三角函数公式.docx
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三角函数公式
公式表达式
乘法与因式分解a2-b2=（a+b）（a-b）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）
三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解-b+√（b2-4ac）/2a-b-b+√（b2-4ac）/2a
根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：
韦达定理
判别式b2-4a=0注：
方程有相等的两实根
b2-4ac>0注：
方程有一个实根
b2-4ac<0注：
方程有共轭复数根
三角函数公式
两角和公式sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinBsin（A-B）=sinAcosB-sinBcosA
cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinBcos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB
tan（A+B）=（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）tan（A-B）=（tanA-tanB）/（1+tanAtanB）
ctg（A+B）=（ctgActgB-1）/（ctgB+ctgA）ctg（A-B）=（ctgActgB+1）/（ctgB-ctgA）
倍角公式tan2A=2tanA/（1-tan2A）ctg2A=（ctg2A-1）/2ctga
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
半角公式sin（A/2）=√（（1-cosA）/2）sin（A/2）=-√（（1-cosA）/2）
cos（A/2）=√（（1+cosA）/2）cos（A/2）=-√（（1+cosA）/2）
tan（A/2）=√（（1-cosA）/（（1+cosA））tan（A/2）=-√（（1-cosA）/（（1+cosA））
ctg（A/2）=√（（1+cosA）/（（1-cosA））ctg（A/2）=-√（（1+cosA）/（（1-cosA））
和差化积2sinAcosB=sin（A+B）+sin（A-B）2cosAsinB=sin（A+B）-sin（A-B）
2cosAcosB=cos（A+B）-sin（A-B）-2sinAsinB=cos（A+B）-cos（A-B）
sinA+sinB=2sin（（A+B）/2）cos（（A-B）/2cosA+cosB=2cos（（A+B）/2）sin（（A-B）/2）
tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosBtanA-tanB=sin（A-B）/cosAcosB
ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB-ctgA+ctgBsin（A+B）/sinAsinB
某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n（n+1）/21+3+5+7+9+11+13+15+…+（2n-1）=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+（2n）=n（n+1）12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n（n+1）（2n+1）/6
13+23+33+43+53+63+…n3=n2（n+1）2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）/3
正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：
其中R表示三角形的外接圆半径
余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：
角B是边a和边c的夹角
圆的标准方程（x-a）2+（y-b）2=r2注：
（a,b）是圆心坐标
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：
D2+E2-4F>0
抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py
直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h
正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2（c+c'）h'
圆台侧面积S=1/2（c+c'）l=pi（R+r）l球的表面积S=4pi*r2
圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l
弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2*l*r
锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h
斜棱柱体积V=S'L注：
其中,S'是直截面面积，L是侧棱长
柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h
三角函数公式宝典,这里最全了,希望你能来看下
倒数关系:
tanα·cotα＝1
sinα·cscα＝1
商的关系：
cosα·secα＝1sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secαsin2α＋cos2α＝1
平方关系：
1＋tan2α＝sec2α
1＋cot2α＝csc2α
sin（－α）＝－sinα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
cos（－α）＝cosα
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
tan（－α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
（其中k∈Z）
两角和与差的三角函数公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
tanα＋tanβ
tan（α＋β）＝——————
1－tanα·tanβ
tanα－tanβ
tan（α－β）＝——————
1＋tanα·tanβ
万能公式
2tan（α/2）
sinα＝——————
1＋tan2（α/2）
1－tan2（α/2）
cosα＝——————
1＋tan2（α/2）
2tan（α/2）
tanα＝——————
1－tan2（α/2）
半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式
三角函数的降幂公式
二倍角的正弦、余弦和正切公式
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
2tanα
tan2α＝—————
1－tan2α
三倍角的正弦、余弦和正切公式
sin3α＝3sinα－4sin3α
cos3α＝4cos3α－3cosα
3tanα－tan3α
tan3α＝——————
1－3tan2α
三角函数的和差化积公式
α＋β α－β
sinα＋sinβ＝2sin———·cos———
2 2
α＋β α－β
sinα－sinβ＝2cos———·sin———
2 2
α＋β α－β
cosα＋cosβ＝2cos———·cos———
2 2
α＋β α－β
cosα－cosβ＝－2sin———·sin———
2 2
三角函数的积化和差公式
1
sinα·cosβ＝-[sin（α＋β）＋sin（α－β）]
2
1
cosα·sinβ＝-[sin（α＋β）－sin（α－β）]
2
1
cosα·cosβ＝-[cos（α＋β）＋cos（α－β）]
2
1
sinα·sinβ＝—-[cos（α＋β）－cos（α－β）]
2
化asinα±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）
公式分类
锐角三角函数公式
sinα=∠α的对边/斜边
cosα=∠α的邻边/斜边
tanα=∠α的对边/∠α的邻边
cotα=∠α的邻边/∠α的对边
二倍角公式
sin2A=2sinA•cosA
cos2A=cos^2A-sin^2A=1-2sin^A=2cos^A-1
tan2A=（2tanA）÷（1-tan^2A）
三倍角公式
sin3α=4sinα·sin（π/3+α）sin（π/3-α）
cos3α=4cosα·cos（π/3+α）cos（π/3-α）
tan3a=tana·tan（π/3+a）·tan（π/3-a）
三倍角公式推导
sin3a
=sin（2a+a）
=sin2acosa+cos2asina
=2sina（1-sin^2a）+（1-2sin^2a）sina
=3sina-4sin^3a
cos3a
=cos（2a+a）
=cos2acosa-sin2asina
=（2cos^2a-1）cosa-2（1-cos^a）cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a=3sina-4sin^3a
=4sina（3/4-sin^2a）
=4sina[（√3/2）^2-sin^2a]
=4sina（sin^260°-sin^2a）
=4sina（sin60°+sina）（sin60°-sina）
=4sina*2sin[（60+a）/2]cos[（60°-a）/2]*2sin[（60°-a）/2]cos[（60°-a）/2]
=4sinasin（60°+a）sin（60°-a）
cos3a=4cos^3a-3cosa
=4cosa（cos^2a-3/4）
=4cosa[cos^2a-（√3/2）^2]
=4cosa（cos^2a-cos^230°）
=4cosa（cosa+cos30°）（cosa-cos30°）
=4cosa*2cos[（a+30°）/2]cos[（a-30°）/2]*{-2sin[（a+30°）/2]sin[（a-30°）/2]}
=-4cosasin（a+30°）sin（a-30°）
=-4cosasin[90°-（60°-a）]sin[-90°+（60°+a）]
=-4cosacos（60°-a）[-cos（60°+a）]
=4cosacos（60°-a）cos（60°+a）
上述两式相比可得
tan3a=tanatan（60°-a）tan（60°+a）
半角公式
tan（A/2）=（1-cosA）/sinA=sinA/（1+cosA）;
cot（A/2）=sinA/（1-cosA）=（1+cosA）/sinA.
sin^2（a/2）=（1-cos（a））/2
cos^2（a/2）=（1+cos（a））/2
tan（a/2）=（1-cos（a））/sin（a）=sin（a）/（1+cos（a））
和差化积
sinθ+sinφ=2sin[（θ+φ）/2]cos[（θ-φ）/2]
sinθ-sinφ=2cos[（θ+φ）/2]sin[（θ-φ）/2]
cosθ+cosφ=2cos[（θ+φ）/2]cos[（θ-φ）/2]
cosθ-cosφ=-2sin[（θ+φ）/2]sin[（θ-φ）/2]
tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosB=tan（A+B）（1-tanAtanB）
tanA-tanB=sin（A-B）/cosAcosB=tan（A-B）（1+tanAtanB）
积化和差
sinαsinβ=[cos（α-β）-cos（α+β）]/2
cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2
sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2
cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2
双曲函数
sinh（a）=[e^a-e^（-a）]/2
cosh（a）=[e^a+e^（-a）]/2
tanh（a）=sinh（a）/cosh（a）
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）=sinα
cos（2kπ＋α）=cosα
tan（2kπ＋α）=tanα
cot（2kπ＋α）=cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）=-sinα
cos（π＋α）=-cosα
tan（π＋α）=tanα
cot（π＋α）=cotα
公式三：
任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
sin（-α）=-sinα
cos（-α）=cosα
tan（-α）=-tanα
cot（-α）=-cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π-α）=sinα
cos（π-α）=-cosα
tan（π-α）=-tanα
cot（π-α）=-cotα
公式五：
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π-α）=-sinα
cos（2π-α）=cosα
tan（2π-α）=-tanα
cot（2π-α）=-cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2+α）=cosα
cos（π/2+α）=-sinα
tan（π/2+α）=-cotα
cot（π/2+α）=-tanα
sin（π/2-α）=cosα
cos（π/2-α）=sinα
tan（π/2-α）=cotα
cot（π/2-α）=tanα
sin（3π/2+α）=-cosα
cos（3π/2+α）=sinα
tan（3π/2+α）=-cotα
cot（3π/2+α）=-tanα
sin（3π/2-α）=-cosα
cos（3π/2-α）=-sinα
tan（3π/2-α）=cotα
cot（3π/2-α）=tanα
（以上k∈Z）
A·sin（ωt+θ）+B·sin（ωt+φ）=
√{（A^2+B^2+2ABcos（θ-φ）}•sin{ωt+arcsin[（A•sinθ+B•sinφ）/√{A^2+B^2;+2ABcos（θ-φ）}}
√表示根号,包括{……}中的内容
诱导公式
sin（-α）=-sinα
cos（-α）=cosα
tan（-α）=-tanα
sin（π/2-α）=cosα
cos（π/2-α）=sinα
sin（π/2+α）=cosα
cos（π/2+α）=-sinα
sin（π-α）=sinα
cos（π-α）=-cosα
sin（π+α）=-sinα
cos（π+α）=-cosα
tanA=sinA/cosA
tan（π/2＋α）＝－cotα
tan（π/2－α）＝cotα
tan（π－α）＝－tanα
tan（π＋α）＝tanα
诱导公式记背诀窍：
奇变偶不变，符号看象限
万能公式
其它公式
（1）
（sinα）^2+（cosα）^2=1
（2）1+（tanα）^2=（secα）^2
（3）1+（cotα）^2=（cscα）^2
证明下面两式,只需将一式,左右同除（sinα）^2,第二个除（cosα）^2即可
（4）对于任意非直角三角形,总有
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证:
A+B=π-C
tan（A+B）=tan（π-C）
（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）=（tanπ-tanC）/（1+tanπtanC）
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
得证
同样可以得证,当x+y+z=nπ（n∈Z）时,该关系式也成立
由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论
（5）cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
（6）cot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）cot（B/2）cot（C/2）
（7）（cosA）^2+（cosB）^2+（cosC）^2=1-2cosAcosBcosC
（8）（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC
其他非重点三角函数
csc（a）=1/sin（a）
sec（a）=1/cos（a）
[编辑本段]
内容规律
三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在.
1、三角函数本质：
三角函数的本质来源于定义，如右图：
根据右图，有
sinθ=y/R;cosθ=x/R;tanθ=y/x;cotθ=x/y。
深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导
sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB为例：
推导：
首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。
角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。
A（cosα,sinα）,B（cosβ,sinβ）,A'（cos（α-β）,sin（α-β））
OA'=OA=OB=OD=1,D（1,0）
∴[cos（α-β）-1]^2+[sin（α-β）]^2=（cosα-cosβ）^2+（sinα-sinβ）^2
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换（a+b）/2与（a-b）/2）
[1]
单位圆定义
单位圆
六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。
单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。
但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在0和π/2弧度之间的角。
它也提供了一个图象，把所有重要的三角函数都包含了。
根据勾股定理，单位圆的等式是：
图象中给出了用弧度度量的一些常见的角。
逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。
设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。
这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。
图象中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有sinθ=y/1和cosθ=x/1。
单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。
两角和公式
sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB
cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB
cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB
tan（A+B）=（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）
tan（A-B）=（tanA-tanB）/（1+tanAtanB）
cot（A+B）=（cotAcotB-1）/（cotB+cotA）
cot（A-B）=（cotAcotB+1）/（cotB-cotA）
[编辑本段]
诱导公式
★诱导公式★
常用的诱导公式有以下几组：
（公式一～公式五函数名未改变，公式六函数名发生改变）
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
弧度制下的角的表示：
sin（2kπ＋α）＝sinα（k∈Z）
cos（2kπ＋α）＝cosα（k∈Z）
tan（2kπ＋α）＝tanα（k∈Z）
cot（2kπ＋α）＝cotα（k∈Z）
角度制下的角的表示：
sin（α+k·360°）＝sinα（k∈Z）
cos（α+k·360°）＝cosα（k∈Z）
tan（α+k·360°）＝tanα（k∈Z）
cot（α+k·360°）＝cotα（k∈Z）
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
弧度制下的角的表示：
sin（π＋α）＝－sinα（k∈Z
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