小学奥数速算巧算方法二.docx
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小学奥数速算巧算方法二
小学奥数--速算巧算方法
第一讲生活中几十乘以几十巧算方法1
第二讲常用巧算速算中的思维与方法
(1)3
第三讲常用巧算速算中的思维与方法
(2)5
第四讲常用巧算速算中的思维与方法(3)8
第五讲常用巧算速算中的思维与方法(4)10
第六讲常用巧算速算中的思维与方法(5)14
第七讲常用巧算速算中的思维与方法(6)16
第八讲小数的速算与巧算1——凑整18
第九讲乘法速算119
第十讲乘法速算220
第十一讲乘法速算322
第十二讲乘法速算423
第十三讲乘法速算523
第十四讲乘法速算625
第十五讲乘法速算727
第十六讲乘法速算829
注:
《速算技巧》33
第五讲常用巧算速算中的思维与方法(4)
方法一:
拆数加减
在分数加减法运算中,把一个分数拆成两个分数相减或相加,使隐含的数量关系明朗化,并抵消其中的一些分数,往往可大大地简化运算。
(1)拆成两个分数相减。
例如
又如
(2)拆成两个分数相加。
例如
又如
方法二:
同分子分数加减
同分子分数的加减法,有以下的计算规律:
分子相同,分母互质的两个分数相加(减)时,它们的结果是用原分母的积作分母,用原分母的和(或差)乘以这相同的分子所得的积作分子。
分子相同,分母不是互质数的两个分数相加减,也可按上述规律计算,只是最后需要注意把得数约简为既约(最简)分数。
例如
(注意:
分数减法要用减数的原分母减去被减数的原分母。
)
由上面的规律还可以推出,当分子都是1,分母是连续的两个自然数时,这两个分数的差就是这两个分数的积,
根据这一关系,我们也可以简化运算过程。
例如
方法三:
先借后还
“先借后还”是一条重要的数学解题思想和解题技巧。
例如
做这道题,按先通分后相加的一般办法,势必影响解题速度。
现在从“凑整”着眼,采用“先借后还”的办法,很快就将题目解答出来了。
第六讲常用巧算速算中的思维与方法(5)
方法一:
个数折半
下面的几种情况下,可以运用“个数折半”的方法,巧妙地计算出题目的得数。
(1)分母相同的所有真分数相加。
求分母相同的所有真分数的和,可采用“个数折半法”,即用这些分数的个数除以2,就能得出结果。
这一方法,也可以叙述为分母相同的所有真分数相加,只要用最后一个分数的分子除以2,就能得出结果。
(2)分母为偶数,分子为奇数的所有同分母的真分数相加,也可用“个数折半法”求得数。
比方
(3)分母相同的所有既约真分数(最简真分数)相加,同样可用“个数折
半法”求得数。
比方
方法二:
带分数减法
带分数减法的巧算,可用下面的两个方法。
(1)减数凑整。
例如
(2)交换位置。
例如
在这两种方法中,第
(1)种“凑整”法,也可以运用到带分数的加法中去。
例如
第七讲常用巧算速算中的思维与方法(6)
方法一:
带分数乘法
有些特殊的带分数相乘,可以采用一些特殊的巧算方法。
(1)相乘的两个带分数整数部分相同,分数部分的和是1,则乘积也是个带分数,它的整数部分是一个因数的整数部分乘以比它大1的数,分数部分是两个因数的分数部分的乘积。
例如
(2)相乘的两个带分数整数部分相差1,分数部分和为1,则积也是个带分数,它用较大数的整数部分的平方,减去分数部分的平方,所得的差就是这两个带分数的乘积。
例如
(注:
这是根据“(a+b)(a-b)=a2-b2”推出来的。
)
(3)相乘的两个带分数,整数部分都是1,分子也都是1,分母相差1,则乘积也是个带分数。
这个带分数的整数部分是1,分子是2,分母与较大因数的分母相同。
例如
读者自己去试一试,此处略)。
方法二:
两分数相除
有些分数相除,可以采用以下的巧算方法:
(1)分子、分母分别相除。
在个别情况下,分数除法可沿用整数除法的做法:
用分子相除的商作分子,用分母相除的商作分母。
不过,这只有在被除数的分子、分母,分别是除数的分子、分母的整数倍数的情况下,计算才比较简便。
例如
(2)分母相除,一次得商。
在两个带分数相除的算式中,当被除数和除数的整数与分母调换了位置,而它们的分子又相同时,根据分数除法法则,只要用原除数的分母除以被除数的分母,所得的数就是它们的商。
例如
(注:
用除法法则可以推出这种方法,此处略。
)
第八讲小数的速算与巧算
【知识精要】
凑整法是小数加减法速算与巧算运用的主要方法。
用的时候主要看末位。
但是小数计算中“小数点”一定要对齐。
【例题精讲】
<一>凑整法
例1、计算5.6+2.38+4.4+0.62。
【分析】5.6与4.4刚好凑成10,2.38与0.62刚好凑成3,这样先凑整运算起来会更加简便。
【解答】原式=(5.6+4.4)+(2.38+0.62)
=10+3
=13
【评注】凑整,特别是“凑十”、“凑百”等,是加减法速算的重要方法。
例2、计算:
1.999+19.99+199.9+1999。
【分析】因为小数计算起来容易出错。
刚好1999接近整千数2000,其余各加数看做与它接近的容易计算的整数。
再把多加的那部分减去。
【解答】1.999+19.99+199.9+1999
=2+20+200+2000-0.001-0.01-0.1-1
=2222-1.111
=2220.889
【评注】所谓的凑整,就是两个或三个数结合相加,刚好凑成整十整百,我们也可以引申为读整法,譬如此题。
“1.999”刚好与“2”相差0.001,因此我们就可以先把它读成“2”来进行计算。
但是,一定要记住刚才“多加的”要“减掉”。
“多减的”要“加上”!
第九讲乘法速算1
一.前数相同的:
1.1.十位是1,个位互补,即A=C=1,B+D=10,S=(10+B+D)×10+A×B
方法:
百位为二,个位相乘,得数为后积,满十前一。
例:
13×17
13+7=2--(“-”在不熟练的时候作为助记符,熟练后就可以不使用了)
3×7=21
-----------------------
221
即13×17=221
1.2.十位是1,个位不互补,即A=C=1,B+D≠10,S=(10+B+D)×10+A×B
方法:
乘数的个位与被乘数相加,得数为前积,两数的个位相乘,得数为后积,满十前一。
例:
15×17
15+7=22-(“-”在不熟练的时候作为助记符,熟练后就可以不使用了)
5×7=35
-----------------------
255
即15×17=255
1.3.十位相同,个位互补,即A=C,B+D=10,S=A×(A+1)×10+A×B
方法:
十位数加1,得出的和与十位数相乘,得数为前积,个位数相乘,得数为后积
例:
56×54
(5+1)×5=30--
6×4=24
----------------------
3024
1.4.十位相同,个位不互补,即A=C,B+D≠10,S=A×(A+1)×10+A×B
方法:
先头加一再乘头两,得数为前积,尾乘尾,的数为后积,乘数相加,看比十大几或小几,大几就加几个乘数的头乘十,反之亦然
例:
67×64
(6+1)×6=42
7×4=28
7+4=11
11-10=1
4228+60=4288
----------------------
4288
方法2:
两首位相乘(即求首位的平方),得数作为前积,两尾数的和与首位相乘,得数作为中积,满十进一,两尾数相乘,得数作为后积。
例:
67×64
6×6=36--
(4+7)×6=66-
4×7=28
----------------------
4288
第十讲乘法速算2
二、后数相同的:
2.1.个位是1,十位互补即B=D=1,A+C=10S=10A×10C+101
方法:
十位与十位相乘,得数为前积,加上101.。
--8×2=16--
101
-----------------------
1701
2.2.<不是很简便>个位是1,十位不互补即B=D=1,A+C≠10S=10A×10C+10C+10A+1
方法:
十位数乘积,加上十位数之和为前积,个位为1.。
例:
71×91
70×90=63--
70+90=16-
1
----------------------
6461
2.3个位是5,十位互补即B=D=5,A+C=10S=10A×10C+25
方法:
十位数乘积,加上十位数之和为前积,加上25。
例:
35×75
3×7+5=26--
25
----------------------
2625
2.4<不是很简便>个位是5,十位不互补即B=D=5,A+C≠10S=10A×10C+525
方法:
两首位相乘(即求首位的平方),得数作为前积,两十位数的和与个位相乘,得数作为中积,满十进一,两尾数相乘,得数作为后积。
例:
75×95
7×9=63--
(7+9)×5=80-
25
----------------------------
7125
2.5.个位相同,十位互补即B=D,A+C=10S=10A×10C+B100+B2
方法:
十位与十位相乘加上个位,得数为前积,加上个位平方。
例:
86×26
8×2+6=22--
36
-----------------------
2236
2.6.个位相同,十位非互补
方法:
十位与十位相乘加上个位,得数为前积,加上个位平方,再看看十位相加比10大几或小几,大几就加几个个位乘十,小几反之亦然
例:
73×43
7×4+3=31
9
7+4=11
3109+30=3139
-----------------------
3139
第十一讲乘法速算3
2.7.个位相同,十位非互补速算法2
方法:
头乘头,尾平方,再加上头加尾的结果乘尾再乘10
例:
73×43
7×4=28
9
2809+(7+4)×3×10=2809+11×30=2809+330=3139
-----------------------
3139
三、特殊类型的:
3.1、一因数数首尾相同,一因数十位与个位互补的两位数相乘。
方法:
互补的那个数首位加1,得出的和与被乘数首位相乘,得数为前积,两尾数相乘,得数为后积,没有十位用0补。
例:
66×37
(3+1)×6=24--
6×7=42
----------------------
2442
第十二讲乘法速算4
3.2、一因数数首尾相同,一因数十位与个位非互补的两位数相乘。
方法:
杂乱的那个数首位加1,得出的和与被乘数首位相乘,得数为前积,两尾数相乘,得数为后积,没有十位用0补,再看看非互补的因数相加比10大几或小几,大几就加几个相同数的数字乘十,反之亦然
例:
38×44
(3+1)×4=16
8*4=32
1632
3+8=11
11-10=1
1632+40=1672
----------------------
1672
第十三讲乘法速算5
3.3、一因数数首尾互补,一因数十位与个位不相同的两位数相乘。
方法:
乘数首位加1,得出的和与被乘数首位相乘,得数为前积,两尾数相乘,得数为后积,没有十位用0补,再看看不相同的因数尾比头大几或小几,大几就加几个互补数的头乘十,反之亦然
例:
46×75
(4+1)*7=35
6*5=30
5-7=-2
2*4=8
3530-80=3450
----------------------
3450
3.4、一因数数首比尾小一,一因数十位与个位相加等于9的两位数相乘。
方法:
凑9的数首位加1乘以首数的补数,得数为前积,首比尾小一的数的尾数的补数乘以凑9的数首位加1为后积,没有十位用0补。
例:
56×36
10-6=4,3+1=4,36÷9也等于4
5*(10-6)=20
4*(10-6)=16
“注:
(10-6)也可以写作(3+1)和(36÷9)”
---------------
2016
3.5、两因数数首不同,尾互补的两位数相乘。
方法:
确定乘数与被乘数,反之亦然。
被乘数头加一与乘数头相乘,得数为前积,尾乘尾,得数为后积。
再看看被乘数的头比乘数的头大几或小几,大几就加几个乘数的尾乘十,反之亦然
例:
74×56
(7+1)*5=40
4*6=24
7-5=2
2*6=12
12*10=120
4024+120=4144
---------------
4144
第十四讲乘法速算6
3.6、两因数首尾差一,尾数互补的算法
方法:
不用向第五个那么麻烦了,取大的头平方减一,得数为前积,大数的尾平方的补整百数为后积
例:
24×36
3>2
3*3-1=8
6^2=36
100-36=64
---------------
864
3.7、近100的两位数算法
方法:
确定乘数与被乘数,反之亦然。
再用被乘数减去乘数补数,得数为前积,再把两数补数相乘,得数为后积(未满10补零,满百进一)
例:
93×91
100-91=9
93-9=84
100-93=7
7*9=63
---------------
8463
3.8、头互补,尾不同的两位数乘法
方法:
先确定乘数与被乘数,前两位为将被乘数的头和乘数的头相乘加上乘数的个位数。
后两位为被乘数与乘数尾数的积。
再看被乘数末尾的数比乘数末尾数字小几或大几,小几就减几个乘数的头乘十,反之亦然
例:
22×81
2*8+1=17
2*1=2
2=1+1
1702+1*80=1782
---------------
1782
B、平方速算
一、求11~19的平方
同上1.2,乘数的个位与被乘数相加,得数为前积,两数的个位相乘,得数为后积,满十前一
例:
17×17
17+7=24-
7×7=49
---------------
289
三、个位是5的两位数的平方
同上1.3,十位加1乘以十位,在得数的后面接上25。
例:
35×35
(3+1)×3=12--
25
----------------------
1225
四、十位是5的两位数的平方
同上2.5,个位加25,在得数的后面接上个位平方。
例:
53×53
25+3=28--
3×3=9
----------------------
2809
四、21~50的两位数的平方
求25~50之间的两数的平方时,记住1~25的平方就简单了,11~19参照第一条,下面四个数据要牢记:
21×21=441
22×22=484
23×23=529
24×24=576
求25~50的两位数的平方,用底数减去25,得数为前积,50减去底数所得的差的平方作为后积,满百进1,没有十位补0。
例:
37×37
37-25=12--
(50-37)^2=169
--------------------------------
1369
第十五讲乘法速算7
五、知道平方后的速算
5.1相邻奇(偶)数的速算
方法,取平均数的平方减去1
例:
21*23
22^2=484,484-1=483
--------------------------------
483
5.2两数相加为100的速算(限用于小数为25-49)
方法:
将大数减去50,再用2500减去差的平方
例:
36*64
64-50=14
2500-14^2=2500-196=2304
--------------------------------
2304
5.3两数相加为100的速算(限用于小数为1-25)
方法,将小数乘以100,减去小数的平方即可
例:
11*89
1100-11^2=1100-121=979
--------------------------------
979
5.4(三位乘三位)两因数第一位相同,后两位互补的乘法
方法:
前两位为被乘数第一位加1和另一个被乘数第一位的积;后面四位为两个数字中每个数末尾两位的积
例:
436*464
64-50=14
2500-14^2=2500-196=2304
4*5=20
--------------------------------
202304
5.5和为200的两数乘法
方法:
将大数百位上的1直接去掉,再用10000减去去掉后数的平方
例:
127*73
27^2=729
10000-729=9271
--------------------------------
9271
5.6两数字(三位数)后两位互补,百位数差一的乘法
方法:
将大数百位上的数字直接去掉,再用大数平方减一作为前两位,后四位为10000减去去掉后数的平方
例:
217*183
2^2=3
10000-17^2=10000=289=9711
--------------------------------
39711
5.7十位数相差2,个位数相同的乘法
方法:
取平均数的平方减去100
例:
25*45
(25+45)÷2=35
35^2-100=1125
--------------------------------
1125
5.8百位互补,后两位相同的乘法
方法:
取两数的百位相乘加上并乘以10后加上后两位为前两位,后面三位为后两位的平方(位数不够用0补,满十进一)
例:
323*723
3*7*10+23=233
23^2=529
--------------------------------
233529
第十六讲乘法速算8
六:
多位数特殊算法
6.1一数和为9,一数为顺子的算法
方法:
凑9的数字按3.4条的方法处理,再将此数乘以顺子的头和尾的补数,中间的数字全部替换为上一步处理完的数。
例:
45*234567
步骤1:
4+1=5,10-5=5,45÷9=5(任选一个即可)
步骤2:
5*2=10;5*(10-7)=15
步骤3:
将中间的3456替换为全部替换为5
--------------------------------
10555515
6.2、一数和为9,一数为含890的顺的算法
方法:
凑9的数字按3.4条的方法处理,再将此数乘以顺子的头和尾的补数。
中间的数字除9以外全部替换为上一步处理完的数,9替换成0,若0为结尾则先约掉0按6.1的方法算出答案后再补0。
例:
36*6789012
步骤1:
3+1=4,10-6=4,36÷9=4(任选一个即可)
步骤2:
4*6=24;4*(10-2)=32
步骤3:
将78901替换为44044
--------------------------------
244404432
6.3、一数和为9,一数为缺八顺的算法(末尾可以是789)
方法:
凑9的数字按3.4条的方法处理,再将此数乘以顺子的头和尾的补数。
中间的数字全部替换为上一步处理完的数。
若0为结尾则先约掉0按6.1的方法算出答案后再补0。
例:
36*567901234
步骤1:
3+1=4,10-6=4,36÷9=4(任选一个即可)
步骤2:
4*5=20;4*(10-4)=24
步骤3:
将6790123全部替换为4
--------------------------------
20444444424
6.4、一数互补,一数为相同数的算法
方法:
头加一和尾同时与相同数的任意一位数字相乘。
中间的数字位数为相同数的位数减2,数字不变
例:
46*444444444
步骤1:
(4+1)*4=20,6*4=24
步骤2:
444444444有9个4,9-2=7,抄7个4
--------------------------------
20444444424
6.5、一数为相同数,一数位两位循环(相邻两位互补)的算法
方法:
先将相同数的任意一位乘以循环节首位+1,再将相同数的任意一位乘以尾数,中间数字替换成相同数的任意一位数
例1:
77*646464
步骤1:
(6+1)*7=49,7*4=28
步骤2:
将4646替换为7777
--------------------------------
49777728
例2:
44*7373737
步骤1:
(7+1)*4=32,7*4=28
步骤2:
将37373替换为44444
--------------------------------
324444428
6.6、多个9乘以任意数(位数要少于或等于前数的总位数)
方法:
先将(任意数)-1,然后把(任意数)的位数和(多个9)比较位数的多少,少几位则在中间写几个9,写完9后写补数。
熟练者可以直接看出位数,写补数。
如果两个数位数相同,中间则没有9。
例:
1536*999999
第一步:
1536-1=1535
第二步:
6(6个9)-4(1536是4位数)=2
第三步:
10000-1536=8464
答案:
1535998464
C、加减法
一、补数的概念与应用
补数的概念:
补数是指从10、100、1000……中减去某一数后所剩下的数。
例如10减去9等于1,因此9的补数是1,反过来,1的补数是9。
补数的应用:
在速算方法中将很常用到补数。
例如求两个接近100的数的乘法或除数,将看起来复杂的减法运算转为简单的加法运算等等。
D、除法速算
一、某数除以5、25、125时
1、被除数÷5
=被除数÷(10÷2)
=被除数÷10×2