数学与应用数学专业数学分析1教学大纲.docx
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数学与应用数学专业数学分析1教学大纲
数学分析
（1）课程教学大纲
第一部份前言
一、课程基本信息
1.课程类别：
专业基础课
2.开课单位：
数学与财经系
3.适用专业：
数学与应用数学专业
4.备选的教材：
《数学分析（第四版）》.华东师范大学数学系编．高等教育出版社，2010．
二、课程性质和目标
本课程是数学与应用数学专业的一门重要专业基础课，是许多后继课程如微分几何，微分方程，复变函数，实变函数与泛函分析，概率论与数理统计等课程必备的基础。
本课程的教学目的是使学生获得极限论，一元函数微分学，无穷级数与多元函数微积分学等方面的系统知识,为进一步学习复变函数、微分方程、微分几何、概率论、实变函数与泛函分析等后继课程打下坚实的基础，也为深入理解初等数学、指导中学数学教学打下必要的基础。
通过本门课程系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识；培养严密的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解决实际应用问题的能力。
三、课程学时与学分
教学时数：
84学时
学分数：
5学分
教学时数具体分配：
教学内容
理论教学（学时）
实践教学（学时）
合计（学时）
第一章实数集与函数
7
1
8
第二章数列极限
14
2
16
第三章函数极限
11
2
13
第四章连续函数
7
1
8
第五章导数与微分
12
2
14
第六章微分学基本定理及其运用
22
2
24
合计
74
10
84
第二部份教学内容及其要求
第一章实数集与函数
1、教学目标：
要求学生理解并熟练运用实数的有序性、稠密性与封闭性；掌握邻域的概念；牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式；理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题证明中正确地加以应用；深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数、有界函数、单调函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；牢记基本初等函数的定义、性质及其图象，会求函数的定义域，会分析函数的复合关系。
2、教学重点：
函数、确界的概念及其有关性质。
3、教学难点：
确界的概念
4、教学时数
教学内容
理论教学（学时）
实践教学（学时）
合计（学时）
第一节实数
1
1
第二节数集确界原理
3
3
第三节函数概念
1
1
第四节具有某些特征的函数
2
1
3
合计
7
1
8
5、教学内容纲要
§1实数
一、实数及其性质
二、绝对值与不等式
§2数集・确界原理
一、区间与邻域
二、有界集・确界原理
§3函数概念
一、函数的定义
二、函数的表示法
三、函数的四则运算
四、复合函数
五、反函数
六、初等函数
§4具有某些特性的函数
一、有界函数
二、单调函数
三、奇函数和偶函数
四、周期函数
6、课程资源
（1）
（2）《微积分学教程》.F.M.菲赫金歌菲.人民教育出版社，1980.
（3）《数学分析讲义（第五版）》.刘玉琏,傅沛仁.高等教育出版社,2010.
（4）《数学分析》.复旦大学数学系.高等教育出版社,1995.
（5）《数学分析中典型的问题及方法（第二版）》.裴礼文.高等教育出版社，1989.
7、实践教学环节
主要安排学生初步应用数学软件绘制函数的图形、观察函数的性态、分析函数的性质；安排课后习题讨论以及章节结束后指导学生总结本章教学内容，撰写学习小论文。
8、教学策略及教学方法建议
本章内容以课堂讲授为主，充分利用现代教育技术，结合计算机软件与多媒体辅助教学。
第二章数列极限
1、教学目标：
理解和掌握数列极限的概念，能用定义证明一些简单的数列极限；理解数列极限的性质，会运用数列极限的性质进行数列极限的运算，掌握并会应用数列的单调有界定理、柯西收敛准则判断数列的收敛性。
2、教学重点：
数列极限的
定义、数列极限的性质、单调有界原理、柯西收敛准则。
3、教学难点：
数列极限的
定义、单调有界原理、柯西收敛准则。
4、教学时数
教学内容
理论教学
（学时）
实践教学
（学时）
合计（学时）
第一节数列极限概念
6
6
第二节收敛数列的性质
5
1
6
第三节数列极限存在的条件
3
1
4
合计
14
2
16
5、教学内容纲要
§1数列极限概念
§2收敛数列的性质
§3数列极限存在的条件
6、课程资源
（1）
（2）《微积分学教程》.F.M.菲赫金歌菲.人民教育出版社，1980.
（3）《数学分析讲义（第五版）》.刘玉琏,傅沛仁.高等教育出版社,2010.
（4）《数学分析》.复旦大学数学系.高等教育出版社,1995.
（5）《数学分析中典型的问题及方法（第二版）》.裴礼文.高等教育出版社，1989.
7、实践教学环节
主要安排学生初步应用数学软件求数列的极限；安排课后习题讨论以及章节结束后指导学生总结本章教学内容，撰写学习小论文。
8、教学策略及教学方法建议
本章内容以课堂讲授为主，充分利用现代教育技术，结合计算机软件与多媒体辅助教学。
第三章函数极限
1、教学目标：
掌握函数极限的定义，掌握函数极限的性质，能按定义证明函数极限，能根据极限的性质正确地进行极限的计算和无穷小阶的比较。
2、教学重点：
函数极限的定义及其性质、两个重要极限、无穷小量在极限运算中的应用
3、教学难点：
函数极限存在的条件
4、教学时数
教学内容
理论教学
（学时）
实践教学
（学时）
合计（学时）
第一节函数极限的概念
2
2
第二节函数极限的性质
3
1
4
第三节数列极限存在的条件
2
2
第四节两个重要极限
2
2
第五节无穷小量和无穷大量
2
1
3
合计
11
2
13
5、教学内容纲要
§1函数极限概念
一、x趋于∞时函数的极限
二、x趋于x0时函数的极限
§2函数极限的性质
§3函数极限存在的条件
§4两个重要的极限
一、
二、
§5无穷小量与无穷大量
一、无穷小量
二、无穷小量阶的比较
三、无穷大量
四、曲线的渐近线
6、课程资源
（1）
（2）《微积分学教程》.F.M.菲赫金歌菲.人民教育出版社，1980.
（3）《数学分析讲义（第五版）》.刘玉琏,傅沛仁.高等教育出版社,2010.
（4）《数学分析》.复旦大学数学系.高等教育出版社,1995.
（5）《数学分析中典型的问题及方法（第二版）》.裴文礼.高等教育出版社，1989.
7、实践教学环节
主要安排学生初步应用数学软件绘制函数的图形、观察函数的性态、分析函数极限的性质；利用数学软件工具求函数的极限；安排课后习题讨论以及章节结束后指导学生总结本章教学内容，撰写学习小论文。
8、教学策略及教学方法建议
本章内容以课堂讲授为主，充分利用现代教育技术，结合计算机软件与多媒体辅助教学。
第四章函数的连续性
1、教学目标：
掌握连续函数的定义，理解一致连续的概念，掌握闭区间上连续函数的性质及零点定理的应用。
2、教学重点：
连续函数的定义、闭区间连续函数的性质及其应用
3、教学难点：
一致连续的概念
4、教学时数
教学内容
理论教学
（学时）
实践教学
（学时）
合计（学时）
第一节连续性概念
2
2
第二节连续函数的性质
3
1
4
第三节初等函数的连续性
2
2
合计
7
1
8
5、教学内容纲要
§1连续性概念
一、函数在一点的连续性
二、间断点及其分类
三、区间上的连续函数
§2连续函数的性质
一、连续函数的局部性质
二、闭区间上连续函数的基本性质
三、反函数的连续性
四、一致连续性
§3初等函数的连续性
一、指数函数的连续性
二、初等函数的连续性
6、课程资源
（1）
（2）《微积分学教程》.F.M.菲赫金歌菲.人民教育出版社，1980.
（3）《数学分析讲义（第五版）》.刘玉琏,傅沛仁.高等教育出版社,2010.
（4）《数学分析》.复旦大学数学系.高等教育出版社,1995.
（5）《数学分析中典型的问题及方法（第二版）》.裴礼文.高等教育出版社，1989.
7、实践教学环节
主要安排学生应用数学软件绘制连续函数的图形、观察连续函数的性态、分析连续函数的性质；利用数学软件工具求函数的零点；安排课后习题讨论以及章节结束后指导学生总结本章教学内容，撰写学习小论文。
8、教学策略及教学方法建议
本章内容以课堂讲授为主，充分利用现代教育技术，结合计算机软件与多媒体辅助教学。
第五章导数和微分
1、教学目标
掌握导数和微分的概念，掌握导数的基本公式和求导法则，能熟练地计算复合函数的导数，掌握微分公式及其应用。
2、教学重点：
导数与微分的概念、求导方法
3、教学难点：
一致连续的概念
4、教学时数
教学内容
理论教学
（学时）
实践教学
（学时）
合计（学时）
第一节导数的概念
2
2
第二节求导法则
5
1
6
第三节高阶导数
2
2
第四节微分
3
1
4
合计
12
2
14
5、教学内容纲要
§1导数的概念
一、导数的定义
二、导函数
三、导数的几何意义
§2求导法则
一、导数的四则运算
二、反函数的导数
三、复合函数的导数
四、基本求导法则与公式
§3参变量函数的导数
§4高阶导数
§5微分
一、微分的概念
二、微分的运算法则
三、高阶微分
四、微分在近似计算中的应用
6、课程资源
（1）
（2）《微积分学教程》.F.M.菲赫金歌菲.人民教育出版社，1980.
（3）《数学分析讲义（第五版）》.刘玉琏,傅沛仁.高等教育出版社,2010.
（4）《数学分析》.复旦大学数学系.高等教育出版社,1995.
（5）《数学分析中典型的问题及方法（第二版）》.裴礼文.高等教育出版社，1989.
7、实践教学环节
安排学生使用数学软件求函数的导数；安排课后习题讨论以及章节结束后指导学生总结本章教学内容、总结求导法则和微分在生产生活中的应用，撰写学习小论文。
8、教学策略及教学方法建议
本章内容以课堂讲授为主，充分利用现代教育技术，结合计算机软件与多媒体辅助教学。
第六章微分中值定理及其应用
1、教学目标：
掌握费马定理、洛尔定理、拉格朗日中值及柯西中值定理及其应用，能判断函数的单调性、凸凹性、极值点及拐点，会作函数的图象，会利用函数的图像初步得出函数的一些性质。
2、教学重点：
费马定理、洛尔定理、拉格朗日中值及柯西中值定理及其在判断函数形态方面的应用。
3、教学难点：
中值定理之间的关系
4、教学时数
教学内容
理论教学
（学时）
实践教学
（学时）
合计（学时）
第一节拉格朗日定理和函数的单调性
5
5
第二节柯西中值定理和不定式极限
5
6
第三节泰勒公式
4
1
5
第四节函数的极值与最大（小）值
2
2
第五节函数的凸性与拐点
3
3
第六节函数图象的讨论
2
1
3
第七节方程的近似解
1
1
合计
22
2
24
5、教学内容纲要
§1拉格朗日定理和函数的单调性
一、罗尔定理与拉格朗日定理
二、单调函数
§2柯西中值定理和不定式极限
一、柯西中值定理
二、不定式极限
§3泰勒公式
一、带有佩亚诺型余项的泰勒公式
二、带有拉格朗日型余项的泰勒公式
三、在近似计算上的应用
§4函数的极值与最大（小）值
一、极值判别
二、最大值与最小值
§5函数的凸性与拐点
§6函数图象的讨论
*§7方程的近似解
本节主要介绍集中求方程近似解方法的思想，可结合数学软件实现。
6、课程资源
（1）
（2）《微积分学教程》.F.M.菲赫金歌菲.人民教育出版社，1980.
（3）《数学分析讲义（第五版）》.刘玉琏,傅沛仁.高等教育出版社,2010.
（4）《数学分析》.复旦大学数学系.高等教育出版社,1995.
（5）《数学分析中典型的问题及方法（第二版）》.裴礼文.高等教育出版社，1989.
7、实践教学环节
安排学生使用数学软件求极限、绘制函数图象；安排课后习题讨论以及章节结束后指导学生总结本章教学内容，总结泰勒公式的应用、总结求极限的方法，撰写学习小论文。
8、教学策略及教学方法建议
本章内容以课堂讲授为主，充分利用现代教育技术，结合计算机软件与多媒体辅助教学。
第三部份课程的考核方式及要求
课程成绩以百分制呈现。
课程实行严格的考勤制度,累计缺课达到本门课程的三分之一者,本门课程重修，不得参加期末考试。
平时作业、课堂教学情况和考勤占本门课程成绩的30%，期末考核采用闭卷方式进行，考试成绩占课程总评成绩的70%，总评成绩60分及以上为合格。
考试时应着重考查本门课程的基本概念、基本方法、基本技能，注意数学应用能力的考核，特别注重与中学数学有密切联系的相关内容考核。
撰稿人：
刘浏
审稿人：
肖维中
审核人：
何聪
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