经典解方程技巧doc.docx

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经典解方程技巧doc

一元一次方程解题技巧

⒈去分母方程两边同时乘各分母的最小公倍数。

⒉去括号一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号。

但顺序有时可依据情况而定使计算简便。

可根据乘法分配律。

⒊移项把方程中含有未知数的项移到方程的另一边，其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。

⒋合并同类项将原方程化为ax=b（a≠0）的形式。

⒌系数化一方程两边同时除以未知数的系数。

⒍得出方程的解。

同解方程：

如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。

方程的同解原理：

⒈方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。

⒉方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。

做一元一次方程应用题的重要方法：

⒈认真审题

⒉分析已知和未知的量

⒊找一个等量关系

⒋设未知数

⒌列方程

⒍解方程

⒎检（jian三声）验

⒏写出答

一元一次方程应用题解题方法论初探

方程的应用问题的教学可以说贯穿了整个小学高年级学段和初中学段，在学生的数学学习活动中占有相当重要的地位（整个初中段方程及其应用题的教学学时为41学时，约占整个初中数学学时的11.5％），而一元一次方程应用题的教学，又是所有方程应用题教学中最基础的起始部分，因此，这一部分内容的教学成功，对后续包括二元一次方程组的应用、一元二次方程的应用的教学有着至关重要的作用。

但由于初中一年级这一阶段学生的机械记忆力较强，分析能力却相对仍然较弱，因此，要提高初一年级数学应用题教学效果，除了要逐步提高学生的数学分析能力，及时地给学生以解题方法论的指导，也是每一位数学教师必须考虑和认真探索的问题。

显然，列方程解应用题的关键在于由题目中隐含的等量关系列出相应的方程。

笔者通过多年的教学实践，认为初中数学应用题的教学基本可有如下几种方法：

一、直列法。

即由题中的“和”、“少”、“倍”等表示数量关系的字眼，直接列出相关的方程。

例1  在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调20人去支援，使在甲处人数为在乙处的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？

分析：

显然，人员调动完成后，甲处人数＝2×乙处人数。

解：

设调x人到甲处，则调（20-x）人到乙处，由题意得：

27+x=2（19+20-x），

解之得x＝17

∴20-x＝20－17＝3（人）

答：

应调往甲处17人，乙处3人。

二、公式法。

学生熟识的公式诸如“路程＝速度×时间”、“工作总量＝工作效率×工作时间”、“利润＝售价－进价”、“利润率＝利润/进价”等都是解答相关方程应用题的工具。

例2   商品进价1800元，原价2250元，要求以利润率不低于5%的售价打折出售，则此商品最低可打几折出售？

分析：

根据利润率公式，列出方程即可。

解：

设最低可打x折。

据题意有：

5%=（2250x-1800）/1800，

解之得x＝0.84

答：

最低可打8.4折。

三、总分法。

即根据总量等于各分量之和来列出方程，用此法要注意分量不可有所遗漏。

例3  “过路的人！

这儿埋葬着丢番图。

请计算下列题目，便可知他一生经过了多少寒暑。

他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年。

再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。

五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半。

晚年丧子老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年。

请你算一算，丢番图活到多大，才和死神见面？

”

分析：

本题即是著名的丢番图的“墓志铭”，题中巧妙地把丢番图的总年龄划分为了几个部分，解题时只需运用其总年龄＝各部分年龄的和即可得出解答。

解：

设丢番图活了x年。

据题意可得：

x=x/6+x/12+x/7+5+x/2+4

解之得x＝84

答：

丢番图共活了84岁。

由此题的解答，我们还可知道古希腊的这位大数学家丢番图33岁结婚，38岁得子，80岁死了儿子，儿子活了42岁等。

四、同一法。

这类题目的解题原理是：

如果同一个量能用两个不同的代数式表达，则这两个代数式必然相等。

例4   一队学生从学校出发去部队军训，行进速度是5千米/时，走了4.5千米时，一名通讯员按原路返回学校报信，然后他随即追赶队伍，通讯员的速度是14千米/时，他在距离部队6千米处追上队伍，问学校到部队的距离是多少？

（报信时间忽略不计）

分析：

该题的解答关键在于，通讯员从返回学校到追上队伍所用时间与队伍走了4.5千米到距离部队6千米这段路程所用时间是相等的（同一段时间）。

解：

设学校到部队的距离是x千米。

据题意得：

（x-4.5-6）/5=（x+4.5-6）/14，

解之得：

x＝15.5

答：

学校到部队的距离是15.5千米。

当然，以上四种方法不是孤立使用的，如例4的解答必然要用到公式：

“路程＝速度×时间”。

并且一个题目的解法往往也不是唯一的，如例1的解答也可以用总分法：

解：

设人员分配后乙处人数为x人，甲处为2x人。

分配后的总人数为27+19+20＝66人，据题意有：

x+2x＝27+19+20，

解之得x＝22，

∴2x＝44，故44－27＝17（人），22－19＝39（人）

答：

应调往甲处17人，乙处3人。

可见，方程应用题方法论的训练，不仅使大多数学生在解答相关问题时能“按图索骥”，而且对于培养学生思维的发散性和多元性也有着重要意义，使一题多解成为可能。

一元一次方程中列方程解应用题类型不外乎：

工程问题、行程问题、植树问题、行船问题、追击问题

1、首先要看清题、分析题意

2、根据题中所给的已知条件

3、隐含条件与未知条件之间的关系

4、列出它们之间的等量关系式，即方程。

具体的办法：

1、找出已知条件，写在演草纸上

2、找出隐含条件，写在演草纸上

3、把未知数设定，视为已知数，写在演草纸上

4、画出图形（这是最常用的，也是最直观的分析方法），分析量与量之间的关系

5、根据图形分析，列出量与量之间的关系等式，就得出方程式

6、解方程，求出未知数（必要时根据数与数之间的关系求出问题中要求的结果）

7、答。

（这是很多同学最容易忽略的丢分项）

列一元一次方程解应用题的几种常见题型及其特点 

列一元一次方程解应用题是七年级数学教学中的一大重点，而列一元一次方程解应用题又是学生从小学升入中学后第一次接触到用代数的方法处理应用题。

因此 ，认真学好这一知识，对于今后学习整个中学阶段的列方程（组）解应用题大有帮助。

因此将列一元一次方程解应用题的几种常见题型及其特点归纳下来，如下：

（1）和、差、倍、分问题。

　　此问题中常用“多、少、大、小、几分之几”或“增加、减少、缩小”等等词语体现等量关系。

审题时要抓住关键词，确定标准量与比校量，并注意每个词的细微差别。

（2）等积变形问题。

　　此类问题的关键在“等积”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。

“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。

常用等量关系为：

    ①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积。

　　（3）调配问题。

　　从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分”关系，要注意调配对象流动的方向和数量。

这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：

    ①既有调入又有调出； 

    ②只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；

③只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。

　　（4）行程问题。

　　要掌握行程中的基本关系：

路程＝速度×时间。

　　相遇问题（相向而行），这类问题的相等关系是：

各人走路之和等于总路程或同时走时两人所走的时间相等为等量关系。

甲走的路程+乙走的路程=全路程 

追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：

两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系。

①同时不同地：

甲的时间=乙的时间，甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程 

②同地不同时；甲的时间=乙的时间-时间差，甲的路程=乙的路程 

③环形跑道上的相遇和追及问题：

同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。

④船（飞机）航行问题：

相对运动的合速度关系是：

顺水（风）速度＝静水（无风）中速度＋水（风）流速度；

逆水（风）速度＝静水（无风）中速度－水（风）流速度。

⑤车上（离）桥问题：

 a车上桥指车头接触桥到车尾接触桥的一段过程，所走路程为一个车长。

 b车离桥指车头离开桥到车尾离开桥的一段路程。

所走的路程为一个成长 

 c车过桥指车头接触桥到车尾离开桥的一段路程，所走路成为一个车长+桥长 

d车在桥上指车尾接触桥到车头离开桥的一段路程，所行路成为桥长-车长 

行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点。

（5）工程问题。

　　其基本数量关系：

工作总量＝工作效率×工作时间；合做的效率＝各单独做的效率的和。

当工作总量未给出具体数量时，常设总工作量为“1”，分析时可采用列表或画图来帮助理解题意。

（6）溶液配制问题。

　　其基本数量关系是：

溶液质量＝溶质质量＋溶剂质量；溶质质量＝溶液中所含溶质的质量分数。

这类问题常根据配制前后的溶质质量或溶剂质量找等量关系，分析时可采用列表的方法来帮助理解题意。

（7）利润率问题。

　　其数量关系是：

商品的利润＝商品售价－商品的进价；商品利润率＝商品利润／商品进价×100％，注意打几折销售就是按原价的百分之几出售。

商品售价=商品标价×折扣率 

　（8）银行储蓄问题。

　　其数量关系是：

利息＝本金×利率×存期；本息＝本金＋利息，利息税＝利息×利息税率。

注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率＝月利率×12＝日利率×365。

　　（9）数字问题。

　　要正确区分“数”与“数字”两个概念，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系。

列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式，一个多位数是各位上数字与该位计数单位的积之和。

　　（10）年龄问题其基本数量关系：

大小两个年龄差不会变。

这类问题主要寻找的等量关系是：

抓住年龄增长，一年一岁，人人平等。

（11）比例分配问题：

这类问题的一般思路为：

设其中一份为x，利用已知的比，写出相应的代数式。

常用等量关系：

各部分之和＝总量。

一元一次方程应用题步骤解题技巧 

列方程（组）解应用题  

一概述  

列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。

其具体步骤是：

⑴审题。

理解题意。

弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元（未知数）。

①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。

一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。

一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。

⑹答题。

综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。

在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。

因此，列方程是解应用题的关键。

1、解应用题的一般思维表述方式  

解应用题的关键是：

找等量关系，才能设出未知数，列出方程，剩余的解题任务相应的就比较轻松。

2、应用题的类型及思维策略  

（1）应用题分类  

在小学，学生对应用题学得较久，而且教师或某些资料分得太细，学生要记忆的东西太多，一旦记不住则无法理解。

怎样引导学生由记忆性思维转化为理解性思维，而且不需要记忆太多的东西。

1、行程问题（包括小学的追击问题，相遇问题，顺风逆风问题等  

2、工作问题  

3、浓度问题（包括稀释问题，加浓问题，混合问题等）  

4、杂题（包括比值问题，利润问题，增长下降问题，数字问题等）  

（2）分类原因  

因为前面三类都是我们在小学多年的学习中非常熟悉的，而且他们的等量关系是类似的。

如：

路程=时间*速度，工作总量=工作时间*工作效率，溶质=浓度*溶液质量。

而杂题在题目中都有明显的表述等量关系的字词或隐藏着公认的规律。

（3）思维品质  

一、杂题。

一般来说，都有明显的表述等量关系的字词，对学生而言比较容易。

二、行程问题。

行程问题是学生最熟悉的问题。

但是要找出其中的等量关系，学生感到非常困难，原因是不知道从哪方面入手找等量关系。

我引导学生这样想：

a找哪两个事物之间发生关系;b分别找出这两个事物关于路程、时间、速度的等量关系。

若无则略;c设未知数，列方程。

三、工作问题。

因工作问题涉及的三个量的关系与行程问题类似，因此可以用相同的思维策略解决工作问题。

四、浓度问题  

因浓度问题涉及的三个量：

溶质、溶液、浓度的关系与行程问题类似，因此也可以用相同的思维策略来解决。

五、拓展  

利用上述策略，还可以解决不等式、不等式组、函数等应用问题。