中考数学分类自定义之线段垂直平分线的性质.docx

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中考数学分类自定义之线段垂直平分线的性质

2013年中考数学分类汇编之线段垂直平分线的性质

一．选择题

10．（2013遂宁）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于

MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　）

①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：

S△ABC=1：

3．

　A．1B．2C．3D．4

考点：

角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—基本作图．

分析：

①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；

②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；

③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；

④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．

解答：

解：

①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．

故①正确；

②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，

∴∠CAB=60°．

又∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠1=∠2=

∠CAB=30°，

∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．

故②正确；

③∵∠1=∠B=30°，

∴AD=BD，

∴点D在AB的中垂线上．

故③正确；

④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，

∴CD=

AD，

∴BC=CD+BD=

AD+AD=

AD，S△DAC=

AC•CD=

AC•AD．

∴S△ABC=

AC•BC=

AC•

AD=

AC•AD，

∴S△DAC：

S△ABC=

AC•AD：

AC•AD=1：

3．

故④正确．

综上所述，正确的结论是：

①②③④，共有4个．

故选D．

点评：

本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图﹣基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．　

10．（2013威海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（　　）

　A．BC=ACB．CF⊥BFC．BD=DFD．AC=BF

考点：

正方形的判定；线段垂直平分线的性质．

分析：

根据中垂线的性质：

中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可．

解答：

解：

∵EF垂直平分BC，

∴BE=EC，BF=CF，

∵CF=BE，

∴BE=EC=CF=BF，

∴四边形BECF是菱形；

当BC=AC时，

∵∠ACB=90°，

则∠A=45°时，菱形BECF是正方形．

∵∠A=45°，∠ACB=90°，

∴∠EBC=45°

∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°

∴菱形BECF是正方形．

故选项A正确，但不符合题意；

当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意；

当BD=DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C正确，但不符合题意；

当AC=BD时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D错误，符合题意．

故选：

D．

点评：

本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的相关的定理是解题关键．　

8．（2013威海）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（　　）

　A．∠C=2∠AB．BD平分∠ABC

　C．S△BCD=S△BODD．点D为线段AC的黄金分割点

考点：

线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；黄金分割．

分析：

求出∠C的度数即可判断A；求出∠ABC和∠ABD的度数，求出∠DBC的度数，即可判断B；根据三角形面积即可判断C；求出△DBC∽△CAB，得出BC2=BC•AC，求出AD=BC，即可判断D．

解答：

解：

A．∵∠A=36°，AB=AC，

∴∠C=∠ABC=72°，

∴∠C=2∠A，正确，故本选项错误；

B．∵DO是AB垂直平分线，

∴AD=BD，

∴∠A=∠ABD=36°，

∴∠DBC=72°﹣36°=36°=∠ABD，

∴BD是∠ABC的角平分线，正确，故本选项错误；

C，根据已知不能推出△BCD的面积和△BOD面积相等，错误，故本选项正确；

D．∵∠C=∠C，∠DBC=∠A=36°，

∴△DBC∽△CAB，

∴

=

，

∴BC2=BC•AC，

∵∠C=72°，∠DBC=36°，

∴∠BDC=72°=∠C，

∴BC=BD，

∵AD=BD，

∴AD=BC，

∴AD2=CD•AC，

即点D是AC的黄金分割点，正确，故本选项错误；

故选C．

点评：

本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质，黄金分割点，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生的推理能力．　

23．（2013泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是．

考点：

含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．

分析：

根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE=30°，则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度．

解答：

解：

∵∠ACB=90°，FD⊥AB，

∴∠∠ACB=∠FDB=90°，

∵∠F=30°，

∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）．

又AB的垂直平分线DE交AC于E，

∴∠EBA=∠A=30°，

∴直角△DBE中，BE=2DE=2．

故答案是：

2．

点评：

本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形．解题的难点是推知∠EBA=30°．　

10．（2013临沂）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（　　）

　A．AB=ADB．AC平分∠BCDC．AB=BDD．△BEC≌△DEC

考点：

线段垂直平分线的性质．

分析：

根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AB=AD，BC=CD，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC平分∠BCD，平分∠BCD，EB=DE，进而可证明△BEC≌△DEC．

解答：

解：

∵AC垂直平分BD，

∴AB=AD，BC=CD，

∴AC平分∠BCD，平分∠BCD，EB=DE，

∴∠BCE=∠DCE，

在Rt△BCE和Rt△DCE中

，

∴Rt△BCE≌Rt△DCE（HL），

故选：

C．

点评：

此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　

7．（2013扬州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（　　）

　A．50°B．60°C．70°D．80°

考点：

菱形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；几何综合题．

分析：

连接BF，根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAC，∠BCF=∠DCF，四条边都相等可得BC=CD，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=BF，根据等边对等角求出∠ABF=∠BAC，从而求出∠CBF，再利用“边角边”证明△BCF和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CDF=∠CBF．

解答：

解：

如图，连接BF，

在菱形ABCD中，∠BAC=

∠BAD=

×80°=40°，∠BCF=∠DCF，BC=CD，

∵∠BAD=80°，

∴∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣80°=100°，

∵EF是线段AB的垂直平分线，

∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=40°，

∴∠CBF=∠ABC﹣∠ABF=100°﹣40°=60°，

∵在△BCF和△DCF中，

，

∴△BCF≌△DCF（SAS），

∴∠CDF=∠CBF=60°．

故选B．

点评：

本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．　

9．（2013天门）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（　　）

　A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm

考点：

线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质．

分析：

连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，求出AB、AC值，求出BE、CF值，求出BM、CN值，代入MN=BC﹣BMCN求出即可．

解答：

解：

连接AM、AN、过A作AD⊥BC于D，

∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，

∴∠B=∠C=30°，BD=CD=3cm，

∴AB=

=2

cm=AC，

∵AB的垂直平分线EM，

∴BE=

AB=

cm

同理CF=

cm，

∴BM=

=2cm，

同理CN=2cm，

∴MN=BC﹣BM﹣CN=2cm，

故选C．

点评：

本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，喊30度角的直角三角形性质，解直角三角形等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．　

二．填空题

15．（2013义乌）如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若∠AOC=125°，则∠ABC=．

考点：

线段垂直平分线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质．

分析：

先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠C，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OB=OC，根据等边对等角的性质求出∠OBC=∠C，然后根据角平分线的定义解答即可．

解答：

解：

∵AD⊥BC，∠AOC=125°，

∴∠C=∠AOC﹣∠ADC=125°﹣90°=35°，

∵D为BC的中点，AD⊥BC，

∴OB=OC，

∴∠OBC=∠C=35°，

∵OB平分∠ABC，

∴∠A∠=2∠OBC=2×35°=70°．

故答案为：

70°．

点评：

本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，角平分线的定义，是基础题，准确识图并熟记各性质是解题的关键．　

15．（2013百色）如图，菱形ABCD的周长为12cm，BC的垂直平分线EF经过点A，则对角线BD的长是cm．

考点：

菱形的性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质．

分析：

首先连接AC，由BC的垂直平分线EF经过点A，根据线段垂直平分线的性质，可得AC的长，由菱形的性质，可求得AC=AB=3，然后由勾股定理，求得OB的长，继而求得答案．

解答：

解：

连接AC，

∵菱形ABCD的周长为12cm，

∴AB=6，AC⊥BD，

∵BC的垂直平分线EF经过点A，

∴AC=AB=3，

∴OA=

AC=

，

∴OB=

=

，

∴BD=2OB=3

．

故答案为：

3

．

点评：

此题考查了菱形的性质、勾股定理以及线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．　

15．（2013淄博）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，