
15.证明:
又
16.证明:
17.证明: