数值分析试题集.docx
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数值分析试题集
数值分析试题集
(试卷一)
一(10分)已知%=1.3409,x2=1.0125都是由四舍五入产生的近似值,判断x-ix2及x1-x2
有几位有效数字。
二(10分)由下表求插值多项式
X
0
1
2
y
2
3
4
Fy
1
-1
三(15分)设f(x)・C4[a,b],H(x)是满足下列条件的三次多项式
H(a)二f(a),H(b)二f(b),H(c)=f(c),H(c)二f(c)(a:
:
:
c:
:
b)
求f(x)-H(x),并证明之。
1
四(15分)计算,:
=10』。
o1+X
五(15分)在[0,2]上取X。
=0,X1=1,X2=2,用二种方法构造求积公式,并给出其公式的代
数精度。
六(10分)证明改进的尢拉法的精度是2阶的。
七(10分)对模型y■=■・y,■:
■0,讨论改进的尢拉法的稳定性。
八(15分)求方程x34x2-7x-1=0在-1.2附近的近似值,;=10"。
(试卷二)
一填空(4*2分)
1{k(x)}k£是区间[0,1]上的权函数为'(x)=x2的最高项系数为1的正交多项式族,其中
1
0(x)=1,贝y.X0(x)dx=,1(X)工
0
2aJ:
;[则||A「一—
仙二
'a+12
3设「_1J,当a满足条件
时,A可作LU分解。
32***
4设非线性方程f(x)二(x-3x-3x-1)(x•3)=0,其根&=-3,他=-1,则求为的近似值时,二阶局部收敛的牛顿迭代公式是。
广1—0.5a'
二(8分)方程组AX=b,其中A=—0.52-0.5,X,R3
l-a-0.51』
1试利用迭代收敛的充要条件求出使雅可比迭代法收敛的a的取值范围,a取何值时雅可比迭代
收敛最快?
2选择一种便于计算的迭代收敛的充要条件,求出使高斯-塞德尔迭代法收敛的a的取值范围。
"V"=f(Xy)
三(9分)常微分方程初值问题丿'的单步法公式为yn*=yn」+2hf(xn,yn),求该
、、y°=y(x°)
公式的精度。
四(14分)设AX=b为对称正定方程组
1求使迭代过程Xk1二Xk•〉(b-A・Xk)收敛的数〉的变化范围;
『2-1-1、
、1、
『0、
2用此法解方程组
-120
-
X2
=
1
L10
(取初值X。
=(1,1,1)T,小数点后保留4位,给出前6次迭代的数据表)
(试卷三)
on
一设A=,求A的谱半径P(A),范数为1的条件数cond(A)1。
(—51丿
设f(x)=3x25,xi=i,(i=0,1,2,…),分别计算该函数的二、三阶差商
f[Xn,xn1
x2],
f[xn,Xn1
xn'2,xn'3]
若定义||x
若定义11X||二
2
-1
-1
x13x2
-1
2
0
X3,问它又是不是一种向量范数?
请说明理由。
-1
0,将矩阵分解为
1」
A二LU,其中L是对角线元素lH0(^1,2,3)的
设向量x=(%,X2,X3)t
X"+2x2+x3,问它是不是一种向量范数?
请说明理由。
、2
五设有解方程12-3x2cosx=0的迭代法xn1=4亠cosxn
3
1证明:
对任意x0三(-:
:
:
:
),均有limXn=x(x为方程的根);
2取X。
=4,用此迭代法求方程根的近似值,误差不超过10;,列出各次迭代值;
3此迭代的收敛阶是多少,证明你的结论。
六对于求积公式
111
f(x)dx:
3【2f(4)
-f(!
)2f
2
1求该求积公式的代数精度;
2证明它为插值型的求积公式。
(试卷四)
一填空题(每空5分,共25分)
位有
1设精确值为x=0.054039412,若取近似值x^0.05410281,该近似值具有效数字。
2
2设f(x)=3x5,Xi=i(i=0,1,2,),则三阶差商f[xn,xn1,xn2,xn3]
(11、
3A=,贝UP(A)=。
51丿
L是对角线元
勺+12"T亠
4设A=,当a满足条件时,必有分解式A=LL,其中
'、、a4丿
素为正的下三角阵。
1
1211123
5求积公式f(x)d^-f(—)_一f(—)•_f(—)的代数精度为。
0343234
二(10分)设f(X)•C3[0,1],试求一个次数不超过2的多项式P(x),使得
p(0)=f(0)=1,p
(1)=f
(1)=e,p
(1)=f
(1)=e
三(20分)1利用埃米特插值多项式推导带有导数项的求积公式
b
f(x)dx:
a
b「aI
f(a)f(b)
(b-a)2
12
1f(b)-f(a)
且其余项为
「窘宀)((a®)2利用这个公式推导所谓带修正项的复化梯形求积公式
Xnh2
f(X)dX:
「f(Xn)-f(Xo)1
xo12
这里:
Tn=h」f(Xo)f(X!
)f(xnjp-f(Xn),Xi
IL22
四(15分)试确定系数:
•,[,,使微分方程的数值计算公式
yi•(ynjyn)hy.」yn)
具有尽可能高的局部截断误差。
(符号说明:
Ynj=y(Xn_1),yn=Y(Xp))
32
五(15分)方程X-X-1=0在X。
=1.5附近有根,对于给定的迭代关系式
1
Xk1=1兀,试问:
Xk
1、问迭代是否收敛;若收敛,用列表形式给出其前6步迭代的近似根。
2、估计该迭代式的收敛速度。
广1
-0.5
a、
「1、
六(15分)方程组AX=b,其中A=
-0.5
2
-0.5
,b=
2
-0.5
1>
L丿
试利用迭代收敛的条件给出使雅可比迭代法收敛的a的取值范围,给出使雅可比迭代收敛最快的
a取值,并用2至3个a的具体值进行计算,数值化地说明其迭代收敛的快慢程度。
(说明:
数值实验的数据请以列表形式写出。
)
(试卷五)
一填空题(每空5分,共25分)
1已知x1=1.3409,x2=1.0125都是由四舍五入产生的近似值,x1x2的有效数字是几
位。
2
2设f(x)=3x5,Xi=i(i=0,1,2,),则二阶差商f[Xn,Xn1,Xn2H。
‘11、
3A=,则IIA||1=。
心1丿
a+12、
4设A=,当a满足条件时,A可作LU分解。
T4丿
n
5设Xi(i=0,1,2,,n)是互异节点,对于k=0,1,2厂,n,、x:
li(x)二。
i=0
二(10分)由下表求插值多项式
X
0
1
2
y
2
3
4
三(25分)1设f(x)在〔a,b1上具有二阶连续导数,利用泰勒展开推导以下求积公式
f(x)dx
a
f(a)(b-a)f(a)(b一a)
2
f(a)
(b-a)3
6
2利用这个公式推导以下复化求积公式
xn
f(x)dxTn
xo
f(xn)-f(X。
)1
二x。
ih,h=
这里:
Tn-h2f(X。
)f(xjf(Xn」)2f(Xn),Xi
2
dx
i
3对于给定精度<-10-4,利用上述求积公式Tn,选取合适的求积步长h,计算I二e
0
的近似值。
四(10分)常微分方程初值问题
y二f(x,y)
y。
=y(x°)
的数值公式为
yn1二2头一yn」—hf(Xn,yn),
求该公式的精度。
2
五(15分)设有解方程12—3x•2cosx二0的迭代法xnd-4-cosxn
3
1证明:
对任意X。
•(-==<=),均有limxn二x*(x*为方程的根);
n—^c
2取xo=4,用此迭代法求方程根的近似值,误差不超过10",列出各次迭代值;
3此迭代的收敛阶是多少,证明你的结论。
六(15分)设方程组
|5x12x2x3--12
-x14x22x3二20
2x1-3x210x3=3
1给出雅可比迭代算式;
2说明其收敛性;
3取初始向量X。
=(0,0,0)T,给出其前6步迭代所求出的近似值。
(说明:
数据请以列表形式写出。
)
/、_4、/A、》\
(试卷八)
一填空题(每空5分,共25分)
1已知x1=1.3409,x2=1.0125都是由四舍五入产生的近似值,x1x2的有效数字是几
位。
2设f(x)-3x25,Xj=i(i=0,1,2,),则二阶差商f[xn,xn1,xn.2^。
A门
3a=51,则||A||严。
<51丿
a+12、
4设A=,当a满足条件时,A可作LU分解。
n
5设Xi(i=0,1,2,,n)是互异节点,对于k=0,1,2厂,n,、x:
li(x)二。
i=0
二(10分)由下表求插值多项式
x
0
1
2
y
2
3
4
y
1
-1
(25分)1设f(x)在〔a,b1上具有二阶连续导数,利用泰勒展开推导以下求积公式
b23
(b—a)(b—a)
f(x)dx:
f(a)(b-a)f(a)f(a)-
a26
2利用这个公式推导以下复化求积公式
Xnh2
f(X)dx:
「—If(Xn^f(Xo)I
xo6
f(xo)f(xi)中(—。
M好
1
3对于给定精度•;:
=10一4,利用上述求积公式Tn,选取合适的求积步长h,计算I=.e
0
的近似值。
hf(xn,yn),
位有
L是对角线元
y'=f(x,y)
四(10分)常微分方程初值问题丿y'"的数值公式为yn出=2yn—ynJL
iy。
=y(x°)-
求该公式的精度。
2
五(15分)设有解方程12—3x•2cosx二0的迭代法xn.1=4-cosxn
3
1证明:
对任意X。
•(-二,二),均有limxn二x*(x*为方程的根);
n—^c
2取xo=4,用此迭代法求方程根的近似值,误差不超过10",列出各次迭代值;
3此迭代的收敛阶是多少,证明你的结论。
六(15分)设方程组
|5x12x2x3--12
-x14x22x3二20
2x1-3x210x3=3
1给出雅可比迭代算式;
2说明其收敛性;
3取初始向量X。
=(0,0,0)T,给出其前6步迭代所求出的近似值。
(说明:
数据请以列表形式写出。
)
/、_4、/A、》\
(试卷八)
一填空题(每空5分,共25分)
1设精确值为x=0.054039412,若取近似值X*=0.05410281,该近似值具有效数字。
2
2设f(x)=3x5,Xi=i(i=0,1,2,),则三阶差商f[xn,xn1,xn2,xn3]
'11、
3A=,则P(A)=。
<51丿
a+12、T
4设A=,当a满足条件时,必有分解式a=llt,其中
素为正的下三角阵。
1
1211123
5求积公式If(x)dxf()f()f()的代数精度为。
0343234
二(10分)设f(X)•C3[0,1],试求一个次数不超过2的多项式P(x),使得
p(0)=f(0)=1,p
(1)=f
(1)=e,p
(1)=f
(1)=e
三(20分)1利用埃米特插值多项式推导带有导数项的求积公式
f(x)dx:
b「|_f(a).f(b)l〔f(b)—f(a)1
a212
且其余项为
喘宀)((a,b))
2利用这个公式推导所谓带修正项的复化梯形求积公式
Xnh2
f(x)dxTn---If(xn^f(Xo)1
x012
--b—a
这里:
Tn二h—f(Xo)f(Xi)f(Xn』)-f(Xn),Xi=Xoih,h=
IL22n
四(15分)试确定系数〉,一:
,,使微分方程的数值计算公式
y1「(yn」yn)h(1〕n」yn)
具有尽可能高的局部截断误差。
(符号说明:
YnJ-y(Xn_i),yn=Y(Xn))
QQ
五(15分)方程X-X-1=0在X。
=1.5附近有根,对于给定的迭代关系式
1
Xk1—,试问:
Xk
1、问迭代是否收敛;若收敛,用列表形式给出其前6步迭代的近似根。
2、估计该迭代式的收敛速度。
r1
-0.5
a、
『1、
六(15分)方程组AX=b,其中A=
-0.5
2
-0.5
,b=
2
i—a
-0.5
1丿
试利用迭代收敛的条件给出使雅可比迭代法收敛的a的取值范围,给出使雅可比迭代收敛最快的
a取值,并用2至3个a的具体值进行计算,数值化地说明其迭代收敛的快慢程度。
(说明:
数值实验的数据请以列表形式写出。
)
(试卷七)
一填空题(每空4分,共24分)
1已知石=1.3409,x2=1.0125都是由四舍五入产生的近似值,x1x2的有效数字是几
位。
'a十12、
2设A=,当a满足条件时,A可作LU分解。
IT4丿
3设非线性方程f(x)=(X3-3x23x-1)(x•3)=0,其根x1=-3,x2=-1,则求x1的
近似值时,二阶局部收敛的牛顿迭代公式是。
'21\
4设4,则丨A「二,P(A)=。
8dx1
2X2
取个结点。
5用积分21n2计算In2,为使误差的绝对值不超过10^,问用复化梯形公式至少要
(21分)设f(x)•C5[0,2],插值条件如下表
x
0
1
2
y
2
3
4
yH
1
-1
1给出满足上述插值条件的插值多项式P(x);
2求其余项f(x)-P(x);
3给出f(0.5),f(1.5)的近似值。
(25分)设f(x)C2[a,b]
b
推导中矩公式.f(x)dx=(b-a)f
(a,b);
导出复化中矩公式;
利用复化中矩公式,计算定积分
1
务e
■:
0
’dx(精度为;=10一4,
并将各次复化的计算结果
排成一张数据表)。
四(15分)求常数A、B、C、
D,使解微分方程初值问题
y=f(x,y),y(xo)=yo
的下列数值计算公式
(1)
yn1=A7n4h(Byn1C7nDyn」)
yn1=f(Xn1,yn1)
Yn=f(XnS
=f(Xn」,yn」)
的局部截断误差尽可能地高(假设
(1)式右端所用信息均为准确的)。
五(15分)设AX-b为对称正定方程组
1求使迭代过程Xk1=Xk•〉(b-A・Xk)收敛的数:
•的变化范围;
『2-1-1、
『0、
2用此法解方程组
-120
-
X2
=
1
1-101」
<0>
(取初值X。
=(0.5,0.6,1)T,给出前6次迭代的数据表)
第1问提示:
考虑使迭代矩阵G=\-1A的范数G2:
:
:
1的]取值。
(试卷八)
一(15分)已知精确值为x二0.054039412,若取近似值0.05410281,试问该近似值具有几位有效数字。
(15分)方程X-X-—O在Xo^1*5附近有根,对于给定的迭代关系式
Xk1=1•飞,试问:
Xk
1、该迭代是否收敛?
2、若收敛,估计收敛速度。
(15分)已知函数表如下,求二次拉氏插值多项式L2(x)
x31
y42
四(20分)在[—1,1]上,取节点Xo--1,儿=0%T,构造插值型求积公式,并
求它的代数精度
五(15分)写出线性方程组
|2-d—1
-120
-121一
的雅可比迭代式六(20分)试确定系数:
,使微分方程的数值计算公式
Yn1二:
(Yn-1Yn)h(:
丁n_1Yn)
具有尽可能高的局部截断误差
(符号说明:
Yn
Y(Xn_1),Yn二Y(Xn))
(试卷九)
填空题(每空4分,共24分)
X2_X2
-110心,从而
2
(+X2)—(X[+X2)兰x〔一+X?
—x?
故X1X2具有4位有效数字。
A可作LU分解。
2、
,当a满足何条件时,
4丿
若a=a1=0,A2=4(a1)2=0,即:
a=-1,a=-3,则A可作LU分解。
2
qr\***
3设非线性方程f(x)=(x-3x•3x-1)(x•3)=0,其根X1--3,X2--1,则求为的近似值时,求其二阶局部收敛的牛顿迭代公式。
32
f(x)=(x-1)(x3),f(x)=(x-1)(4x8),其迭代式为
Xn1•二Xn
区-呱3)
4xn+8.
Xn1
2
3xn6xn3
4Xn8
Xn1
4-3)二
3(Xn-(-3))2
4Xn8
,故en1
2
Xn1_(_3)
(Xn-(-3))2
-3(n>
4
二)
因此,上述迭代为二阶局部收敛的
{21
4设A=“',求||A|口P(A)。
1_14丿
hL=—1+4=5,IA亠”||=(3-九)2,P(A)=3
8dx
5用积分—
2x
=2ln2计算In2,为使误差的绝对值不超过
110*,问用复化梯形公式至少要
2
取多少个结点。
h=6,取结点Xi=2ih(^0,1,…,n),作复化梯形求积公式「,其误差为
n
2ln2-Tn=
5o52153
茨「欲使256h^210,取心610,
GQ
-<1610”,n_3103,结点个数n-375即可。
n8
二(21分)设f(x)•C5[0,2],插值条件如下表
X
0
1
2
y
2
3
4
1给出满足上述插值条件的插值多项式P(x);
2求其余项f(x)-P(x);
3给出f(0.5),f(1.5)的近似值。
设P(x)
e=2,
令:
:
」(t)二f(t)
abcde=3,16a8b4c2de=4,d=1,32a12b4cd=-1
二ax4bx3cx2dxe,利用插值条件可得线性方程组
22
—P(t)—k(x)t(t_1)(t_2),其中k(x)使:
:
』(x)=0,x为异于0,1,2的点
G(t)在0,1,2,x四个互异点处值为零,据罗尔定理与插值条件,G(t)在[0,2]上有五个互
异的零点,反复使用罗尔定理可知,在(0,2)上,至少存在一点',使门⑸「)=0,亦即
f(5)(匕)
f(x)-P(x)
f(5)()
5!
x2(x-1)(x-2)2
(0,2)
0»:
」(5)()=f(5)()—o—k(x)5!
,故k(x)二()
在函数库中建立插值多项式,可求得
77121
f(0.5):
P(0.5)2.40625,f(1.5):
P(1.5)3.78125
3232
三(25分)设f(x)C2[a,b]
推导中矩公式
b
f(x)dx=(b-a)f
a
24
(b-a)3
(a,b);
2导出复化中矩公式;
1
2_2
3利用复化中矩公式,计算定积分.e^dx(精度为;=10亠,并将各次复化的计算结果
、二0
排成一张数据表)。
f(x)二f
勺+b〕+
<2丿
心)
1!
f()ab2
Qi2)2
b
两边积分有f(x)dx
a
二(b「a)f
a+fB(b_a)3
24
b-a
h,取结点Xi
n
复化中矩公式为Rn二h',
i=0
f(xi1),其中xi
2
h,截断误差为
2
h2
2乂⑹-®
欲计算定积分2e
丁兀0
这里
,f(x)-
4_x2
Txe,
h2
□
24
el0]=
h2
6e.■:
22
hh
I-Rn
6x3x236
h2
欲使一:
:
:
10一4,即
36
h:
:
610
_221
,可取h=510阪
b-a口=20
1/20
2
(i1/2)
'400
Xj=ih(i=0,1,,20)
1,
R20e
100i=0
19
在HP38G上进行计算可得R20
-0.842787
DEG
HOME
MAKELISTCeA<-<1+0.5)a...
<・999375195272,・99439„,SLIST.8427S72S628S
絲;HOME澱飆絲鹼鮫獗縫
S
DEG
=aih(^0,1/,n),作复化中矩公式
2n_1
n1xi1n1
I_if(x)dx=h'f(x1)一7f(i)h
i=Qx;7匕24y
nAh2
f(x1)^[f(b)-f(a)]
7i224
STDk
四(15分)求常数A、B、C、D,使解微分方程初值问题
y=f(x,y),y(