中考专题中考常见题型分类角度问题.docx
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中考专题中考常见题型分类角度问题
角度问题
1.已知以AC为直径的⊙O与BC相切于点C,连接AB交⊙O于点D,过点D作⊙O的切线,交BC于点E.
(Ⅰ)如图①,若∠ACD=20°,求∠DEC的大小;
(Ⅱ)如图②,连接OD,若四边形OCED是正方形,求
∠ABC的大小.
第1题图
解:
(Ⅰ)连接OD,如解图,
∵AC是⊙O的直径,DE,BC是⊙O的切线,
∴∠EDO=∠ACE=90°,
∵OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD=20°,
∴∠DOC=140°,
∴∠DEC=40°;
第1题解图
(Ⅱ)如图②,∵四边形ODEC是正方形,
∴DE=CE,∠DEC=90°,
∴∠DCE=45°,
∵AC是⊙O的直径,
∴∠BDC=∠ADC=90°,
∴∠ABC=45°.
2.已知,在⊙O中,AB是⊙O的直径,点C、P在AB的两侧,AC=
AB,连接CP,BP.
(Ⅰ)如图①,若CP经过圆心,求∠P的大小;
(Ⅱ)如图②,点D是PB上一点,CD⊥PB,若CP⊥AB,求∠BCD的大小.
第2题图
解:
(Ⅰ)∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵AC=
AB,
∴∠ABC=30°,
∴∠A=90°-∠ABC=60°,
∴∠P=∠A=60°;
(Ⅱ)∵AB是⊙O的直径,AC=
AB,
∴∠A=60°,
∴∠BPC=∠A=60°,
∵CD⊥PB,
∴∠PCD=90°-∠BPC=30°,
∵CP⊥AB,AB是⊙O的直径,
∴
∴BC=BP,
∴∠P=∠BCP=60°,
∴∠BCD=∠BCP-∠PCD=60°-30°=30°.
3.如图①,在△ABC中,点D在边BC上,∠ABC:
∠ACB:
∠ADB=1:
2:
3,⊙O是△ABD的外接圆.
(Ⅰ)求证:
AC是⊙O的切线;
(Ⅱ)当BD是⊙O的直径时(如图②),求∠CAD的度数.
第3题图
(Ⅰ)证明:
如解图,连接OA、OD,设∠ABD=x,
∵∠ABC:
∠ACB:
∠ADB=1:
2:
3,
∴∠ADB=3x,∠ACB=2x,
∴∠DAC=∠ADB-∠ACB=x,∠AOD=2∠ABC=2x,
∴∠OAD=
=90°-x,
∴∠OAC=90°-x+x=90°,
∴OA⊥AC,
∴AC是⊙O的切线;
(Ⅱ)解:
∵BD是⊙O的直径,
∴∠BAD=90°,
∴∠ABC+∠ADB=90°,
∵∠ABC:
∠ACB:
∠ADB=1:
2:
3,
∴4∠ABC=90°,
∴∠ABC=22.5°,
∴∠ADB=67.5°,∠ACB=45°,
∴∠CAD=∠ADB-∠ACB=22.5°.
第3题解图
4.如图,点O在边长为6
的正方形ABCD的对角线AC上,以O为圆心OA为半径的⊙O交AB于点E.
(Ⅰ)⊙O过点E的切线与BC交于点F,当0<OA<6时,求∠BFE的度数;
(Ⅱ)设⊙O与AB的延长线交于点M,⊙O过点M的切线交BC的延长线于点N,当6<OA<12时,利用备用图作出图形,求∠BNM的度数.
解:
(Ⅰ)连接OE,如解图①,
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠2=45°,
∵OE=OA,
∴∠1=∠2=45°,
∵EF为⊙O的切线,
∴OE⊥EF,
∴∠OEF=90°,
∴∠BEF=45°,
∵∠B=90°,
∴∠BFE=45°;
(Ⅱ)连接OM,如解图②,
∵OM=OA,
∴∠OMA=∠OAM=45°,
∵MN为⊙O的切线,∴OM⊥MN,
∴∠OMN=90°,
∴∠BMN=45°,
∵∠MBN=90°,
∴∠BNM=45°.
图①图②
第4题解图
5.四边形ABCD内接于⊙O,AC为其中一条对角线.
(Ⅰ)如图①,若∠BAD=70°,BC=CD,求∠BAC的大小;
(Ⅱ)如图②,若AD经过圆心O,连接OC,AB=BC,OC∥AB,求∠OCD的大小.
第5题图
解:
(Ⅰ)∵四边形ABCD内接于⊙O,BC=CD,
∴∠BAC=∠CAD,
∵∠BAD=70°,
∴∠BAC=∠CAD=35°;
(Ⅱ)连接BD,如解图,
∵AB=BC,
∴∠BAC=∠BCA,
∵OC∥AB,
∴∠BAC=∠OCA,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∵∠ADB=∠ACB,
∴∠BAC=∠CAO=∠ADB=∠ACO,
∵AD是⊙O的直径,
∴∠ABD=∠ACD=90°,
∴∠ADB+∠BAD=90°,即3∠ACO=90°,
∴∠ACO=30°,
∴∠OCD=∠ACD-∠ACO=90°-30°=60°.
第5题解图
6.在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E.
(Ⅰ)如图①,过点D作DF⊥AC,垂足为F,求证:
直线DF与⊙O相切;
(Ⅱ)如图②,过点B作⊙O的切线,与AC的延长线交于点G,若∠BAC=35°,求∠CBG的大小.
第6题图
解:
(Ⅰ)如解图①,连接OD,∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵OD=OB,
∴∠B=∠ODB,
∴∠C=∠ODB,
∴OD∥AC.
∴∠CFD=∠FDO,
∵∠CFD=90°,
∴∠FDO=90°,
∴DF⊥OD,
∵OD为⊙O的半径,
∴直线DF与⊙O相切;
(Ⅱ)如解图②,连接AD,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴AD⊥BC,
∵AB=AC,∴AD平分∠CAB,
∵∠BAC=35°,
∴∠DAB=17.5°,
∴∠CBA=90°-∠DAB=90°-17.5°=72.5°,
∵BG与⊙O相切,
∴∠ABG=90°,
∴∠CBG=90°-∠CBA=90°-72.5°=17.5°.
图①图②
第6题解图
7.在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,DF为⊙O的切线,
(Ⅰ)如图①,求∠DFC的度数;
(Ⅱ)如图②,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点G,连接CG,当△ABC为等边三角形时,求∠AGC的度数.
第7题图
解:
(Ⅰ)连接AD,OD,如解图,
∵AB是⊙O的直径,
∴AD⊥BC.
∵AB=AC,
∴BD=DC,
又∵AO=BO,
∴OD是△ABC的中位线,
∴OD∥AC.
∵DF是⊙O的切线,
∴DF⊥OD,
∴DF⊥AC,
∴∠DFC=90°;
(Ⅱ)∵AB是⊙O的直径,∴BG⊥AC.
∵△ABC是等边三角形,
∴BG是AC的垂直平分线,
∴GA=GC.
又∵AG∥BC,∠ACB=60°,
∴∠CAG=∠ACB=60°.
∴△ACG是等边三角形.
∴∠AGC=60°.
第7题解图
8.已知AB是半圆O的直径,点C是半圆O上的动点,点D是线段AB延长线上的动点,在运动过程中,保持CD=OA.
(Ⅰ)当直线CD与半圆O相切时(如图①),求∠ODC的度数;
(Ⅱ)当直线CD与半圆O相交时(如图②),设另一交点为E,连接AE,若AE∥OC,求∠ODC的度数.
第8题图
解:
(Ⅰ)如解图①,连接OC,
∵OC=OA,CD=OA,
∴OC=CD,
∴∠ODC=∠COD,
∵CD是⊙O的切线,
∴∠OCD=90°,
∴∠ODC=45°;
(Ⅱ)如解图②,连接OE.
∵CD=OA,∴CD=OC=OE=OA,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,
∵AE∥OC,
∴∠2=∠3.
设∠ODC=∠1=x,则∠2=∠3=∠4=x.
又∵∠6是△COD的外角,
∴∠5=∠6=∠1+∠2=2x.
∵OE=OC,∴∠5=∠6=2x.
∵AE∥OC,
∴∠4+∠5+∠6=180°,即:
x+2x+2x=180°,
∴x=36°.
∴∠ODC=36°.
第8题解图
9.如图①,AB是⊙O的直径,AC是弦,直线EF和⊙O相切于点C,AD⊥EF,垂足为D.
(Ⅰ)求证:
∠DAC=∠BAC;
(Ⅱ)若直径AB=4,AD=3,试求∠BAC的度数.
第9题图
(Ⅰ)证明:
如解图,连接OC,
则OC=OA,
∴∠BAC=∠OCA,
∵EF切⊙O于点C,
∴OC⊥EF,
∵AD⊥EF,
∴OC∥AD,
∴∠OCA=∠DAC,
∴∠DAC=∠BAC;
(Ⅱ)解:
如解图,连接BC,
∵AB是⊙O的直径,AD⊥EF,
∴∠ACB=∠ADC=90°,
由(Ⅰ)知∠DAC=∠BAC,
∴△ADC∽△ACB,
∴AC2=AD•AB=3×4=12,
∴AC=2
在Rt△ABC中,cos∠BAC=
∴∠BAC=30° .
第9题解图
10.已知⊙O是△ABC的外接圆,过点A作⊙O的切线,与CO的延长线交于点P,CP与⊙O交于点D.
(Ⅰ)如图①,若∠P=38°,求∠B的大小;
(Ⅱ)如图②,若AP∥BC,∠B=72°,求∠BAC的大小.
第10题图
解:
(Ⅰ)如解图①,连接OA,
∵PA与⊙O与相切,
∴∠PAO=90°,
∴∠POA=90°-∠P=90°-38°=52°,
∴∠AOC=180°-∠POA=180°-52°=128°,
∴∠B=
∠AOC=64°;
(Ⅱ)如解图②,连接BD.
∵DC为⊙O的直径,
∴∠DBC=90°,
∴∠ABD=90°-∠ABC=90°-72°=18°,
∵∠ABD=∠ACD,
∴∠ACD=18°,
∴∠AOD=2∠ACD=36°,
又∵∠PAO=90°,
∴∠P=54°,
∵AP∥BC,
∴∠PCB=∠P=54°,
∴∠CDB=90°-54°=36°,
∴∠BAC=∠BDC=36°.
图①图②
第10题解图
11.已知⊙O中,AC为直径,DA、DB分别切⊙O于点A、B.
(Ⅰ)如图①,若∠D=50°,求∠C的大小;
(Ⅱ)如图②,过点B作BE⊥AC于点F,交⊙O于点E,若BD=BE,求∠C的大小.
第11题解图
解:
(Ⅰ)如解图①,连接AB,
∵AD,BD为⊙O的切线,
∴AD=BD,
∴∠DAB=∠DBA,
∵∠D=50°,
∴∠BAD=65°,
∵AD与⊙O相切,
∴AD⊥AC,
∴∠DAC为直角,
∴∠CAB=25°,
∵AC为直径,
∴∠ABC=90°,
∴∠C=90°-25°=65°;
(Ⅱ)如解图②,连接AB、AE,
∵直径AC垂直于弦BE,
∴A为优弧
的中点,
∴AB=AE,
∵AD为圆O的切线,
∴AD⊥AC,
又∵BE⊥AC,
∴AD∥BE,
∵BD=AD,BD=BE,
∴BE=AD,
∴四边形ADBE为平行四边形,
又∵BD=BE,
∴四边形ADBE为菱形,∴BE=AE,
∴AB=AE=BE,即△ABE为等边三角形,
∴∠E=60°,
∴∠C=∠E=60°.
图①图②
第11题解图