二次函数临界问题教师版.docx
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二次函数临界问题教师版
二次函数临界问题
一、内容分析：
函数临界问题是中考数学代数综合经常涉及的考点，培养学生通过静态位
置体会动态过程，数形结合分析和解决问题，对学生能力有比较高的要求。
重点考察的是学生的快速作图能力、简单计算能力、二次函数与几何图形
结合的数形结合能力。
本节内容为题型解题技巧的探究，形成解决此类问
题的数学经验是核心。
二、典型例题
例1.在平面直角坐标系中，已知A（3,2），B（-1,2），完成下面问题：
（1）若一次函数y=-x+b的图象与线段AB有交点，则b的取值范围为___1≤b≤5__.
（2）若一次函数y=kx+3的图象与线段AB有交点，则k的取值范围为_k≤-1/3或k≥1
（3）若二次函数y=ax2的图象与线段AB有交点，则a的取值范围为___a≥2/9.
（4）若二次函数y=x2+c的图象与线段AB有交点，则c的取值范围为__-7≤c≤2___.
小结：
以上四个问题具有什么共同点？
区别又是什么?
解题过程中有哪些相同的步骤？
都有线段AB（不动图形），都含一个待定系数（直接影响图形运动方式），所求为此待定系数范围。
相同步骤：
1、画出不动图形2、确定动图形运动方式3、画出临界状态
4、代入临界点求出范围5、检验临界点合理性
思考：
以上各小题若改变交点个数，结论将如何变化？
例3：
抛物线y=x-4x+3与y轴交于点D，与x轴交于点E、F（点E在点F的左侧），
记抛物线在D、F之间的部分为图象
有两个公共点，请结合函数图象，求
G（包含D、F两点），若直线y=kx-1与图象G
k的值或取值范围.
分析：
临界位置
1
k=0,不可以取到
k=1/3，可以取到
）平行于x轴，
将抛物线对称轴右侧函数值大于0的部分沿x轴翻折，得到一个新的函数图象，若直
线y=x+b与新图象有一个公共点，请结合函数图象，求b的值或取值范围.
b<-13/4或b>-3
例4：
（1）已知：
y1x22x3,y2kxb，
若只有当2x2时，y1y2，则y2解析式为__y2=-2x+1
2
2）将yx2x3（y0）的函数图象记为图象A，图象A关于x轴对称的图象
记为图象B．已知一次函数ykxb.设点H（m,0）是x轴上一动点，过点H作x轴
H作x轴的垂线，交y1于点
方，请写出一个符合题意的
P，交y2于点Q．若只有当1m3时，点P在点Q下
y2解析式_y2_=-x2+2x+3__（满足y=a（x+1）（x-3）,其中
a<0开口向下或者0（4）已知：
y12x1,y2xm，若当x1时，y1y2，请写出一个符合
题意的m的值__m=0（只需交点横坐标m-1≤1即可，即m≤2）．
小结解题策略：
1、根据已知条件画出确定的图形；
2、对于不确定的图形，确定其运动方式；
3、在图形的运动中先直观找到符合条件的各临界状况（移图）；
4、由临界点时的参数值确定符合条件的参数的取值范围（代入计算）；
5、检验边界合理性.
三、真题演练
1（2016北京27题）27.在平面直角坐标系xOy中，抛物线错误！
未找到引用源。
与
x轴的交点为A,B.
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点。
①当m＝1时，求线段AB上整点的个数；
②若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6
个整点，结合函数的图象，求m的取值范围。
解析：
（1）解：
将抛物线表达式变为顶点式错误！
未找到引用源。
，则抛物线顶点
坐标为（1,-1）.
（2）解：
①错误！
未找到引用源。
时，抛物线表达式为错误！
未找到引用源。
，
因此A、B的坐标分别为（0,0）和（2,0），则线段AB上的整点有（0,0），（1,0），（2,0）共3个；
②抛物线顶点为（1,-1），则由线段AB之间的部分及
线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，
所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；
又有抛物线表达式，令错误！
未找到引用源。
，得到A、
B两点坐标分别为错误！
未找到引用源。
，即5个整点是以（1,0）为中心向两侧分散，
进而得到错误！
未找到引用源。
，错误！
未找到引用源。
。
2.（2015北京27题）在平面直角坐标系xOy中，过点（0,2）且平行于x轴的直线，与
2
直线yx1交于点A，点A关于直线x1的对称点为B，抛物线C1:
yxbxc
经过点A，B。
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；
2
（3）若抛物线C2:
yax2（a0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a
的取值范围。
3.（2014北京23题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，
-2），B（3，4）．
（1）求抛物线的表达式及对称轴；
（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，
B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结
合函数图象，求点D纵坐标t的取值范围．
解：
（1）∵y=2x2+mx+n经过点A（0，-2），B（3，4）
代入，得：
n=-2
18+3m+n=4
∴m=-4；n=-2
∴抛物线的表达式为：
y=
∴对称轴为：
x=-1
（2）由题意可知：
C（-3，-4）
二次函数的最小值为－4；
由图像可以看出D点坐标最小值即为－4；
最大值即BC的解析式：
x=1时，y=
4.（2013北京23题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线
2
ymx2mx2（m0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B。
（1）求点A，B的坐标；
（2）设直线与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线的解析式；
（3）若该抛物线在2x1这一段位于直线的上方，并且在2x3这一段
位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式。
1）当x0时，y2.
∴A（0，2）
抛物线对称轴为x2m1
2m
∴B（1，0）
（2）易得A点关于对称轴的对称点为A（2，2）
则直线l经过A、B.
没直线的解析式为ykxb
2kb2k2
则，解得来源:
#z~zste*p.%co&m]
kb0b2
∴直线的解析式为y2x2
（3）∵抛物线对称轴为x1
抛物体在2x3这一段与在1x0这一段关于对称轴对称
结合图象可以观察到抛物线在2x1这一段位于直线l的上
方
在1x0这一段位于直线l的下方；
∴抛物线与直线l的交点横坐标为1；
当x1时，y2x
（1）24
则抛物线过点（-1，4）
当x1时，m2m24，m2
∴抛物线解析为y2x24x2.
23
5.（2012北京23题）已知二次函数y（t1）x22（t2）x3
在x0和x2时的函数值相等。
（1）求二次函数的解析式；
（2）若一次函数ykx6的图象与二次函数的图象都经过点A（3，m），求m
和k的值；
3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函
数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n0）个单位
后得到的图象记为G，同时将
（2）中得到的直线
ykx6向上平移n个
单位。
请结合图象回答：
当平移后的直线与图象
G有公共点时，n的取
值范围。
解：
（1）由题意得（t1）222（t2）233.
22
3
解得t3.
2
123
二次函数的解析式为yxx.
22
2）点A（3，m）在二次函数y1x2x3的图象上，
22
123
m3）2（3）6.
22
点A的坐标为（3，6）.
点A在一次函数ykx6的图象上，
k4.
（3）由题意，可得点B，C的坐标分别为（1，，，0）（30）.
平移后，点B，C的对应点分别为
B'（1n，0），C'（3n，0）.
将直线y4x6平移后得到直线y4x6n.
如图1，当直线y4x6n经过
点B'（1n，0）时，图象G（点B'除外）
在该直线右侧，可得n2；
3
如图2，当直线y4x6n经过
点C'（3n，0）时，图象G（点C'除外）
在该直线左侧，可得n6.
由图象可知，符合题意的n的取值范围是2n6.
3
6.（2011北京23题）在平面直角坐标系
mx2＋（m―3）x―3（m>0）的图象与
在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A的坐标；
xOy中，二次函数y＝
x轴交于A、B两点（点A
（2）当∠ABC＝45°时，求m的值；
（3）已知一次函数y＝kx＋b，点P（n，0）是x轴上的一个动点，在
（2）的条件下，
过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数y＝mx2
＋（m―3）x―3（m>0）的图象于N．若只有当－2上方，求这个一次函数的解析式．
分析：
（1）令y=0则求得两根，又由点A在点B左侧且m>0，所以求得点A的坐
标；
（2）二次函数的图象与y轴交于点C，即求得点C，由∠ABC=4°5，从而求得；
（3）由m值代入求得二次函数式，并能求得交点坐标，则代入一次函数式即求得．
解答：
解：
（1）∵点A、B是二次函数y=mx2+（m﹣3）x﹣3（m>0）的图象与x
轴的交点，
∴令y=0，即mx2+（m﹣3）x﹣3=0
解得x1=﹣1，
又∵点A在点B左侧且m>0
∴点A的坐标为（﹣1，0）
（2）由
（1）可知点B的坐标为
∵二次函数的图象与y轴交于点C
∴点C的坐标为（0，﹣3）
∵∠ABC=4°5
∴∴m=1
（3）由
（2）得，二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣3
依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为﹣2
和2，
由此可得交点坐标为（﹣2，5）和（2，﹣3），将交点坐标分别代入一次函数解析式
y=kx+b中，
得解得：
∴一次函数解析式为y=﹣2x+1
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