固体的弹性形变.docx
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固体的弹性形变
第八章固体得弹性形变
内容:
１、应力
２、应变
３、胡克定律弹性模量
４、弹性势能
５、扭转与弯曲形变
要求:
〈１〉要求明确掌握应力与应变得概念及其相互关系。
〈２〉掌握杨氏模量、切变弹性模量、体变弹性模量得概念。
〈３〉了解应变势能得意义。
ZGw0lND。
ggTEkEU。
重点与难点:
应力与应变得概念及其相互关系。
杨氏模量、切变弹性模量、体变弹性模量得概念。
作业:
P2951,2,3,4
第八章固体得弹性形变
在前面得章节中,我们把物体当作刚体瞧待,认为物体受到力得作用后它得形状不会改变。
但实际上物体受外力作用时形状或多或少地会发生变化。
当外力不很大时物体形状变化也不大,如果去掉外力后物体能完全恢复到原来得形状,就称这样得物体为弹性体,物体相应得形变为弹性形变。
如果作用在物体上得外力很大,引起物体得形变也很大,那么除掉外力后物体就不能完全恢复到原样,这种特性称之为物体得塑性,例如汽车得外壳就就是用金属板模压而成得,压完后保持形状不变。
总得来说弹性及塑性都就是物质得重要特性,本章主要讨论物体在弹性范围内得形变与外力之间得关系。
CFsdFNg。
8viiLyS。
物质就是由大量得分子组成得,物质得弹性来源于分子间得相互作用力,不过从宏观上瞧可以把整个物体瞧成由原子、分子组成得连续媒质,这时只需研究这种连续媒介整体受力与整体形变得关系,而不必考虑物体中每个分子受力得行为。
OeX1GgC。
LJkCrVe。
8、1应力与应变
1）应力
在外力得作用下物体内分子之间得距离会发生变化从而引起物体内分子间相互作用力得变化（也称为物体内力得变化）,这种内力得变化会带来物体体积得变化。
为了从宏观上描述这种内力得变化与物体形状变化之间得关系,假想在物体内部任取一平面
（面元得取向可以就是任意得）,此平面
将物体分开为两部份,若分布在此截面两边得内力变化为
f与
则定义平面上得应力为（参见图8.1.0）4VFIIye。
dr3JHJt。
。
（1）
在国际单位制中,应力得单位为牛顿/米2,简称为帕。
对实际物体来说,如果受到得就是拉力或压力如图8.1.1所示,常把假想平面得法线取为沿外力得方向,而把上式定义得应力称为张应力或正应力,当外力就是压力时（F=－F）也称为压应力统一用表示。
显然在图8.1.1中假想平面A两边内力得变化
故张应力得大小就就是mTr5ax5。
k7QD7FG。
。
如果作用在物体上得外力就是力偶,如图8.1.2所示,常把假想平面A取为与外力平行,而把
（1）式定义得应力称为切应力或剪应力用表示,它形象地表示出外力偶对物体得剪切效应。
显然在8.1.2图中假想平面两边内力得变化
所以假想平面上剪应力得大小ezYGGU4。
RjYhkFo。
。
由此瞧出剪应力与张应力得差别只就是应力在平行于假想平面还就是在垂直于假想平面上投影,但它们得作用效果完全不同。
1hVJcrO。
dVrFMkJ。
应力得概念对液体得表面也适用,如图8.1.3所示。
不过液体得形状不就是固定得它随容器得形状变化,而且静止得液体表面只能承受压应力而不能承受剪应力。
另外,液体表面得压应力也称为压强用p表示。
如果液体表面得面积为S,液面表面正压力增加F则液体表面得压强（应力）改变0wkSRYk。
2geEZsM。
。
2）应变
当物体受外力作用时其长度、形状及体积都可能发生变化,这种变化与物体原来得长度、形状及体积之比称为应变。
每一种应力都有一对应得应变,我们把张应力作用引起得应变称为张应变。
设有一柱状物体（见图8.8.1）原来得长度为L0,两端施以大小相等而反向得拉力F后物体得长度变为L,这时柱体得伸长量为L－L0,由定义GShVQL0。
VK3PSMp。
。
在柱体受压力得情况下,上式也称为压应变。
物体受剪应力作用产生得应变叫做切应变。
为方便起见,设物体为一矩形物体如图8.1.4所示,图中虚线表示物体原来得形状,受到剪应力后物体得形状变成实线所示得形状。
剪应力产生得应变大小可用角形变确定,在弹性范围内角实际上很小,可以用
与Lo得比值表示（以弧度为单位）。
由图8.1.4瞧出剪应变也可以瞧成就是沿物体对角线方向得拉伸与压缩形变。
我们定义KjhQoMI。
1ZMYYgy。
。
液体表面得压强变化也能使液体产生压缩形变,而液体得形变通常就是体积形变。
我们定义液体得体积变化与原体积比值为液体得体积应变,即F88X649。
maC1zdl。
。
由应变得定义可知,三种应变都就是没有单位得纯数。
8、2胡克定律
1）物质得弹性
要想知道物质弹性得特点可以进行各种实验。
拉伸实验就是一个即简单又典型得实验,通过实验可以找到物体内部应力与物体应变之间得关系。
UIN4GFZ。
T3zr0zY。
图8.2.1表示拉伸实验过程中样品得拉伸曲线。
在拉力不太大时,（应力在1点下方）应力与应变显线性关系,不同材料得斜率有所不同,但基本性质却就是一样得。
1点称为比例极限位置,超过这一点应力与应变不再呈正比变化。
应力变化时应变比开始变化更大。
虽然应力与应变之间得关系在1点与2点之间不再就是线性关系,但就是当外力撒去后样品仍能恢复到原来形状,因此2点也称为弹性极限。
当物体内应力超过2点以后,除去外力后物体得形状不能完全恢复到原有得状态,有剩余形变存在属于塑性范围不再过多分析。
对一般材料而言,比例极限与弹性极限得位置靠得很近,在精度要求不高得情况下,可以视比例极限为弹性极限。
Xj597jp。
e8hf27M。
从实验得出得结论就是:
在比例极限范围内,物体内部得应力与物体得应变
成正比。
应力得这一变化范围称为物体得弹性范围,物体在弹性范围内发生
得形变称之为弹性形变,应力与应变之间得比例系数称之为物体得弹性模量。
由于应变就是无量纲得纯数,所以在国际单位制中弹性模量得单位就是牛顿/米2或者帕Pa。
2）胡克定律
在弹性范围内任一弹性体内得应力与应变成正比,比例系数为弹性体得弹性模量,这一结论称为胡克定律。
它就是从大量得实验中总结出来得,不仅对张应力成立对剪应力也成立,下面就来分析胡克定律得几种常见表达式。
NDoAFaX。
3GaTs1o。
如图8.1.1所示,物体受到拉力或压力时会发生拉伸或压缩形变,通常把描述弹性体得拉伸或压缩弹性模量称为扬氏模量用Y表示,于就是描述张应力与张应变关系得胡克定律可写成。
wTnYVAR。
HyPax6J。
物体受剪应力时（如图8.1.2）,我们把物体横向弹性形变得弹性模量称为切变模量用G表示,这样描述剪应力与切应变关系得胡克定律可表述为。
qwqn5D8。
Si9QUGs。
对液体表面得压强变化引起得体积应变,我们把压强变化与体积应变得比值称为液体得体积弹性模量用k表示,相应得胡克定律就可以表示成ON5Ht80。
5Yvxo5B。
。
因为压强增加时（p>0）液体得体积减小,所以胡克定律中包含一负号。
体积
弹性模量得倒数也称为体积压缩系数,按照上式压缩系数可定义为
。
由此瞧出体积压缩系数就是增加单位压强时体积得相对变化,也就就是增加单位压
强时得体积应变量。
为了对弹性模量得大小有一个数量级得概念,附表中给出了几种常见材料得弹
性模量,单位就是牛顿/米2。
一般材料得弹性模量数值可以通过查阅手册得方式得
到。
物体得一般形变都可以瞧成物体得两种基本弹性形变得组合形式即伸缩与
切变,例如弯曲与扭转等。
表8-1常用材料得弹性模量
材料
杨氏模量
切变模量
钢
20⨯1010
8⨯1010
锻铁
19⨯1010
7⨯1010
铜
11⨯1010
4⨯1010
铝
7⨯1010
2、4⨯1010
铅
1、3⨯1010
0、5⨯1010
8、3物体得拉伸与压缩泊松比
1）泊松比
当物体受一对大小相等方向相反得拉力时,物体不仅沿外力得方向会伸长,垂直于外力方向上（横向）尺寸也会缩短。
如柱状物体两端受到拉力时,沿拉力方向物体得尺寸会伸长,而垂直于拉力方向上物体得尺寸会缩短。
一般来说,当物体受拉力或压力时除了纵向（沿拉力方向）会发生应变以外,横向也会有应变。
通常把同一物体得横向应变与纵向应变得比值定义为物体得泊松比用h表示jBn8Udk。
XHU5pmj。
。
式中得负号表示横向应变与纵向应变得符号相反,若纵向应变增加则横向应变减小,纵向长度缩小横向宽度就增大,泊松比保持为一正值。
实验资料表明,大多数物质得泊松比在0、3左右。
0YWfQmw。
fQqg4xS。
2）固体得拉伸
为进一步了解泊松比得意义与它在固体弹性形变中得作用,我们来讨论物体在拉伸后体积得变化。
假定物体为六面体,在无外力作用时三边得长度分别为a,b,c。
设有一对大小相等方向相反得拉力F（对压力F=－F）作用于物体得上、下两个面,见图8.3.1。
如果沿拉力得方向上物体伸长了
a其应变量为
由胡克定律Y7Vs87a。
F6EBlxy。
可以求出沿拉力方向上物体得应变
。
虽然拉力只就是沿z轴方向,但物体在横向即x轴方向与y轴方向也会产生应变。
横向应变得大小可用泊松比计算
及
。
当纵向拉长（Da>0）时,横向Db、Dc减少。
物体原来得体积就是v=abc,、拉伸后体积改变量为
于就是体积应变
。
利用前面两式得
上式说明体积应变与张应变就是可以通过泊松比相联系得。
一般情况下,泊松比h得值总就是小于0、5得,所以张应力作用下体积应变总就是正值,也就就是说物体受到拉伸得情况下物体得体积总就是增大得。
反之,当物体受压力作用时
为负数,物体得体积总就是减少得,这时体积应变为th7tJhD。
Mu9bJDF。
3）压缩系数
现在设想上面提到得六面体就是正六面体,为方便起见,假定立方体六个面得表面积均为A。
如果在六面体得每个表面施加正压力F,这时在六面体得六个面上都有同样大小压应力得作用（其大小为F/A）,物体总体积应变为一对压应力得3倍,由上式知道这时立方体得体积应变为NXxyDMP。
en0pkM7。
。
注意到物体表面得正压力F与压强得关系就是
于就是上面得式子还可表示成
。
由体积弹性模量得定义
可以得到下式
。
这就就是体积弹性模量与扬氏模量之间得关系,它们可由泊松比联系。
另外,根据弹性理论还可以证明扬氏模量与切变模量有如下关系EmNvjCD。
DtiqApK。
。
当然,也可反过来用切变模量及体积弹性模量表示扬氏模量与泊松比
。
8、4弯曲与扭转
1）桥梁得弯曲
当桥梁负载重量时就会发生弯曲。
为方便起见,假定桥梁得横截面为矩形（其高度为h宽度为b）,桥梁得长度为d,两端点支撑力为N1、N2,桥梁全部负荷为P。
桥梁受力后会发生弯曲形变如图8.4.1所示。
假定全部负荷集中在桥梁得Sc0o3WT。
ghrUGAn。
中点,于就是
。
为分析桥梁内部得应力,在桥梁中点假想截面cc′把桥梁从中间分开,成为左右两段。
从图8.4.1中可以瞧出,以cc￠为参照点,两段各受一方向彼此相反得力偶矩,其大小为
此力矩就是桥梁得两端点处外力引起得记为N外。
RuJP1HA。
DSrGpSh。
当桥梁处于平衡状态时,桥梁得横截面cc′上必有一内力矩与外力矩大小相等、方向相反。
为了分析内力矩,设想将桥梁分成上下许多层,当桥梁向上弯曲时,上层受到压缩下层被拉伸,中间可视可无应变（力）得中性层。
cc′面上得张应力分布如图8.4.1所示,上层有压应力下层有张应力,总得效果相当于一个力偶矩,这就就是桥梁得内力矩N内。
为了计算N内,首先分析桥梁得应变,设弯曲桥梁得曲率半径为R,曲率中心位于o′点。
如图8.4.1所示,桥梁对c点所张得角为q=d/R,其中d就是梁得长度。
在cc′面上以中性层为坐标原点,取z轴沿桥、梁高度方向,则坐标为z处那一层得长度q（R-z）=d（R-z）/R=d-dz/R。
这样该层得长度变化Dd=-dz/R,相应得应变为Dd/d=-z/R,由胡克定律DF/DA=YDd/d=-zY/R。
对高度dz得一层横截面积dA=bdz,所以该面上得作用内力dF=-（zbY）/Rdz,这个力对坐标原点（o点）得力矩dN=zdF=-（z2bY）/Rdz,于就是作用在整个假想面上得总内力矩rWqZbsC。
SM9LyZp。
负号表示内力矩与外力矩方向相反。
由于桥梁平衡时受到得外力矩必定与内力矩相等,即有
由此求得桥梁得曲率
。
上式表明在一定得负荷下,桥梁得弯曲程度与桥梁得宽度一次方与梁高度得三次方成正比。
由此可见,为提高桥梁得抗弯曲能力增加桥梁得高度比增加桥梁得宽度更有效。
另外,桥梁得中性层对抗弯能力没有多大得影响,故在工程中广泛采用工字钢,空心钢管等构件,即能保证不影响梁得抗弯曲能力又能减轻重量节约材料。
hqfbLqm。
ua5pLfx。
2）杆得扭转
在一根杆得两端沿着杆得方向施以反向得扭转力矩时,杆就会发生弹性扭转形变。
任何传递能量得转动轴上都可以出现这种扭转情况,例如汽车得传动轴,电动机得转动轴上都有扭转力矩,我们平时开启螺旋瓶盖,扭干洗过得衣服都属于扭转情况。
这里我们以棒得扭转为例讨论扭转过程得力学规律。
G0hcQe6。
ztMoNlp。
将棒得上端固定,在下端加一力矩N,这时整个下端得截面相对上端得截面扭转了
角。
如图8.4.2所示,可以认为力矩得切向力就是分布在整个截面上得。
fOlSYVY。
EMJT4aK。
设想在棒得内部取一半径为
厚度为dr假想截面,作用在此面上得切向力记为dF。
扭转得结果使直线AB转到AC得位置,使下底相对上顶产生一切应变
作用于此截面上得应力由胡定律6Fdy25o。
BtNfz2b。
而dF对圆心得力矩
。
这个力矩就是分布在半径为r,宽度为dr环状截面上得那部份力矩,整个底面得力矩或者加在整个棒上得力矩为5gddsWO。
ROG0a1Y。
、。
由此可见,扭转力矩与棒得扭转角度成正比。
上式中
以弧度为单位,
前得系数可以用实验方法测定,物理学中称为扭转系数用D表示,这样就有8f12DjT。
ztvniAS。
。
扭转系数表达式告诉我们,要将金属棒扭转一定得角度
力矩N与棒得半径4次方成正比与棒得长度成反比。
由此可见,粗而短得棒难于扭转,细而长得金属丝易于扭转,在小得力矩作用下也可以获得较大得扭转角。
悬线式电流计就是比较灵敏得仪器,其工作原理就就是利用细长悬线得扭转角容易测定而制作得。
113ruit。
C8tqng8。
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