初中数学七年级下册第9章整式乘法与因式分解93多项式乘多项式作业设计.docx
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初中数学七年级下册第9章整式乘法与因式分解93多项式乘多项式作业设计
9.3多项式乘多项式
一．选择题（共5小题）
1．若（x+2）（x﹣1）＝x2+mx+n，则m+n＝（ ）
A．1B．﹣2C．﹣1D．2
2．若2x3﹣ax2﹣5x+5＝（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，其中a、b为整数，则a+b之值为何？
（ ）
A．﹣4B．﹣2C．0D．4
3．设M＝（x﹣3）（x﹣7），N＝（x﹣2）（x﹣8），则M与N的关系为（ ）
A．M＜NB．M＞NC．M＝ND．不能确定
4．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（a+3b），宽为（2a+b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（ ）
A．2，3，7B．3，7，2C．2，5，3D．2，5，7
5．已知（x﹣m）（x+n）＝x2﹣3x﹣4，则m﹣n的值为（ ）
A．1B．﹣3C．﹣2D．3
二．填空题（共3小题）
6．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片 张．
7．有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a+b），宽为（a+b）的长方形，则需要A类卡片 张，B类卡片 张，C类卡片 张．
8．有足够多的长方形和正方形的卡片，如图．
如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．
（1）请画出如图这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．这个长方形的代数意义是 ．
（2）小明想用类似的方法拼成了一个边长为a+3b和2a+b的矩形框来解释某一个乘法公式，那么小明需用2号卡片 张，3号卡片 张．
三．解答题（共10小题）
9．若（x2+px﹣
）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项，
（1）求p、q的值；
（2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014的值．
10．已知代数式（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）化简以后是一个四次多项式，并且不含二次项，请分别求出m，n的值，并求出一次项系数．
11．观察下列各式
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
…
①根据以上规律，则（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝ ．
②你能否由此归纳出一般性规律：
（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝ ．
③根据②求出：
1+2+22+…+234+235的结果．
12．你能化简（x﹣1）（x99+x98+…+…+x+1）吗？
遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手．然后归纳出一些方法．
（1）分别化简下列各式：
（x﹣1）（x+1）＝ ；
（x﹣1）（x2+x+1）＝ ；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝ ；
…
（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）＝ ．
（2）请你利用上面的结论计算：
299+298+…+2+1．
13．计算：
（1）（3x+2）（2x﹣1）；
（2）（2x﹣8y）（x﹣3y）；
（3）（2m﹣n）（3m﹣4n）；
（4）（2x2﹣1）（2x﹣3）；
（5）（2a﹣3）2；
（6）（3x﹣2）（3x+2）﹣6（x2+x﹣1）．
14．已知多项式x2+ax+1与2x+b的乘积中含x2的项的系数为3，含x项的系数为2，求a+b的值．
15．甲乙两人共同计算一道整式乘法：
（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；由于乙漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10．请你计算出a、b的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果．
16．先阅读后作答：
根据几何图形的面积关系可以说明整式的乘法．例如：
（2a+b）（a十b）＝2a2+3ab+b2，就可以用图①的面积关系来说明．
（1）根据图②写出一个等式：
（2）（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，请你画出一个相应的几何图形加以说明．
17．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？
并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．
18．如图①，在边长为3a+2b的大正方形纸片中，剪掉边长2a+b的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片．
（1）求出拼成的长方形纸片的长和宽；
（2）把这个拼成的长方形纸片的面积加上10a+6b后，就和另一个长方形的面积相等．已知另一长方形的长为5a+3b，求它的宽．
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．若（x+2）（x﹣1）＝x2+mx+n，则m+n＝（ ）
A．1B．﹣2C．﹣1D．2
【分析】依据多项式乘以多项式的法则进行计算，然后对照各项的系数即可求出m，n的值，再相加即可求解．
【解答】解：
∵原式＝x2+x﹣2＝x2+mx+n，
∴m＝1，n＝﹣2．
∴m+n＝1﹣2＝﹣1．
故选：
C．
【点评】本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．
2．若2x3﹣ax2﹣5x+5＝（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，其中a、b为整数，则a+b之值为何？
（ ）
A．﹣4B．﹣2C．0D．4
【分析】先把等式右边整理，在根据对应相等得出a，b的值，代入即可．
【解答】解：
∵2x3﹣ax2﹣5x+5＝（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，
∴2x3﹣ax2﹣5x+5＝2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+b+3，
∴﹣a＝a﹣2b，ab+1＝5，b+3＝5，
解得b＝2，a＝2，
∴a+b＝2+2＝4．
故选：
D．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，让第一个多项式的每一项乘以第二个多项式的每一项，再把所得的积相加．
3．设M＝（x﹣3）（x﹣7），N＝（x﹣2）（x﹣8），则M与N的关系为（ ）
A．M＜NB．M＞NC．M＝ND．不能确定
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，比较即可得到答案．
【解答】解：
M＝（x﹣3）（x﹣7）＝x2﹣10x+21，
N＝（x﹣2）（x﹣8）＝x2﹣10x+16，
M﹣N＝（x2﹣10x+21）﹣（x2﹣10x+16）＝5，
则M＞N．
故选：
B．
【点评】本题考查的是多项式乘多项式，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．
4．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（a+3b），宽为（2a+b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（ ）
A．2，3，7B．3，7，2C．2，5，3D．2，5，7
【分析】根据长方形的面积＝长×宽，求出长为a+3b，宽为2a+b的大长方形的面积是多少，判断出需要A类、B类、C类卡片各多少张即可．
【解答】解：
长为a+3b，宽为2a+b的长方形的面积为：
（a+3b）（2a+b）＝2a2+7ab+3b2，
∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab，
∴需要A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片7张．
故选：
A．
【点评】此题主要考查了多项式乘多项式的运算方法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．已知（x﹣m）（x+n）＝x2﹣3x﹣4，则m﹣n的值为（ ）
A．1B．﹣3C．﹣2D．3
【分析】把原式的左边利用多项式乘多项式展开，合并后与右边对照即可得到m﹣n的值．
【解答】解：
（x﹣m）（x+n）＝x2+nx﹣mx﹣mn＝x2+（n﹣m）x﹣mn，
∵（x﹣m）（x+n）＝x2﹣3x﹣4，
∴n﹣m＝﹣3，
则m﹣n＝3，
故选：
D．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握法则是解本题的关键．
二．填空题（共3小题）
6．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片 3 张．
【分析】拼成的大长方形的面积是（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，即需要一个边长为a的正方形，2个边长为b的正方形和3个C类卡片的面积是3ab．
【解答】解：
（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
则需要C类卡片3张．
故答案为：
3．
【点评】本题考查了多项式乘多项式的运算，需要熟练掌握运算法则并灵活运用，利用各个面积之和等于总的面积也比较关键．
7．有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a+b），宽为（a+b）的长方形，则需要A类卡片 2 张，B类卡片 1 张，C类卡片 3 张．
【分析】首先分别计算大矩形和三类卡片的面积，再进一步根据大矩形的面积应等于三类卡片的面积和进行分析所需三类卡片的数量．
【解答】解：
长为2a+b，宽为a+b的矩形面积为（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，
A图形面积为a2，B图形面积为b2，C图形面积为ab，
则可知需要A类卡片2张，B类卡片1张，C类卡片3张．
故答案为：
2；1；3．
【点评】此题考查的内容是整式的运算与几何的综合题，方法较新颖．注意对此类问题的深入理解．
8．有足够多的长方形和正方形的卡片，如图．
如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．
（1）请画出如图这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．这个长方形的代数意义是 a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b） ．
（2）小明想用类似的方法拼成了一个边长为a+3b和2a+b的矩形框来解释某一个乘法公式，那么小明需用2号卡片 3 张，3号卡片 7 张．
【分析】
（1）画出相关草图，表示出拼合前后的面积即可；
（2）得到所给矩形的面积，看有几个b2，几个ab即可．
【解答】解：
（1）如图所示：
故答案为：
a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）；
（2）（a+3b）（2a+b）＝2a2+ab+6ab+3b2＝2a2+7ab+3b2，
需用2号卡片3张，3号卡片7张．
故答案为：
a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）；3；7．
【点评】考查多项式与多项式相乘问题；根据面积的不同表示方法得到相应的等式是解决本题的关键．
三．解答题（共10小题）
9．若（x2+px﹣
）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项，
（1）求p、q的值；
（2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014的值．
【分析】
（1）形开式子，找出x项与x3令其系数等于0求解．
（2）把p，q的值入求解．
【解答】解：
（1）（x2+px﹣
）（x2﹣3x+q）＝x4+（p﹣3）x3+（q﹣3p﹣
）x2+（qp+1）x+q，
∵积中不含x项与x3项，
∴P﹣3＝0，qp+1＝0
∴p＝3，q＝﹣
，
（2）（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014
＝[﹣2×32×（﹣
）]2+
+
×（﹣
）2
＝36﹣
+
＝35
．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是正确求出p，q的值
10．已知代数式（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）化简以后是一个四次多项式，并且不含二次项，请分别求出m，n的值，并求出一次项系数．
【分析】先把代数式按照多项式乘以多项式展开，因为化简后是一个四次多项式，所以x的最高指数m+2＝4；不含二次项，即二次项的系数为0，即可解答．
【解答】解：
（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）＝mxm+2+3mnx3+2mx2+2mxm+1+6mnx2+4mx﹣xm﹣3nx﹣2，
因为该多项式是四次多项式，
所以m+2＝4，
解得：
m＝2，
原式＝2x4+（6n+4）x3+（3+12n）x2+（8﹣3n）x﹣2
∵多项式不含二次项
∴3+12n＝0，
解得：
n＝
，
所以一次项系数8﹣3n＝8.75．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是明确化简后是一个四次多项式，所以x的最高指数m+2＝4；不含二次项，即二次项的系数为0，即可解答．
11．观察下列各式
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
…
①根据以上规律，则（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝ x7﹣1 ．
②你能否由此归纳出一般性规律：
（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝ xn+1﹣1 ．
③根据②求出：
1+2+22+…+234+235的结果．
【分析】①观察已知各式，得到一般性规律，化简原式即可；
②原式利用得出的规律化简即可得到结果；
③原式变形后，利用得出的规律化简即可得到结果．
【解答】解：
①根据题意得：
（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝x7﹣1；
②根据题意得：
（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1；
③原式＝（2﹣1）（1+2+22+…+234+235）＝236﹣1．
故答案为：
①x7﹣1；②xn+1﹣1；③236﹣1
【点评】此题考查了多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．
12．你能化简（x﹣1）（x99+x98+…+…+x+1）吗？
遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手．然后归纳出一些方法．
（1）分别化简下列各式：
（x﹣1）（x+1）＝ x2﹣1 ；
（x﹣1）（x2+x+1）＝ x3﹣1 ；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝ x4﹣1 ；
…
（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）＝ x100﹣1 ．
（2）请你利用上面的结论计算：
299+298+…+2+1．
【分析】
（1）归纳总结得到规律，写出结果即可；
（2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．
【解答】解：
（1）（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）＝x100﹣1；
（2）299+298+…+2+1＝（2﹣1）×（299+298+…+2+1）＝2100﹣1．
故答案为：
（1）x2﹣1；x3﹣1；x4﹣1；x100﹣1
【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．计算：
（1）（3x+2）（2x﹣1）；
（2）（2x﹣8y）（x﹣3y）；
（3）（2m﹣n）（3m﹣4n）；
（4）（2x2﹣1）（2x﹣3）；
（5）（2a﹣3）2；
（6）（3x﹣2）（3x+2）﹣6（x2+x﹣1）．
【分析】根据多项式乘多项式的法则，用第一个多项式的每一项成第二个多项式的每一项，把所得的积相加，可得
（1）﹣﹣（4）的答案，根据乘法公式，可得（5）、（6）的答案．
【解答】解
（1）原式＝3x•2x﹣3x+2×2x﹣2＝6x2+x﹣2；
（2）原式＝2x•x﹣2x•3y﹣8y•x+8y•3y＝2x2﹣14xy+24y2；
（3）原式＝2m•3m﹣2m•4n﹣3m•n+n•4n＝6m2﹣11mn+4n2；
（4）原式＝2x2•2x+2x2×（﹣3）﹣2x+3＝4x3﹣6x2﹣2x+3；
（5）原式＝（2a）2﹣2•2a•3+32＝4a2﹣12a+9；
（6）原式＝（3x）2﹣4﹣6x2﹣6x+6＝3x2﹣6x+2．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，根据法则计算是解题关键．
14．已知多项式x2+ax+1与2x+b的乘积中含x2的项的系数为3，含x项的系数为2，求a+b的值．
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据题意求出a与b的值，即可求出a+b的值．
【解答】解：
根据题意得：
（x2+ax+1）（2x+b）＝2x3+（b+2a）x2+（ab+2）x+b，
∵乘积中含x2的项的系数为3，含x项的系数为2，
∴b+2a＝3，ab+2＝2，
解得：
a＝
，b＝0；a＝0，b＝3，
则a+b＝
或3．
【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．甲乙两人共同计算一道整式乘法：
（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；由于乙漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10．请你计算出a、b的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果．
【分析】先按乙错误的说法得出的系数的数值求出a，b的值，再把a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．
【解答】解：
∵甲得到的算式：
（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab＝6x2+11x﹣10
对应的系数相等，2b﹣3a＝11，ab＝10，
乙得到的算式：
（2x+a）（x+b）＝2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣9x+10
对应的系数相等，2b+a＝﹣9，ab＝10，
∴
，
解得：
．
∴正确的式子：
（2x﹣5）（3x﹣2）＝6x2﹣19x+10．
【点评】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常考题型，解题时要细心．
16．先阅读后作答：
根据几何图形的面积关系可以说明整式的乘法．例如：
（2a+b）（a十b）＝2a2+3ab+b2，就可以用图①的面积关系来说明．
（1）根据图②写出一个等式：
（2）（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，请你画出一个相应的几何图形加以说明．
【分析】
（1）利用长方形的面积公式即可证明．
（2）画一个长为x+p，宽为x+q的长方形即可．
【解答】解：
①（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2；
②画出的图形如下：
（答案不唯一，只要画图正确即得分）
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．
17．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？
并求出当a＝3，b＝2时的绿化面积．
【分析】根据多项式乘多项式的法则求出阴影部分的面积，代入计算即可．
【解答】解：
阴影部分的面积＝（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2
＝6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2
＝5a2+3ab，
当a＝3，b＝2时，原式＝5×32+3×3×2＝63（平方米）．
【点评】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
18．如图①，在边长为3a+2b的大正方形纸片中，剪掉边长2a+b的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片．
（1）求出拼成的长方形纸片的长和宽；
（2）把这个拼成的长方形纸片的面积加上10a+6b后，就和另一个长方形的面积相等．已知另一长方形的长为5a+3b，求它的宽．
【分析】
（1）根据图①表示出拼成长方形的长与宽；
（2）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：
（1）长方形的长为：
3a+2b+2a+b＝5a+3b．
长方形的宽为：
（3a+2b）﹣（2a+b）＝3a+2b﹣2a﹣b＝a+b．
（2）另一个长方形的宽：
[（5a+3b）（a+b）+10a+6b]÷（5a+3b）＝a+b+2．
【点评】此题考查了整式的混合运算，弄清题意是解本题的关键．
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