第三章函数高中数学竞赛标准教材.docx

第三章函数高中数学竞赛标准教材.docx

《第三章函数高中数学竞赛标准教材.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三章函数高中数学竞赛标准教材.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第三章函数高中数学竞赛标准教材

第三章函数（高中数学竞赛标准教材）

第三函数

一、基础知识

定义1映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对A中的任意一个元素x，在B中都有唯一一个元素与之对应，则称f:

A→B为一个映射。

定义2单射，若f:

A→B是一个映射且对任意x,∈A,x,都有f（x）f（）则称之为单射。

定义3满射，若f:

A→B是映射且对任意∈B，都有一个x∈A使得f（x）=，则称f:

A→B是A到B上的满射。

定义4一一映射，若f:

A→B既是单射又是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆映射，即从B到A由相反的对应法则f-1构成的映射，记作f-1:

A→B。

定义函数，映射f:

A→B中，若A，B都是非空数集，则这个映射为函数。

A称为它的定义域，若x∈A,∈B，且f（x）=（即x对应B中的），则叫做x的象，x叫的原象。

集合{f（x）|x∈A}叫函数的值域。

通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数=3-1的定义域为{x|x≥0,x∈R}

定义6反函数，若函数f:

A→B（通常记作=f（x））是一一映射，则它的逆映射f-1:

A→B叫原函数的反函数，通常写作=f-1（x）这里求反函数的过程是：

在解析式=f（x）中反解x得x=f-1（），然后将x,互换得=f-1（x），最后指出反函数的定义域即原函数的值域。

例如：

函数=的反函数是=1-（x0）

定理1互为反函数的两个函数的图象关于直线=x对称。

定理2在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。

定义7函数的性质。

（1）单调性：

设函数f（x）在区间I上满足对任意的x1,x2∈I并且x1<x2，总有f（x1）<f（x2）（f（x&nt;）>f（x2）），则称f（x）在区间I上是增（减）函数，区间I称为单调增（减）区间。

（2）奇偶性：

设函数=f（x）的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的x∈D，都有f（-x）=-f（x），则称f（x）是奇函数；若对任意的x∈D，都有f（-x）=f（x），则称f（x）是偶函数。

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于轴对称。

（3）周期性：

对于函数f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数时，f（x+T）=f（x）总成立，则称f（x）为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f（x）的最小正周期。

定义8如果实数a<b，则数集{x|a<x<b,x∈R}叫做开区间，记作（a,b），集合{x|a≤x≤b,x∈R}记作闭区间[a,b]，集合{x|a<x≤b}记作半开半闭区间（a,b]，集合{x|a≤x<b}记作半闭半开区间[a,b），集合{x|x>a}记作开区间（a,+∞），集合{x|x≤a}记作半开半闭区间（-∞,a]

定义9函数的图象，点集{（x,）|=f（x）,x∈D}称为函数=f（x）的图象，其中D为f（x）的定义域。

通过画图不难得出函数=f（x）的图象与其他函数图象之间的关系（a,b>0）；

（1）向右平移a个单位得到=f（x-a）的图象；

（2）向左平移a个单位得到=f（x+a）的图象；（3）向下平移b个单位得到=f（x）-b的图象；（4）与函数=f（-x）的图象关于轴对称；（）与函数=-f（-x）的图象关于原点成中心对称；（6）与函数=f-1（x）的图象关于直线=x对称；（7）与函数=-f（x）的图象关于x轴对称。

定理3复合函数=f[g（x）]的单调性，记住四个字：

“同增异减”。

例如=,u=2-x在（-∞,2）上是减函数，=在（0，+∞）上是减函数，所以=在（-∞,2）上是增函数。

注：

复合函数单调性的判断方法为同增异减。

这里不做严格论证，求导之后是显然的。

二、方法与例题

1．数形结合法。

例1求方程|x-1|=的正根的个数

【解】分别画出=|x-1|和=的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。

例2求函数f（x）=的最大值。

【解】f（x）=，记点P（x,x2），A（3，2），B（0，1），则f（x）表示动点P到点A和B距离的差。

因为|PA|-|PA|≤|AB|=,当且仅当P为AB延长线与抛物线=x2的交点时等号成立。

所以f（x）ax=

2函数性质的应用。

例3设x,∈R，且满足，求x+

【解】设f（t）=t3+1997t，先证f（t）在（-∞，+∞）上递增。

事实上，若a<b，则f（b）-f（a）=b3-a3+1997（b-a）=（b-a）（b2+ba+a2+1997）>0，所以f（t）递增。

由题设f（x-1）=-1=f（1-），所以x-1=1-，所以x+=2

例4奇函数f（x）在定义域（-1，1）内是减函数，又f（1-a）+f（1-a2）<0，求a的取值范围。

【解】因为f（x）是奇函数，所以f（1-a2）=-f（a2-1），由题设f（1-a）<f（a2-1）。

又f（x）在定义域（-1，1）上递减，所以-1<1-a<a2-1<1，解得0<a<1。

例设f（x）是定义在（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对∈Z,用I表示区间（2-1,2+1]，已知当x∈I0时，f（x）=x2，求f（x）在I上的解析式。

【解】设x∈I，则2-1<x≤2+1，

所以f（x-2）=（x-2）2

又因为f（x）是以2为周期的函数，

所以当x∈I时，f（x）=f（x-2）=（x-2）2

例6解方程：

（3x-1）（）+（2x-3）（+1）=0

【解】令=3x-1,n=2x-3，方程化为

（+1）+n（+1）=0①

若=0，则由①得n=0，但,n不同时为0，所以0,n0

ⅰ）若>0，则由①得n<0，设f（t）=t（+1）,则f（t）在（0，+∞）上是增函数。

又f（）=f（-n），所以=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以x=

ⅱ）若<0，且n>0。

同理有+n=0,x=,但与<0矛盾。

综上，方程有唯一实数解x=

3配方法。

例7求函数=x+的值域。

【解】=x+=[2x+1+2+1]-1

=（+1）-1≥-1=-

当x=-时，取最小值-，所以函数值域是[-，+∞）。

4．换元法。

例8求函数=（++2）（+1）,x∈[0,1]的值域。

【解】令+=u，因为x∈[0,1]，所以2≤u2=2+2≤4,所以≤u≤2,所以≤≤2，1≤≤2，所以=,u2∈[+2，8]。

所以该函数值域为[2+，8]。

．判别式法。

例9求函数=的值域。

【解】由函数解析式得（-1）x2+3（+1）x+4-4=0①

当1时，①式是关于x的方程有实根。

所以△=9（+1）2-16（-1）2≥0，解得≤≤1

又当=1时，存在x=0使解析式成立，

所以函数值域为[，7]。

6．关于反函数。

例10若函数=f（x）定义域、值域均为R，且存在反函数。

若f（x）在（-∞,+∞）上递增，求证：

=f-1（x）在（-∞,+∞）上也是增函数。

【证明】设x1<x2,且1=f-1（x1）,2=f-1（x2），则x1=f

（1）,x2=f

（2），若1≥2，则因为f（x）在（-∞,+∞）上递增，所以x1≥x2与假设矛盾，所以1<2。

即=f-1（x）在（-∞,+∞）递增。

例11设函数f（x）=，解方程：

f（x）=f-1（x）

【解】首先f（x）定义域为（-∞，-）∪[-，+∞）；其次，设x1,x2是定义域内变量，且x1<x2<-;=>0,

所以f（x）在（-∞，-）上递增，同理f（x）在[-，+∞）上递增。

在方程f（x）=f-1（x）中，记f（x）=f-1（x）=，则≥0，又由f-1（x）=得f（）=x，所以x≥0,所以x,∈[-，+∞）

若x，设x<，则f（x）=<f（）=x，矛盾。

同理若x>也可得出矛盾。

所以x=

即f（x）=x，化简得3x+2x4-4x-1=0,

即（x-1）（3x4+x3+x2+x+1）=0,

因为x≥0，所以3x4+x3+x2+x+1>0，所以x=1

三、基础训练题

1．已知X={-1,0,1},={-2,-1,0,1,2}，映射f：

X→满足：

对任意的x∈X，它在中的象f（x）使得x+f（x）为偶数，这样的映射有_______个。

2．给定A={1，2，3}，B={-1，0，1}和映射f：

X→，若f为单射，则f有_______个；若f为满射，则f有_______个；满足f[f（x）]=f（x）的映射有_______个。

3．若直线=（x-2）与函数=x2+2x图象相交于点（-1，-1），则图象与直线一共有_______个交点。

4．函数=f（x）的值域为[]，则函数g（x）=f（x）+的值域为_______。

．已知f（x）=，则函数g（x）=f[f（x）]的值域为_______。

6．已知f（x）=|x+a|，当x≥3时f（x）为增函数，则a的取值范围是_______。

7．设=f（x）在定义域（，2）内是增函数，则=f（x2-1）的单调递减区间为_______。

8．若函数=（x）存在反函数=-1（x），则=-1（x）的图象与=-（-x）的图象关于直线_______对称。

9．函数f（x）满足=1-，则f（）=_______。

10函数=,x∈（1,+∞）的反函数是_______。

11．求下列函数的值域：

（1）=;

（2）=;（3）=x+2;（4）=

12已知定义在R上，对任意x∈R,f（x）=f（x+2），且f（x）是偶函数，又当x∈[2,3]时，f（x）=x，则当x∈[-2,0]时，求f（x）的解析式。

四、高考水平训练题

1．已知a∈,f（x）定义域是（0,1]，则g（x）=f（x+a）+f（x-a）+f（x）的定义域为_______。

2．设0≤a<1时，f（x）=（a-1）x2-6ax+a+1恒为正值。

则f（x）定义域为_______。

3．映射f:

{a,b,,d}→{1，2，3}满足10<f（a）•f（b）•f（）•f（d）<20，这样的映射f有_______个。

4．设函数=f（x）（x∈R）的值域为R，且为增函数，若方程f（x）=x解集为P，f[f（x）]=x解集为Q，则P，Q的关系为：

P_______Q（填=、、）。

．下列函数是否为奇函数：

（1）f（x）=（x-1）；

（2）g（x）=|2x+1|-|2x-1|;（3）（x）=；（4）=

6设函数=f（x）（x∈R且x0），对任意非零实数x1,x2满足f（x1x2）=f（x1）+f（x2），又f（x）在（0，+∞）是增函数，则不等式f（x）+f（x-）≤0的解集为_______。

7．函数f（x）=，其中P，为R的两个非空子集，又规定f（P）={|=f（x）,x∈P},f（）={|=f（x）,x∈}，给出如下判断：

①若P∩=，则f（P）∩f（）=；②若P∩，则f（P）∩f（）；③若P∪=R,则f（P）∪f（）=R；④若P∪R，则f（P）∪f（）R其中正确的判断是_______。

8．函数=f（x+1）的反函数是=f-1（x+1），并且f

（1）=3997，则f（1998）=_______。

9．已知=f（x）是定义域为[-6，6]的奇函数，且当x∈[0，3]时是一次函数，当x∈[3，6]时是二次函数，又f（6）=2，当x∈[3，6]时，f（x）≤f（）=3。

求f（x）的解析式。

10．设a>0，函数f（x）定义域为R，且f（x+a）=，求证：

f（x）为周期函数。

11．设关于x的方程2x2-tx-2=0的两根为α，β（α<β），已知函数f（x）=,

（1）求f（α）、f（β）；

（2）求证：

f（x）在[α，β]上是增函数；（3）对任意正数x1,x2，求证：

<2|α-β|

五、联赛一试水平训练题

1．奇函数f（x）存在函数f-1（x），若把=f（x）的图象向上平移3个单位，然后向右平移2个单位后，再关于直线=-x对称，得到的曲线所对应的函数是________

2．若a>0，a1,F（x）是奇函数，则G（x）=F（x）是________（奇偶性）

3．若=x，则下列等式中正确的有________①F（-2-x）=-2-F（x）；②F（-x）=；③F（x-1）=F（x）；④F（F（x））=-x

4设函数f：

R→R满足f（0）=1，且对任意x,∈R，都有f（x+1）=f（x）f（）-f（）-x+2，则f（x）=________

．已知f（x）是定义在R上的函数，f

（1）=1，且对任意x∈R都有f（x+）≥f（x）+,f（x+1）≤f（x）+1。

若g（x）=f（x）+1-x，则g（2002）=________

6函数f（x）=的单调递增区间是________

7函数f（x）=的奇偶性是：

________奇函数，________偶函数（填是，非）。

8函数=x+的值域为________

9．设f（x）=,

对任意的a∈R，记V（a）=ax{f（x）-ax|x∈[1,3]}-in{f（x）-ax|x∈[1,3]}，试求V（a）的最小值。

10．解方程组：

（在实数范围内）

11．设∈N+,f:

N+→N+满足：

（1）f（x）严格递增；

（2）对任意n∈N+,有f[f（n）]=n，求证：

对任意n∈N+,都有n≤f（n）≤

六、联赛二试水平训练题

1．求证：

恰有一个定义在所有非零实数上的函数f，满足：

（1）对任意x≠0,f（x）=x•f；

（2）对所有的x≠-且x≠0，有f（x）+f（）=1+f（x+）

2设f（x）对一切x>0有定义，且满足：

（ⅰ）f（x）在（0，+∞）是增函数；（ⅱ）任意x>0,f（x）f=1，试求f

（1）

3f:

[0,1]→R满足：

（1）任意x∈[0,1],f（x）≥0；

（2）f

（1）=1；（3）当x,,x+∈[0,1]时，f（x）+f（）≤f（x+），试求最小常数，对满足

（1），

（2），（3）的函数f（x）都有f（x）≤x

4试求f（x,）=6（x2+2）（x+）-4（x2+x+2）-3（x+）+（x>0,>0）的最小值。

．对给定的正数p,q∈（0,1），有p+q>1≥p2+q2，试求f（x）=（1-x）+在[1-q,p]上的最大值。

6．已知f:

（0,1）→R且f（x）=

当x∈时，试求f（x）的最大值。

7．函数f（x）定义在整数集上，且满足f（n）=，求f（100）的值。

8．函数=f（x）定义在整个实轴上，它的图象在围绕坐标原点旋转角后不变。

（1）求证：

方程f（x）=x恰有一个解；

（2）试给出一个具有上述性质的函数。

9．设Q+是正有理数的集合，试构造一个函数f:

Q+→Q+，满足这样的条：

f（xf（））=x,∈Q+