百校联盟江苏省高考《考试大纲》调研卷理科数学第三.docx

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百校联盟江苏省高考《考试大纲》调研卷理科数学第三

百校联盟2016年江苏省高考《考试大纲》调研卷理科数学（第三模拟）

一、填空题：

共14题

1．设全集U={-1,0,1,2,3},若集合A={x|x2-2x-3=0},则∁UA=　　　. 

【答案】{0,1,2}

【解析】本题考查补集的运算等知识.解题的突破口是先将集合A中的方程解出,再根据集合的补集运算法则运算即可.集合的补集运算一定要在全集范围内进行,同一集合在不同的全集范围下的补集是不同的.因为A={x|x2-2x-3=0}={-1,3},又U={-1,0,1,2,3},所以∁UA={0,1,2}.

2．已知复数z满足（2+i）z=1+3i（i为虚数单位）,则复数z的虚部为　　　. 

【答案】1

【解析】本题考查复数的概念及运算,破解的关键是灵活运用复数的乘、除法运算法则.在求解时,要先将复数z化为标准的代数形式,同时注意z=a+bi（a,b∈R）的虚部为b而并非bi.通解　设z=a+bi（a,b∈R）,由（2+i）z=1+3i可得,（2+i）（a+bi）=1+3i,即（2a-b）+（a+2b）i=1+3i,根据复数相等的定义可得,解得,故复数z的虚部为1.

优解　因为（2+i）z=1+3i,所以z==1+i,故复数z的虚部为1.

3．在如图所示的伪代码中,输出的S的值等于　　　. 

【答案】-15

【解析】本题考查伪代码中的For循环语句,考查考生对循环结构的算法功能的理解.求解的关键是弄清楚计数变量I的初值、终值和步长以及循环次数.运行伪代码可知:

第一次循环,I=1,S=-1;第二次循环,I=3,S=-3;第三次循环,I=5,S=-7;第四次循环,I=7,S=-15.故输出的S的值等于-15.

4．如图所示的茎叶图记录了某同学进入高三以来的6次模拟考试中数学附加题的得分情况,则该同学6次得分的方差等于　　　. 

【答案】

【解析】本题考查茎叶图的应用、平均数和方差的求解,考查统计在实际问题中的应用.突破的关键是正确求出6次得分的平均数,并灵活运用方差公式求解.通解　由题图可知,此同学6次得分的平均数为（19+25+28+28+30+32）=27,所以方差为s2=[（19-27）2+（25-27）2+2（28-27）2+（30-27）2+（32-27）2]=.

优解　由于所有数据均在28附近,于是可将所有数据减去28后得到:

-9,-3,0,0,2,4,新数据的平均数为-1,故新数据的方差等于原数据的方差,即s2=[（-9+1）2+（-3+1）2+2（0+1）2+（2+1）2+（4+1）2]=.

5．某小店有5瓶果粒橙,其中有且仅有2瓶已过保质期,现从中随机取2瓶,则所取2瓶果粒橙中至多有1瓶已过期的概率等于　　　. 

【答案】

【解析】本题考查古典概型概率计算公式的应用.求解的关键是利用枚举法准确求出基本事件总数以及所求事件的基本事件数,枚举时要做到不重不漏.

通解　设这5瓶果粒橙分别为0,1,2,3,4（其中0和1代表过期的果粒橙）,从中随机取2瓶共有如下10个基本事件:

（0,1）,（0,2）,（0,3）,（0,4）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,4）.其中“所取2瓶果粒橙中至多有1瓶已过期”包含的基本事件有如下9个:

（0,2）,（0,3）,（0,4）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,4）.所以所求事件的概率为P=.

优解　设这5瓶果粒橙分别为0,1,2,3,4（其中0和1代表过期的果粒橙）,从中随机取2瓶共有如下10个基本事件:

（0,1）,（0,2）,（0,3）,（0,4）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,4）.其中“所取2瓶果粒橙中至多有1瓶已过期”的对立事件为“所取2瓶果粒橙均已过期”,其包含的基本事件只有（0,1）.根据对立事件的概率计算公式可得,所求的概率为P=1-.

6．设实数x,y满足约束条件,则目标函数z=x+3y的最小值为　　　. 

【答案】27

【解析】本题考查简单的线性规划,考查数形结合思想.先画出不等式组表示的平面区域,平移直线x+3y=0找到最优解即可求z=x+3y的最小值.作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,平移直线x+3y=0,当直线z=x+3y经过图中的点C（3,8）时,z取得最小值,且最小值为27.

7．已知角α的终边经过点P（2,1）,则tan（-2α）的值为　　　. 

【答案】-

【解析】本题考查三角函数的定义、两角差的正切公式以及二倍角的正切公式,突破的关键是先由角α的终边上点P的坐标求tanα的值,再利用二倍角公式求tan2α的值,最后利用两角差的正切公式即可求得tan（-2α）的值.因为角α的终边经过点P（2,1）,所以tanα=,所以tan2α=,所以tan（-2α）==-.

8．中心在原点、对称轴为坐标轴,以抛物线y2=4x的焦点为右顶点,且以直线2x-y=0为一条渐近线的双曲线的方程为　　　　　　. 

【答案】x2-=1

【解析】本题考查双曲线、抛物线的方程及简单的几何性质,考查双曲线方程的求解.突破的关键是先由题意确定双曲线的右顶点,再设出其方程并利用待定系数法求解.通解　抛物线y2=4x的焦点坐标为（1,0）,即双曲线的右顶点为（1,0）,故可设双曲线的标准方程为x2-=1（b>0）,由直线2x-y=0为双曲线的一条渐近线,得b=2,故所求双曲线的方程为x2-=1.

优解　以直线2x-y=0为一条渐近线的双曲线的标准方程可设为x2-=λ（λ≠0）,由抛物线y2=4x的焦点坐标为（1,0）,得双曲线的右顶点为（1,0）,则双曲线的方程为-=1（λ≠0）,且λ=1,故所求双曲线的方程为x2-=1.

9．若函数f（x）=cos（ωx+φ）（0<φ<π）的图象关于原点对称,且f（x）在区间[0,]上单调递减,则ω的取值范围是　　　. 

【答案】（0,2]

【解析】本题考查三角函数的图象及性质,考查考生的运算求解能力.由函数f（x）=cos（ωx+φ）（0<φ<π）的图象关于原点对称,得函数f（x）是奇函数,所以φ=kπ+（k∈Z）.又0<φ<π,所以φ=.故f（x）=cos（ωx+）=-sinωx.因为f（x）在区间[0,]上单调递减,所以ω>0,且≤,解得ω≤2.所以ω的取值范围是（0,2].

10．如图,在边长为2的正六边形ABCDEF中,点G为线段CD的中点,则·=　　　. 

【答案】4

【解析】本题考查向量的数量积运算,考查数形结合思想的应用.由于是在正六边形中,因此可以建系之后利用坐标运算处理,亦可将目标向量进行分解之后再求数量积.通解　连接AE,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AE所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A（0,0）,B（2,0）,E（0,2）,D（2,2）,C（3,）,所以G（,）,所以=（,）,=（-2,2）,所以·×（-2）+×2=4.优解　连接AC,在正六边形ABCDEF中,=2,++,又AC⊥CD,故·=0,所以·=（+）·2=2·+=4.

11．已知圆锥的底面半径为2、高为3,一圆柱内接于该圆锥（圆柱的下底面落在圆锥的底面内）,则当圆柱的侧面积最大时,圆柱的体积与圆锥的体积之比等于　　　　. 

【答案】

【解析】本题考查圆柱的侧面积公式、圆锥和圆柱的体积公式,考查二次函数的最值问题.求解本题的关键是找出圆柱的底面半径和高之间的关系,并找出圆柱的侧面积最大时圆柱的底面半径和高的值,最终利用体积公式求比值.设圆柱的底面半径为r,高为h,则,所以h=3-,所以圆柱的侧面积S=2πrh=3π（2r-r2）（0

12．在平面直角坐标系中,已知定点A（-2,0）,B（4,0）,若在直线y=kx+3上存在一点P使得|PA|2+|PB|2=26,则实数k的取值范围为　　　　　　. 

【答案】（-∞,]∪[,+∞）

【解析】本题考查直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式,考查等价转化思想和数形结合思想.其突破的关键在于先利用坐标法研究满足|PA|2+|PB|2=26的点P的轨迹方程,进而转化为直线与此轨迹有公共点问题去处理.设P（x,y）,由|PA|2+|PB|2=26可得x2+y2-2x-3=0,即（x-1）2+y2=4,所以P落在以点（1,0）为圆心、2为半径的圆上,于是由题可知直线y=kx+3与此圆有公共点,所以圆心到直线的距离d=≤2,即3k2-6k-5≥0,解得k≤或k≥.

13．已知函数f（x）=,若函数g（x）=[f（x）]2-（a+1）f（x）+a（a∈R）恰有5个不同的零点,则实数a的取值范围为　　　　. 

【答案】（0,1）

【解析】本题考查分段函数的图象和性质、函数的零点,考查函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想的应用.根据函数解析式,可以画出函数f（x）的图象,g（x）=[f（x）]2-（a+1）f（x）+a（a∈R）恰有5个不同的零点,即关于x的方程[f（x）]2-（a+1）f（x）+a=0有5个不等实根,即f（x）=a和f（x）=1共有5个不等实根,结合图象可知实数a的取值范围.函数f（x）=的图象如图所示.函数g（x）=[f（x）]2-（a+1）f（x）+a（a∈R）恰有5个不同的零点,即关于x的方程[f（x）]2-（a+1）f（x）+a=0有5个不等实根,即f（x）=a和f（x）=1共有5个不等实根.数形结合可知,方程f（x）=1有2个不等实根,故f（x）=a有3个不等实根,即直线y=a与函数y=f（x）的图象共有3个公共点,故0

14．已知公差不为0的等差数列{an}的前9项和S9=54,且a1,a3,a7成等比数列.设Tn为数列{}的前n项和,若存在n∈N*,使得Tn-λan+1≥0成立,则实数λ的取值范围为　　　　. 

【答案】（-∞,]

【解析】本题考查等比数列的概念、等差数列的通项公式、裂项相消法求和、基本不等式求最值等知识,考查考生的运算求解能力.求解时,先用基本量a1,d列出方程组,求得数列{an}的通项公式,再利用裂项相消法求数列{}的前n项和,最后利用参变分离法将“存在n∈N*,使得Tn-λan+1≥0成立”转化为求最值问题去处理.设{an}的公差为d,由已知得,即,因为d≠0,所以,故an=n+1（n∈N*）,所以-,所以Tn=-+-+…+--.因为存在n∈N*,使得Tn-λan+1≥0成立,所以存在n∈N*,使得-λ（n+2）≥0成立,即λ≤有解,而≤,当且仅当n=2时取等号,所以λ≤.

二、解答题：

共12题

15．在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且2bcosB=acosC+ccosA.

（1）求角B的大小;

（2）若a=3,c=4,求△ABC的面积及b的值.

【答案】

（1）由2bcosB=acosC+ccosA可得,2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB,又在△ABC中,sinB>0,所以cosB=,

又B∈（0,π）,所以B=.

（2）因为a=3,c=4,B=,所以S△ABC=×3×4×=3,b2=32+42-2×3×4×=13,即b=.

【解析】本题考查正、余弦定理在解三角形中的应用,三角函数的诱导公式,三角恒等变换等知识.

（1）先利用正弦定理将2bcosB=acosC+ccosA中的边化为角,再用两角和的正弦公式和诱导公式求B的余弦值,进而求出角B的大小;

（2）已知角B和a、c,直接代入三角形的面积公式S△ABC=acsinB求△ABC的面积,利用余弦定理b2=a2+c2-2accosB求解b的值.

【备注】高考对三角的考查主要包括三角函数的概念、同角三角函数的基本关系、三角函数的诱导公式、三角函数的图象与性质、三角恒等变换、解三角形等知识.纵观近几年的考题可知,三角恒等变换与解三角形的有机结合是高考考查的主旋律.

16．如图所示,在梯形ABCD中,∠ABC=∠DAB=90°,AD=2BC,平面BCEF⊥平面ABCD,四边形BCEF为菱形.

（1）求证:

CF⊥平面ABE;

（2）若M为棱AB上一点,且BE∥平面DMF,试求的值.

【答案】

（1）因为平面BCEF⊥平面ABCD,平面BCEF∩平面ABCD=BC,AB⊂平面ABCD,且∠ABC=90°,即AB⊥BC,所以AB⊥平面BCEF.又CF⊂平面BCEF,所以CF⊥AB.因为四边形BCEF为菱形,所以CF⊥BE,又AB∩BE=B,AB、BE⊂平面ABE,所以CF⊥平面ABE.

（2）设AE∩DF=N,连接MN,因为BE∥平面DMF,BE⊂平面ABE,平面ABE∩平面DMF=MN,所以BE∥MN,所以.又EF

BC

AD,所以△ADN∽△EFN,所以=2.

【解析】本题主要考查空间点、线、面之间的位置关系,考查考生的推理论证能力和空间想象能力.

（1）欲证线面垂直,只需要证线线垂直,即证明CF垂直于平面ABE内的两条相交直线;

（2）已知线面平行,可由线面平行的性质定理得到线线平行,从而结合三角形相似计算的值.

【备注】高考对立体几何的考查主要体现在空间平行与垂直关系的证明以及空间几何体的表面积和体积的求解等.解决空间中平行与垂直的证明问题时首先要熟悉有关的定理、公理,注意各个定理的条件,其次要注意转化思想的应用;解决空间几何体的表面积和体积的求解问题时,要先弄清几何体的类型,然后选择正确的公式进行求解,特别地,在求三棱锥的体积时,若直接求解较为困难,要注意转换顶点后再求解.

17．如图所示,m、n分别为某市两条互相垂直的主干道所在的直线,其中O为m、n的交点.若A、B两点分别为该市1路公交车的起点站和终点站,且A、B之间的公交线路是圆心在n上的一段圆弧,站点A到直线m、n的距离分别为1km和10km,站点B到直线m、n的距离分别为9km和6km.

（1）建立适当的坐标系,求公交线路所在圆弧的方程;

（2）为了丰富市民的业余生活,市政府决定在主干道n上选址建一游乐场,考虑到城市民居集中区域问题和环境问题,要求游乐场地址（注:

地址视为一个点,设为点C）在点O上方,且点C到点O的距离d大于2km且小于10km,并要求公交线路（即圆弧AB）上任意一点到游乐场C的距离不小于2 km,求游乐场C距点O距离的最大值.

【答案】

（1）以O为坐标原点,直线m、n分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系,则A（10,1）,B（6,9）,设圆弧AB所在圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2,则,解得,故公交线路所在圆弧的方程为x2+（y-1）2=100（6≤x≤10,1≤y≤9）.

（2）因为游乐场距点O的距离为d（2

设P（x,y）为公交线路上任意一点,则x2+（y-1）2=100（6≤x≤10,1≤y≤9）,且|PC|=≥2对公交线路上任意点P均成立,整理得,2（1-d）y+d2+47≥0对任意的y∈[1,9]恒成立.

令f（y）=2（1-d）y+d2+47,因为2

【解析】本题主要考查圆的方程、一次函数、一元二次不等式在实际问题中的应用,考查考生的建模、解模能力及运用数学知识解决实际问题的能力.

（1）因为直线m、n互相垂直,所以可以以O为坐标原点,直线m、n分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系,求出A、B两点的坐标,利用待定系数法求圆的方程,注意x、y的取值范围;

（2）由游乐场C距点O的距离d可得点C的坐标,设出公交线路上动点P的坐标,将已知条件转化为不等式恒成立问题,利用动点P在圆上（即点P的坐标满足圆的方程）进行消元,进而转化为求最值问题,通过解一元二次不等式并结合条件2

【备注】应用题作为江苏省高考的必考题型之一,难度中等.求解应用题的一般步骤为:

审题→建模→解模→还原,在复习备考时需要掌握常见的函数,如一次函数、二次函数、三次函数、有理分式函数等最值的求法,用导数求函数最值要引起考生的重视.

18．已知直线x-y+1=0经过椭圆S:

+=1（a>b>0）的一个焦点和一个顶点.

（1）求椭圆S的方程;

（2）如图,M、N分别是椭圆S的左顶点、下顶点,过坐标原点O的直线交椭圆于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k.

（i）若直线PA平分线段MN,求k的值;

（ii）对任意的k>0,求证:

PA⊥PB.

【答案】

（1）在直线x-y+1=0中,令x=0,得y=1.令y=0,得x=-1.故c=b=1,a2=2.则椭圆S的方程为+y2=1.

（2）（i）由题意可知,M（-,0）,N（0,-1）,M、N的中点坐标为（-,-）,∴k=.

（ii）解法一　将直线PA的方程y=kx代入+y2=1,解得x=±.记=m,则P（m,mk）,A（-m,-mk）,C（m,0）,故直线AB的方程为y=（x-m）=（x-m）,将其代入椭圆S的方程得,（k2+2）x2-2k2mx+k2m2-4=0,由xB+xA=,可得xB=,因此B（,）.=（2m,2mk）,=（-m,-mk）=（,）.·×2m+×2mk=0,∴PA⊥PB.

解法二　由题意设P（x0,y0）,A（-x0,-y0）,B（x1,y1）,则C（x0,0）,∵A、C、B三点共线,∴,又点P、B在椭圆上,∴+=1,+=1,两式相减得,kPB=-,

kPA.kPB=[-]=-=-1.∴PA⊥PB.

【解析】本题主要考查了椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等知识,考查考生的逻辑思维能力及运算求解能力.

（1）分别令x=0及y=0易得b,c的值,进而求得椭圆的方程.

（2）（i）求出M,N两点的中点的坐标,即可求解k的值;（ii）联立直线与椭圆的方程,根据根与系数的关系等知识表示出向量,,利用向量的数量积为0证明PA与PB垂直,也可利用直线PA,PB的斜率之积为-1进行证明.

【备注】高考对圆锥曲线的考查一般有两方面:

一是由圆锥曲线的定义或几何性质求得圆锥曲线的标准方程;二是研究直线与圆锥曲线的交点问题,弦的中点问题,直线的方程,几何图形的面积,动点、动直线变化过程中的不变量（即定值）问题或者是动直线（或曲线）的定点（定值）问题等.

19．已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=1-an（n∈N*）.

（1）求证:

数列{an}是等比数列,并求其通项公式;

（2）若数列{bn}满足bn-n=an（2loan+1-1）,记数列{bn}的前n项和为Tn,求使得不等式Tn+nan≥2016成立的正整数n的最小值.

【答案】

（1）由2Sn=1-an（n∈N*）,得2Sn+1=1-an+1（n∈N*）,两式作差并整理得,an+1=an.又2a1=1-a1,即a1=,所以数列{an}是首项为,公比为的等比数列,所以an=（）n.

（2）因为an=（）n,所以an+1=（）n+1,所以bn=（2n+1）×（）n+n,设Qn,Rn分别是数列{（2n+1）×（）n},{n}的前n项和,于是Tn=Qn+Rn.Qn=3×+5×（）2+…+（2n+1）×（）n,①

Qn=3×（）2+5×（）3+…+（2n-1）×（）n+（2n+1）×（）n+1,②

两式相减可得,Qn=1+2×（）2+2×（）3+…+2×（）n-（2n+1）×（）n+1=1+2×（）2×-（2n+1）×（）n+1=-（2n+4）×（）n+1,所以Qn=2-（n+2）×（）n,又Rn=,所以Tn=2-（n+2）×（）n+.所以Tn+nan=2+-2×（）n,又Tn+1+（n+1）an+1-（Tn+nan）=n+1+4×（）n+1>0对n∈N*恒成立,所以Tn+1+（n+1）an+1>Tn+nan对n∈N*恒成立.

又当n=62时,Tn+nan=2+-2×（）62=1955-2×（）62<2016;当n=63时,Tn+nan=2+-2×（）63=2018-2×（）63>2016.

故当n≥63时,Tn+nan≥2016成立.

所以使得不等式Tn+nan≥2016成立的正整数n的最小值为63.

【解析】本题主要考查等比数列的定义、等差数列和等比数列的前n项和公式、错位相减法与分组求和法求和等知识,考查考生的运算求解能力和推理论证能力.

（1）先由2Sn=1-an（n∈N*）和Sn+1-Sn=an+1求得an+1与an之间的关系,进而证得{an}是等比数列,再确定首项和公比即可得通项公式;

（2）先将an的表达式代入bn-n=an（2an+1-1）可得数列{bn}的通项公式,再利用分组求和法、错位相减法求数列{bn}的前n项和Tn,最终将Tn+nan≥2016转化为关于正整数n的不等式,并结合单调性进行求解.

【备注】高考解答题对数列的考查主要包含等差数列与等比数列的定义、通项公式和求和,数列与不等式的交汇问题,以数列为背景的创新问题等,主要考查公式的灵活应用,一般难度较大.

20．已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a,b,c,d为实常数）在x=0处取得极小值2,且曲线y=f（x）在x=3处的切线方程为3x+y-11=0.

（1）求函数f（x）的解析式;

（2）已知函数h1（x）=ex+t[f'（x）+x2-x],h2（x）=t[f'（x）+x2-x]-lnx,其中t为实常数,试探究是否存在区间M,使得h1（x）和h2（x）在区间M上具有相同的单调性.若存在,说明区间M应满足的条件及对应t的取值范围,并指出h1（x）和h2（x）在区间M上的单调性;若不存在,请说明理由.

【答案】

（1）因为f（x）=ax3+bx2+cx+d,所以f'（x）=3ax2+2bx+c,由题可知,,即,解得,所以f（x）=-x3+x2+2,经检验可得,函数y=f（x）在x=0处取得极小值2.故f（x）=-x3+x2+2.

（2）因为f（x）=-x3+x2+2,所以f'（x）=-x2+2x,所以h1（x）=ex+tx,h2（x）=tx-lnx.

（i）当t=0时,函数h2（x）=-lnx在（0,+∞）上单调递减,h1（x）=ex在（0,+∞）上单调递增,所以不存在区间M,使得h1（x）和h2（x）在区间M上具有相同的单调性.

（ii）当t>0时,h'1（x）=ex+t>0恒成立,所以函数h1（x）=ex+tx在（0,+∞）上单调递增.h'2（x）=t-,令h'2（x）=0,解得x=,当x∈（0,）时,h'2（x）<0,h2（x）单调递减;当x∈（,+∞）时,h'2（x）>0,h2（x）单调递增.所以存在区间M⊆[,+∞）,使得h1（x）和h2（x）在区间M上均为增函数.（iii）当t<0时,h'2（x）=t-<0对x∈（0,+∞）恒成立,所以h2（x）在（0,+∞）上单调递减.对函数h1（x）=ex+tx,令h'1（x）=ex+t=0,得x=ln（-t）.

①若-1≤t<0时,ln（-t）≤0,在（ln（-t）,+∞）上,h'1（x）>0,所以h1（x）单调递增,由于h2（x）在（0,+∞）上单调递减,所以不存在区间M,使得h1（x）和h2（x）在区间M上具有相同的单调性.

②若t<-1时,ln（-t）>0,在（-∞,ln（-t））上,h'1（x）<0,h1（x）单调递减;在（ln（-