基于GIS的烟草物流配送线路优化算法研究与应用图文精.docx

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基于GIS的烟草物流配送线路优化算法研究与应用图文精

北京工业大学

硕士学位论文

基于GIS的烟草物流配送线路优化算法研究与应用

姓名：

王粲

申请学位级别：

硕士

专业：

软件工程

指导教师：

于学军;邹颖

20090501

摘要

摘要

现代物流不仅要降低成本，还要满足客户服务的需求，如何在满足用户需要的前提下尽量降低物流成本，如何在降低物流成本与提高物流服务质量之间找到一个应用的均衡点，已成为国内外许多理论及应用学者们关注的焦点，物流配送线路优化问题的研究就是其中一个重要而迫切的课题。

本文以物流配送线路优化问题为研究对象，从衡量配送线路的工作量指标等入手，在ＧＩＳ和网络数据库系统的支持下，以满足配送网点服务水平和降低配送成本为首要目标，重点对烟草行业中卷烟配送线路优化系统的模型建立与算法改进，进行了较为深入的理论分析和应用探讨。

研究方法上，主要是把烟草ＧＩＳ线路优化系统分为两个阶段的子系统，首先是配送线路划分子系统，即采用最邻近算法和插入算法，将大规模复杂不可解的配送网络分解成有限个、小规模、可控可观测的物流配送线路（即配送域）。

其次是行驶路径优化子系统，即针对已划分好的配送域，按照每日每次客户的订货量，求解出车辆行驶路线安排。

对于行驶路径优化子系统问题模型和解决办法的研究，创新点主要是先用最节约插值法构建问题的初始可行解，再用混合遗传算法的全局搜索策略优化初始解，能得到～个相对满意的解。

通过本文对物流配送线路优化问题进行研究，以及利用重庆丰都区域卷烟物流中心真实数据进行计算机仿真结果分析，可以为开发烟草ＧＩＳ平台下可视化的配送线路优化系统打下良好的应用和理论基础，研究成果在百货、医药等企业的单一物流配送中心线路优化领域，也具有推广应用价值和前景。

关键词物流；配送；线路优化；ＧＩＳ

Ａｂｓｔｒａｃｔ

Ｎｏｗａｄａｙｓ，ｌｏｇｉｓｔｉｃｉｓｎｏｔｏｎｌｙｎｅｅｄｔｏｃｕｔｄｏｗｎｃｏｓｔ，ａｌｓｏｎｅｅｄｔｏＩｎｅｅｔｃｌｉｅｎｔ，ｓｓａｔｉｓｆａｃｔｉｏｎ．Ｈｏｗｔｏｃｕｔｄｏｗｎｃｏｓｔａｔｔｈｅｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｏｆｃｌｉｅｎｔ’Ｓｈｉｇｈｓａｔｉｓｆａｃｔｉｏｎａｎｄｈｏｗｔｏ

ａｂｒｏａｄｂａｌａｎｃｅｔｈｅｏｒｉｅｓｌｏｗＣＯＳｔａｎｄｈｉｇｈｓｅｒｖｉｃｅｑｕａｌｉｔｙ，ｉｓｆｏｃｕｓｅｄｂｙｍａｎｙｄｏｍｅｓｔｉｃａｎｄｒｅｓｅａｒｃｈｅｒｓ．Ｔｈｅａｎｄｒｅｓｅａｒｃｈｏｎｌｏｇｉｓｔｉｃｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ１．０ｕｔｅｓｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎｉｓｏｎｅｏｆｔｈｅｓｅｍｏｓｔｕｒｇｅｎｔｔａｓｋｓ．

Ｔｈｅｓｕｂｊｅｃｔｏｆｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅｉｓｌｏｇｉｓｔｉｃｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｒｏｕｔｅｓｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ．Ｉｔｓｔｕｄｉｅｓｆｒｏｍｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｃｈａｎｎｅｌｗｏｒｋｌｏａｄｉｎｄｅｘ，ｓｕｐｐｏｒｔｅｄｂｙＧＩＳａｎｄｎｅｔｗｏｒｋｄａｔａｂａｓｅｓｙｓｔｅｍ，ｍａｉｎｌｙｔａｒｇｅｔａｔｒａｉｓｉｎｇｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｎｅｔｗｏｒｋ’Ｓｓｅｒｖｉｃｅｑｕａｌｉｔｙａｎｄｃｕｔｔｉｎｇｄｏｗｎｃｏｓｔ・ＴｈｅｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｔｐｏｉｎｔｉｓｔｈａｔＩｍａｄｅｒｅｌａｔｉｖｅｌｙｄｅｅｐｔｈｅｏｒｙａｎａｌｙｓｉｓａｎｄ

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独创性声明

本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。

尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。

与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。

签名：

王塞日期：

丝旦缝复盈

关于论文使用授权的说明

本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：

学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。

（保密的论文在解密后应遵守此规定）

签名：

至鬈导师签名：

弹日期：

２１壁垒蜩

第１章绪论

第１章绪论

１．１课题研究背景及意义

随着经济全球化进程的加快，以及现代信息技术、供应链管理技术的飞速发展，物流管理技术作为一种实现经济高速运行、融合高新技术为一体的先进管理技术与组织方式，通过计划、实施、控制与协调等手段对运输、仓储、装卸、包装、配送、流通加工、信息各环节的系统整合，以最低的费用和最少的资金占用，安全、准时、高质量地为用户提供多功能、一体化的综合服务，在世界范围内受到了广泛的关注，发展十分迅速。

实施并加强物流配送管理与供应链管理，降低企业物流配送成本和流通费用已成为当今全球经济发展的一个重要内容。

现代物流不仅要降低成本，还要满足客户服务的需求，如何在满足用户需要的前提下，降低物流成本，如何在降低物流成本与提高物流服务质量之间找到一个应用的均衡点，已成为国内外许多理论及应用学者们关注的焦点。

物流配送线路优化问题的研究就是其中一个重要而迫切的课题。

配送线路优化问题涉及财务成本、服务质量、管理三方面的因素，从财务成本上要考虑配送涉及的各种开支（配送车辆的购置成本和损耗、油耗、员工薪水等），从服务质量上要考虑配送的准时性、快速性，以此保证服务质量，从管理上要考虑对员工（驾驶员、送货员等）的合理安排与管理。

目前，物流配送主要面临如下的问题：

（１）服务水平和质量较低。

送货员驾驶员经验能力不同、信息流与物流的矛盾等都会导致整个物流配送服务水平低效，现代流通的特征要求有与其相适应快速、高效响应的物流配送关系。

（２）控制物流成本困难。

人工调度的传统物流配送方式只适合在交易规模较小的系统运作。

面对巨大交易量的现代流通环境，需要建立合理的、自动的物流配送调度系统。

降低成本与提高服务水平从经济学上看是“二律背反”关系，如何在两者之间找到一个各方利益的均衡点，如何综合分析确定性因素尤其是非确定性因素对

北京工业大学工程硕十学位论文

配送效能的影响，如何借助网络信息系统和现代信息技术手段，求出切实有效的物流配送中心线路优化方案，使之更加符合国内一大批商业流通型物流配送企业的实际应用状况，成为企业亟待解决的问题，因此对物流配送线路优化问题的研究具有重要的现实意义。

１．２物流配送线路优化问题的提出

物流配送中心的集中配送问题是在指定客户区域内，按照合理的物流配送成本和满意的物流服务质量的原则，对物品进行集货配货、分拣加工、包装组配等作业，并按时按量、集中安全地送达指定客户地点的物流活动过程。

配送系统优化主要是规划合理的配送路线，实现车辆优化调度，以提高物流经济效益，实现物流配送过程反应快速化、功能集中化、手段现代化、目标系统化、组织网络化、处理流程自动化的战略目标。

由于近年来物流配送中心的建设和管理日益受到企业、政府和社会的广泛关注，物流配送过程中运作成本高、效益低、客户服务水平参差不齐等一系列问题也逐步凸现出来，以重庆烟草丰都区域卷烟配送网络为例，总共有丰都、石柱、忠县三个县市的６９５５个卷烟零售户，首先由于历史原因，卷烟送货线路完全是按照访销线路（一个电话访销员负责的区域）来确定的，访销线路是根据历史不断积累形成的，而且确定以后基本上不会变动。

当有新的零售网点加入时，就采取人工方式将该网点加入到附近的线路中，如果某零售网点由于某种原因迁移，一般情况下该网点仍然属于以前的配送线路。

由于配送线路不能根据实际情况动态调整，而且人工确定配送线路的方式无法从整体上降低配送成本，导致总体成本居高不下。

由上述可以看出，物流配送线路优化是指在一定的配送网络平台下，根据已知的待服务客户的网点分布、物流配送中心的位置、车辆的最大装载量和客户需求，设计出车辆行驶路径使运输成本最小。

１．３国外研究现状一２一

弟ｌ苹绪论

因为物流配送线路优化问题在现代物流和供应链管理中具有重要的现实意义，因此在国外很快引起了许多研究人员的关注，并取得了不少研究成果。

如Ｃｌａｒｋ和ｗｄｅ出ｔ提出的节约法（Ｃｌａｒｋ．ＷｒｉｅＳｔ算法）。

Ｇｉｌｌｅｔ和Ｍｉｌｌｅｒ提出的扫描法（ＳｗｅｅｐＭｅｔｈｏｄ），Ｃｈｒｉｓｏｆｉｄｅｓ建立的不完全树搜索算法等。

随着人工智能技术的引入和不断发展，模拟退火算法和遗传算法等新方法及人工神经网络和专家系统等新技术，为解决大规模、多目标线路优化问题提供了新的辅助手段。

如文献（Ｐａｒｅｚａ，１９９１）研究的禁忌搜索算法（ＴａｂｕＳｅａｒｃｈ），文献（Ａｂｄｏｌｈａｍｉｄ，１９９７）提出用自组织的神经网络算法来求解线路优化问题，文献（Ｌｕｉｚ，Ｄａｌｅｓｓａｎｄｒｏ，１９９８）建立平行遗传算法（ＰａｒａｌｌｅｌＥｖｏｌｍｉｏｎａｒｙＡｌｇｏｒｉｔｈｍ），文献（Ｔａｎ，Ｌｅｅ，２００１）结合遗传算法、Ｔａｂｕ搜索算法的优点，形成知识库，用人工智能的方法来求解线路优化问题，文献（Ｔａｒａｎｒｉｌｉｓ，２００２）使用空间决策支持系统来解决配送线路优化问题，文献（Ｓｈａｗ，１９９８）用大邻域搜索法（ＬａｒｇｅＮｅｉｇｈｂｏｒｈｏｏｄＳｅａｒｃｈ）对配送线路优化问题进行了求解，文献（Ｂ．Ｂｕｌｌｎｈｅｉｍｅｒ，１９９８）对蚂蚁算法求解线路优化问题进行了研究，文献（‰，１９９８）对禁忌搜索和遗传算法两种基于邻域的算法进行分析比较。

这些算法在实际使用中，在某些方面取得了比较好的结果。

一般而言，线路优化问题的求解主要经历了三个阶段：

第一阶段为２０世纪６０年代和７０年代早期，这一阶段主要是一些简单的启发式方法如节约法和插值法等；第二阶段在２０世纪７０年代开始出现，还是以近似算法为主，但这些方法一般与具体的问题相关；第三阶段（现阶段）主要有两个方向：

基于启发式的人工智能和精确优化算法，这一阶段的代表算法有遗传算法、禁忌搜索算法、神经网络、人工智能等。

针对物流配送线路优化问题的求解，Ｗｉｌｓｏｎ又提出了另外一种两阶段算法。

该算法的求解过程分为两个阶段：

第一阶段按最小路径的原则形成初始解，然后用ｋ．ＯＰＴ算法对所得的各子路径分别进行优化；第二阶段是在各子路径间进行点的交换，以减小总行程，然后再用ｋ．ＯＰＴ算法对点交换后的子路径进行优化。

迄今为止，国外的配送线路优化不仅在理论研究方面成果显著，并且在计算机线路优化的应用方面也取得了一定的成果，早在２０世纪８０年代中期，由荷兰ＯＲＴＥＣ咨询公司开发商业化的配送线路优化软件如ＳＤＰ（ＳＨＯＲＴＴＥＤ

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Ｄｉｓｔｒｉｐｌａｎｎｅｒ）就已面市，并且得到了一定范围内的应用。

１．４国内研究现状

目前，现代物流已越来越受到我国各级政府、企事业单位、社会团体的重视和积极推进，配送成为现代城市物流发展的重点，如何经济合理地组织送货、如何保证配送系统高效及低成本地运作、如何为客户提供传统物流业务之外的增值物流服务、如何提高对零售网点的服务质量等，都是我国配送系统研究的主题，受到了国内许多研究机构、学者和企业领导的高度重视，并展开了大量的研究。

《用混合遗传算法求解物流配送路径优化问题的研究》【ｌｏ】建立了物流配送路径优化问题的数学模型，并针对遗传算法在局部搜索能力方面的不足，提出将爬山算法与遗传算法相结合，从而构造了求解物流配送路径优化问题的混合遗传算法，并进行了实验计算。

计算结果表明，用混合遗传算法求解物流配送路径优化问题，可以在一定程度上克服遗传算法在局部搜索能力方面的不足和爬山算法在全局搜索能力方面的不足，从而得到质量较高的解。

《ＴａｂｕＳｅａｒｃｈ算法在优化配送线路问题中的应用》［１１】将ＴＳ算法应用到物流系统的配送线路优化问题中，详细介绍了算法的设计过程：

先用ＧＥＮＩＵＳ算法构造线路优化问题初始解，之后用ＴＳ算法优化初始解。

通过数值模拟，验证了算法的可行性，阐述了ＴＳ启发式算法用计算机实现的要点，并用编程分别求解有３５个、５０个、７５个模拟客户的问题，得到较优的目标值和车辆行驶路线。

《现代物流配送系统的运输优化调度方案》【ｌ２Ｊ提出了在考虑时间窗情况下用Ｃｌａｒｋ和Ｗｒｉｇｈｔ的节约法来解决非满载运输问题的算法，并用某超市８项送货任务对算法进行了验证说明。

《零售业库存分布模型及分区配送算法研究》【１３】根据零售业的实际情况，提出一个配送中心多个零售点的库存分布模型，并提出了一种改进分区配送算法，在该分区配送（ＰａｒｔｉｔｉｏｎＤｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ）算法中，作者首先确定划分区域的数目，为每个区域选取一个初始零售点，分别以这些初始零售点为中心点根据插入费用最小原则进行插入，直到将所有的零售点划分完毕。

这种算法的难点在于初始零售点的选择，初始点选择的好坏对划分的结果影响很大。

《基于地理信息系统及遗传算法的道路规划》【１４】通过将地理信息系统与基于一４一

第１章绪论

遗传算法的优化决策相结合，建立了一个综合优化决策模型，利用地理信息系统计算与位置相关的成本，并实现数据的连续传递，并将结果输出到外部程序。

进而利用遗传算法进行优化决策，使总成本最小。

但是，相比物流配送线路优化问题对企业所具有的重大意义和国外的研究状况而言，我国对该问题的研究还远远不够，国内这方面的研究现大多数还停留在理论层次上，实际应用系统的开发才刚刚起步，成功的计算机优化软件系统的应用鲜见报道。

造成这种状况的原因有许多：

客观方面，我国物流整体水平还比较落后，信息化程度不高，物流人才匮乏；主观方面，我国许多企业领导对企业的信息化认识不够，对计算机优化软件对企业的重要作用认识不足。

除此之外，在现阶段我国企业中实际开展物流优化项目并不多，很多学者由于没有机会接触实际的企业项目，只能根据有关文献和抽象模型进行研究，对一些企业关心或现实中制约企业应用的具体影响因素考虑不足，这也是重要原因。

１．５本文的主要研究内容

综合分析国内外参考文献，可以看出，物流配送中心主要采取集中统一的送货方式，这种集中配送模式综合考虑了配送网点需求、道路拥挤度、道路整修、网点迁移等多种因素对配送效能的影响，本课题将从衡量配送线路的工作量指标入手，在地理信息系统（ＧｅｏｇｒａｐｈｉｃＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＳｙｓｔｅｍ，ＧＩＳ）和网络数据库系统的支持下，以满足配送网点服务水平和降低配送成本为首要目标，重点对烟草行业卷烟配送线路优化系统的模型建立与算法改进，进行深入的理论分析和应用探讨。

本课题将首先介绍相关理论和概念，以及解释配送线路优化问题的相关指标。

在现有优化算法优缺点分析基础上，本文研究思路主要是把线路优化问题分成两个子问题来解决：

第一步，先采用最邻近算法求解线路划分初始解，用插入法对初始解进行改进，由此划分出客户网点聚集程度较高的各配送线路区域；第二步，再将同时兼顾送货线路网点数、订货量的混合遗传算法用于车辆行驶路径优化，以降低配送运行的成本。

本文还将研究成果与烟草ＧＩＳ相结合，以重庆烟草丰都区域卷烟配送中心为

｛［ＪＩＩＩＩＩＩＩＩＩＩＩＩＩｌｌｌＩｌｌｌｌｌｌ——筑幕工整天掌工程獗士学篷谂交ＩＩＩ——Ｉ——ＩＩＩＩＩＩ——Ｉｓ熙对象，力求在提高物流配送服务水平、降低配送成本等方面，取得较明显的应用效暴ｅ

遴过对物流配送线路优化淹题进行研究，以及利用串都卷烟配送中心真实数

据进行计算机仿真结果分析，可以发现谯解决线路优化问题时，针对标准遗传算法鹣是嚣搜索栽力不是；采鲻竣迸算法与乏结合抟混合遗抟算法太大提高搜素效率，在此基础上，将ＧＩＳ每线路优化结果进行系统集成，开发烟革ＧＩＳ平台下Ｗ视化的配送线路优化系统，研究成果在医药、百货、油料等企业的单一物流配送中心线路筏纯顿蠛，也爨蒋摧广鏖露价健秘蓠景。

本论文共融五章组成。

笫１章主要从理论和实际方筒讨论问蹶提出的背景与

研究意义；第２章将对线路优化闯题进行接述和分类，并介绍精确算法和启发式算法；第３、４章分裂是黧送线路蓑努予系统蠢行驶路径饶纯子系缀熬模型与算法，研究先进行酉芒送线路划分，然后在划分基础上进行车辆行驶路径优化；第５章是在前四章研究基础上，对予丰都烟草懿送线路优化阀题在ＧＩＳ平台上进行系统分析、设诗与应焉效粟势柝。

第２章物流配送线路优化问题及算泫概述

第２章物流配送线路优化问题及算法概述

２．１物流配送线路优化问题描述

卷烟配送中心采用多辆车给多个客户送货，每个客户的位置和货物需求量一定，每辆配送车的载重量一定，其一次配送的最大行驶距离一定，要求合理安排车辆配送路线，使目标函数得到优化，并满足以下条件：

（１）每条配送路径上各客户的需求量之和不超过配送车辆的载重量；（２）每条配送路径的长度不超过配送车辆一次配送的最大行驶距离；（３）每个客户的需求必须满足，且只能由一台配送车送货。

如图２．１所示：

设Ｏ为丰都卷烟配送中心，１—１１为客户网点，ｒｌ—ｒｓ为车辆配送线路的起始标志线

图２－Ｉ物流配送线路优化问题

Ｆｉｇｕｒｅ２－１Ｌｏｇｉｓｔｉｃｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｒｏｕｔｅｓｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ

假设物流配送中心编号为０，配送任务与配送网点均以点ｉ（ｉ＝１，２，…，Ｌ）表示，其它变量如下：

Ｃｉｉ表示从点ｉ到点ｊ的运输成本（可以是距离、费用、时间等）；

舀表示任务ｉ的货运量，且ｇｉ＜ｑ（ｑ为车辆的容量）；一７一

北京Ｔ业大学Ｔ程硕卜学位论文

设瓤辆辄送的网点数％２量圪＝器

目标函数：

ｍｉｎＺ＝∑∑∑Ｃｏ．‰

ｔ若网点ｉ至ＩＪｊ由车辆ｋ配送若网点ｉ由车辆ｋ配送那么，在仅考虑运输成本目标的前提下，可得出问题模型为：

（２一１）ｊｋ

约束条件：

∑ｇ，圪＜ｑ

，（２－２）

∑屹＝ｌ，ｉ＝１，２，…，Ｌ，且对任意ｋ都满足

ｆ（２－３）

∑％＝％，Ｊ＝ｏ，１，．．．，三

ｉ（２－４）

∑如＝圪，ｉ＝ｏ，１，．．．，Ｌ

ｊ（２—５）

上述各式中，式（２－２）保证每条线路的总货运量不超过车辆的容量，式（２—３）、（２－４）、（２－５）限制每个网点都被服务，且只能被服务一次。

２．２物流配送线路优化问题的分类

表２．１分类标准

Ｔａｂｌｅ２－１Ｃｌａｓｓｉｆｙｓｔａｎｄａｒｄ

项目

ｌ

２

３

４

５

６

７

８

９

１０分类标准客户供／需特征物流设施数量配送车辆数量ｂＡＢ确定单个设旅单个车辆不确定不确定弧服务单期无时间限制单目标假设值随机多设施多车辆确定确定点服务多期有时间限制多目标实际值车辆装载能力物流设施容量任务性质计划期间时间限制优化目标数模型数据类型

一８一

第２章物流配送线路优化问题及算法概述

按照上述分类标准，物流配送线路优化问题通常有以下几种分类：

（１）按客户需求的性质不同，分为确定性问题和非确定性问题；

（２）按优化目标不同，分为单目标问题和多目标问题，目标一般指配送时间、配送距离或配送费用的最小。

通常三者目标是统一的，距离最小，也就意味着时间最短，费用也最低，但是也有很多实际中配送系统的多种优化目标不相同、甚至互相矛盾的情况；

（３）按配送任务特征分类，有集货问题（车辆在所有的任务点装货）、卸货问题（车辆在所有的任务点卸货）及装卸混合问题（每项任务有不同的装货点和卸货点，即集货、送货一体化问题）几种情况：

（４）按物流配送中心数目，分为单设施问题和多设施问题；

（５）按配送车辆类型，分为单车型问题和多车型问题；

（６）按配送车辆对物流配送中心的所属关系，分为车辆开放问题（车辆可以不返回物流配送中心）和车辆封闭问题（车辆必须返回物流配送中心）；

（７）按配送任务性质，分为弧服务问题、点服务问题以及混合服务问题。

本课题研究对象属于确定性问题、多目标问题、卸货问题、单物流配送问题、单车型问题、车辆封闭问题和点服务问题。

２．３计算复杂度和求解策略

算法分析是对算法性能的讨论，算法性能有许多标准，如清晰性、可读性、易修改、易排错等，它们属于结构化程序设计的范畴。

在算法分析中，主要研究完成算法所需要的运行时间和占用的空间。

问题的规模是算法分析过程中输入量大小的一个测度，也是问题的大小或尺寸，它视不同的问题有不同的含义。

考察一个规模为ｎ的输入，对不同的输入，算法的行为可能不同，把其中的最坏行为定义为该算法关于规模为ｎ的复杂度，故算法或问题的复杂度一般是问题规模ｎ的函数。

在复杂度函数中，增长速度很快的项最终会超过增长速度较慢的项，因此，在研究算法复杂度时，只需考虑随输入增加速度增长很快的项即可。

对增长速度，～一９一

北京】：

业大学＿Ｔ程硕士学位论文

有如下的概念：

设ｆ（ｎ）、ｇ（ｎ）是定义在正整数上的正实值函数，

如果存在正常数ｃ＞Ｏ，使得当ｎ足够大时，有ｆ（ｎ）≤ｃｇ（ｎ），则ｆ

（ｇ（ｎ）），其中，０（ｇ（ｎ））称为函数ｇ（ｎ）的阶；Ｏｎ）＝ｏ

如果存在正常数ｃ＞Ｏ，使得当ｎ足够大时，有ｆＯｎ）≥ｃｇ（ｎ），则ｆ（ｎ）＝Ｑ（ｇ（ｎ））；

如果存在正常数ｃ，ｃ’＞Ｏ，使得当ｎ足够大时，有ｃ’ｇ（ｎ）≤ｆ（ｎ）≤ｃｇ（ｎ），则记ｆ（ｎ）＝０（ｇ（ｎ））；

显然，０是一种等价关系，在此等价关系下，ｆ（ｎ）的等价类称为ｆ（ｎ）的增长速度，应用这一概念，一个算法的复杂度函数的增长速度可以有上界。

在