显然m2≠1（否则x1x2＝0，x1，x2中至少有一个为0，直线OM，ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾）．
设原点O到直线的距离为d，
则S△OMN＝|MN|d
＝··|x1－x2|·
＝|m|＝.
故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为（0,1）．
思维升华解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．
（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．
（4）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．
（5）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
跟踪训练1（2018·浙江）如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C：
y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．
（1）设AB中点为M，证明：
PM垂直于y轴；
（2）若P是半椭圆x2＋＝1（x<0）上的动点，求△PAB面积的取值范围．
（1）证明 设P（x0，y0），A，B.
因为PA，PB的中点在抛物线上，
所以y1，y2为方程2＝4·，
即y2－2y0y＋8x0－y＝0的两个不同的实根．
所以y1＋y2＝2y0，
所以PM垂直于y轴．
（2）解 由
（1）可知
所以|PM|＝（y＋y）－x0＝y－3x0，
|y1－y2|＝2.
所以△PAB的面积
S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝
.
因为x＋＝1（－1≤x0<0），
所以y－4x0＝－4x－4x0＋4∈[4,5]，
所以△PAB面积的取值范围是.
题型二 最值问题
命题点1 利用三角函数有界性求最值
例2过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是（ ）
A．2B.
C．4D．2
答案 C
解析 设直线AB的倾斜角为θ，
可得|AF|＝，|BF|＝，
则|AF|·|BF|＝×＝≥4.
命题点2 数形结合利用几何性质求最值
例3在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点．若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为________．
答案
解析 双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，故两平行线间的距离d＝＝.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤，故c的最大值为.
命题点3 转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值
例4已知点P是圆O：
x2＋y2＝1上任意一点，过点P作PQ⊥y轴于点Q，延长QP到点M，使＝.
（1）求点M的轨迹E的方程；
（2）过点C（m,0）作圆O的切线l，交
（1）中的曲线E于A，B两点，求△AOB面积的最大值．
解
（1）设M（x，y），∵＝，
∴P为QM的中点，又有PQ⊥y轴，∴P，
∵点P是圆O：
x2＋y2＝1上的点，∴2＋y2＝1，
即点M的轨迹E的方程为＋y2＝1.
（2）由题意可知直线l与y轴不垂直，
故可设l：
x＝ty＋m，t∈R，A（x1，y1），B（x2，y2），
∵l与圆O：
x2＋y2＝1相切，
∴＝1，即m2＝t2＋1，①
由
消去x，并整理得（t2＋4）y2＋2mty＋m2－4＝0，
其中Δ＝4m2t2－4（t2＋4）（m2－4）＝48>0，
∴y1＋y2＝－，y1y2＝.②
∴|AB|＝
＝，
将①②代入上式得
|AB|＝＝，|m|≥1，
∴S△AOB＝|AB|·1＝·
＝≤＝1，
当且仅当|m|＝，即m＝±时，等号成立，
∴△AOB面积的最大值为1.
思维升华处理圆锥曲线最值问题的求解方法
圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：
一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
跟踪训练2（2018·邢台模拟）已知椭圆＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋对称．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．
解
（1）由题意知m≠0，可设直线AB的方程为
y＝－x＋b.由
消去y，得x2－x＋b2－1＝0.
因为直线y＝－x＋b与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点，所以Δ＝－2b2＋2＋>0，①
将AB的中点M代入直线方程y＝mx＋，解得b＝－，②
由①②得m<－或m>.
（2）令t＝∈∪，
则t2∈.
则|AB|＝·，
且O到直线AB的距离为d＝.
设△AOB的面积为S（t），
所以S（t）＝|AB|·d＝≤，
当且仅当t2＝时，等号成立，
此时满足t2∈.
故△AOB面积的最大值为.
1．已知P（x0，y0）是椭圆C：
＋y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·<0，则x0的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
答案 A
解析 由题意可知，F1（－，0），F2（，0），
则·＝（x0＋）（x0－）＋y＝x＋y－3<0，
点P在椭圆上，则y＝1－，
故x＋－3<0，解得－即x0的取值范围是.
2．定长为4的线段MN的两端点在抛物线y2＝x上移动，设点P为线段MN的中点，则点P到y轴距离的最小值为（ ）
A．1B.C．2D．5
答案 B
解析 设M（x1，y1），N（x2，y2），抛物线y2＝x的焦点为F，抛物线的准线为x＝－，所求的距离d＝＝－＝－，所以－≥－＝（两边之和大于第三边且M，N，F三点共线时取等号）．
3．过抛物线y2＝x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角θ≥，点A在x轴上方，则|FA|的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
答案 D
解析 记点A的横坐标是x1，则有|AF|＝x1＋
＝＋＝＋|AF|cosθ，
|AF|（1－cosθ）＝，|AF|＝.
由≤θ<π得－1即|AF|的取值范围是.
4．已知椭圆＋＝1（a>b>0）的中心为O，一个焦点为F，若以O为圆心，|OF|为半径的圆与椭圆恒有公共点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
答案 A
解析 由于以O为圆心，以b为半径的圆内切于椭圆，所以要使以O为圆心，以c为半径的圆与椭圆恒有公共点，需满足c≥b，则c2≥b2＝a2－c2，所以2c2≥a2，所以≤e<1，故选A.
5．（2018·云南昆明一中摸底）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px（p>0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（ ）
A.B.C.D．1
答案 A
解析 由题意可得F，设P（y0>0），
则＝＋＝＋＝＋（－）
＝＋＝，
可得k＝＝≤＝.
当且仅当＝时取得等号，故选A.
6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：
x2＝4y，点P是C的准线l上的动点，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则△AOB面积的最小值为（ ）
A.B．2C．2D．4
答案 B
解析 设P（x0，－1），A（x1，y1），B（x2，y2），
又A，B在抛物线上，所以y1＝，y2＝.
因为y′＝，
则过点A，B的切线分别为y－＝（x－x1），y－＝（x－x2）均过点P（x0，－1），
则－1－＝（x0－x1），－1－＝（x0－x2），即x1，x2是方程－1－＝（x0－x）的两根，则x1＋x2＝2x0，x1x2＝－4，设直线AB的方程为y＝kx＋b，联立得x2－4kx－4b＝0，则x1x2＝－4b＝－4，
即b＝1，|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·，
O到直线AB的距离d＝，
则S△AOB＝|AB|d＝≥2，
即△AOB的面积的最小值为2，故选B.
7．椭圆C：
＋y2＝1（a>1）的离心率为，F1，F2是C的两个焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，则|AF2|＋|BF2|的最大值等于________．
答案 7
解析 因为椭圆C的离心率为，所以＝，
解得a＝2，由椭圆定义得|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，
即|AF2|＋|BF2|＝8－|AB|，
而由焦点弦性质，知当AB⊥x轴时，|AB|取最小值2×＝1，因此|AF2|＋|BF2|的最大值等于8－1＝7.
8．（2018·晋城模拟）已知F1，F2是双曲线－＝1（a>0，b>0）的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，如果|PF1|＝t|PF2|（t∈（1,3]），则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是______________．
答案 （0，]
解析 由双曲线的定义及题意可得
解得
又|PF1|＋|PF2|≥2c，
∴|PF1|＋|PF2|＝＋≥2c，
整理得e＝≤＝1＋，
∵1又＝＝e2－1，
∴0<≤3，故0<≤.
∴双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是（0，]．
9．（2018·海口模拟）已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点，若△PQF2的周长为16，则的最大值为________．
答案
解析 由题意，得△ABF2的周长为32，
∴|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝32，
∵|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a，|AB|＝，
∴＝32－4a，∴b＝（0∴＝，令t＝a＋1（1则＝＝
＝，
令m＝，则＝，
当m＝－＝，即a＝，b＝时，的最大值为＝.
10．椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于P，Q两点，则△F1PQ的内切圆面积的最大值是________．
答案
解析 由题意得，直线l的斜率不为0，所以令直线l：
x＝my＋1，与椭圆方程联立消去x得（3m2＋4）y2＋6my－9＝0，可设P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1＋y2＝－，y1y2＝－.可知
＝|F1F2||y1－y2|＝＝12，
又＝≤，
故
≤3.三角形周长与三角形内切圆的半径的积等于三角形面积的二倍，则内切圆半径r＝
≤，其面积最大值为.
11．已知曲线C：
y2＝4x，曲线M：
（x－1）2＋y2＝4（x≥1），直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点．
（1）若·＝－4，求证：
直线l恒过定点；
（2）若直线l与曲线M相切，求·（点P坐标为（1,0））的取值范围．
（1）证明 由已知得直线l的斜率不为0，
可设l：
x＝my＋n，
A（x1，y1），B（x2，y2），
由得y2－4my－4n＝0，
∴y1＋y2＝4m，y1·y2＝－4n.
∴x1＋x2＝4m2＋2n，x1·x2＝n2.
∴由·＝－4可得，
x1·x2＋y1·y2＝n2－4n＝－4，解得n＝2.
∴l：
x＝my＋2，
∴直线l恒过定点（2,0）．
（2）解 直线l与曲线M相切，M（1,0），显然n≥3.
∴＝2，整理得4m2＝n2－2n－3.①
由
（1）及①可得，
·＝（x1－1，y1）·（x2－1，y2）
＝（x1－1）（x2－1）＋y1y2
＝x1x2－（x1＋x2）＋1＋y1y2
＝n2－4m2－2n＋1－4n
＝n2－4m2－6n＋1＝4－4n，
∴·≤－8，
即·的取值范围是（－∞，－8]．
12.（2018·南昌测试）已知椭圆＋＝1（a>b>0）的一个顶点坐标为B1（0，），离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，点P是该椭圆内一点，四边形ABCD（AB∥CD）的对角线AC和BD交于点P，设直线AB：
y＝x＋m，记g（m）＝S，求f（m）＝g（m）－m3＋4m－3的最大值．
解
（1）顶点坐标为B1（0，），b2＝2，＝，
椭圆方程为＋＝1.
（2）联立lAB与椭圆方程
整理得3x2＋4mx＋2m2－4＝0，
Δ＝48－8m2>0，即m2<6，
又直线AB不过点P，得m≠.
设A（x1，y1），B（x2，y2），
x1＋x2＝，x1x2＝，
|x1－x2|＝，
设点P到直线AB的距离为d，
g（m）＝d2|AB|2＝··2·
＝，
f（m）＝
＝·2m2≤·2＝（当且仅当m2＝时取等号），
所以f（m）max＝，
此时m＝±∈∪.
13．已知双曲线Γ：
－＝1（a>0，b>0）的右顶点为A，与x轴平行的直线交Γ于B，C两点，记∠BAC＝θ，若Γ的离心率为，则（ ）
A．θ∈B．θ＝
C．θ∈D．θ＝
答案 B
解析 ∵e＝＝，∴c＝a，∴b2＝c2－a2＝a2，
∴双曲线方程可变形为x2－y2＝a2.设B（x0，y0），由对称性可知C（－x0，y0），∵点B（x0，y0）在双曲线上，
∴x－y＝a2.∵A（a,0），∴＝（x0－a，y0），＝（－x0－a，y0），∴·＝（x0－a）·（－x0－a）＋y＝a2－x＋y＝0，∴⊥，即θ＝.故选B.
14．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最小值为__________．
答案 6
解析 点P为椭圆＋＝1上的任意一点，
设P（x，y）（－3≤x≤3，－2≤y≤2），
由题意得左焦点F（－1,0），
∴＝（x，y），＝（x＋1，y），
∴·＝x（x＋1）＋y2＝x2＋x＋
＝·2＋.
∵－3≤x≤3，∴≤x＋≤，
∴≤2≤，
∴≤2≤，
∴6≤·2＋≤12，
即6≤·≤12.故最小值为6.
15．如图，由抛物线y2＝12x与圆E：
（x－3）2＋y2＝16的实线部分构成图形Ω，过点P（3,0）的直线始终与图形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB|的取值范围为（ ）
A．[4,5]B．[7,8]C．[6,7]D．[5,6]
答案 B
解析 由题意可知抛物线y2＝12x的焦点为F（3,0），圆（x－3）2＋y2＝16的圆心为E（3,0），因此点P，F，E三点重合，所以|PA|＝4，设B（x0，y0），则由抛物线的定义可知|PB|＝x0＋3，由得（x－3）2＋12x＝16，整理得x2＋6x－7＝0，解得x1＝1，x2＝－7（舍去），设圆E与抛物线交于C，D两点，所以xC＝xD＝1，因此0≤x0≤1，又|AB|＝|AP|＋|BP|＝4＋x0＋3＝x0＋7，所以|AB|＝x0＋7∈[7,8]，故选B.
16．（2018·南昌测试）已知P是椭圆C：
＋＝1（a>b>0）与抛物线E：
y2＝2px（p>0）的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F.
（1）求椭圆C及抛物线E的方程；
（2）设过F且互相垂直的两动直线l1，l2，l1与椭圆C交于A，B两点，l2与抛物线E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．
解
（1）∵P是抛物线E：
y2＝2px（p>0）上一点，∴p＝2，即抛物线E的方程为y2＝4x，F（1,0），
∴a2－b2＝1.
又∵P在椭圆C：
＋＝1上，
∴＋＝1，结合a2－b2＝1知b2＝3（舍负），a2＝4，
∴椭圆C的方程为＋＝1，
抛物线E的方程为y2＝4x.
（2）由题意可知直线l1斜率存在，设直线l1的方程为y＝k（x－1），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．
①当k＝0时，|AB|＝4，直线l2的方程为x＝1，|CD|＝4，故S四边形ACBD＝·|AB|·|CD|＝8.
②当k≠0时，直线l2的方程为y＝－（x－1），
由
得（3＋4k2）x2－8k2x＋4k2－12＝0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
由弦长公式知|AB|＝|x1－x2|
＝
＝.
同理可得|CD|＝4（k2＋1）．
∴S四边形ACBD＝·|AB|·|CD|
＝··4（k2＋1）
＝.
令t＝k2＋1，t∈（1，＋∞），
则S四边形ACBD＝＝＝，
当t∈（1，＋∞）时，∈（0,1），
－2＋4<3，S四边形ACBD>＝8.
综上所述，四边形ACBD面积的最小值为8.
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