完整word版连续时间信号的傅利叶变换及MATLAB实现.docx
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完整word版连续时间信号的傅利叶变换及MATLAB实现
课程设计任务书
学生姓名：
潘少俊专业班级：
电子科学与技术0701班
指导教师：
梁小宇工作单位：
信息工程学院
题目:
连续时间信号的傅利叶变换及MATLAB实现
初始条件：
MATLAB软件，微机
要求完成的主要任务:
利用MATLAB强大的图形处理功能，符号运算功能和数值计算功能，实现连续时间非周期信号频域分析的仿真波形；
1、用MATLAB实现典型非周期信号的频域分析；
2、用MATLAB实现信号的幅度调制；
3、用MATLAB实现信号傅立叶变换性质的仿真波形；
4、写出课程设计报告。
时间安排：
学习MATLAB语言的概况第1天
学习MATLAB语言的基本知识第2、3天
学习MATLAB语言的应用环境，调试命令，绘图能力第4、5天
课程设计第6-9天
答辩第10天
指导教师签名：
年月日
系主任（或责任教师）签名：
年月日
摘要…………………………………………………………………………………III
ABSTRACT……………………………………………………………………………III
绪论…………………………………………………………………………………IV
1傅里叶变换原理概述………………………………………………………………1
1.1傅里叶变换及逆变换的MATLAB实现………………………………………1
2用MATLAB实现典型非周期信号的频域分析………………………………………2
2.1指数信号时域波形图、频域图…………………………………………………2
2.2直流信号时域波形图、频域图…………………………………………………2
2.3符号函数信号时域波形图、频域图……………………………………………3
2.4单位阶跃信号时域波形图、频谱图……………………………………………3
2.5单位冲激信号时域波形图、频域图……………………………………………4
2.6门函数信号时域波形图、频域图………………………………………………4
3用MATLAB实现信号的幅度调制……………………………………………………6
3.1实例1……………………………………………………………………………6
3.2实例2……………………………………………………………………………8
4实现傅里叶变换性质的波形仿真…………………………………………………10
4.1尺度变换特性………………………………………………………………10
4.2时移特性………………………………………………………………………11
4.3频移特性………………………………………………………………………13
4.4时域卷积定理……………………………………………………………………14
4.5对称性质…………………………………………………………………………16
4.6微分性质……………………………………………………………………………17
心得体会…………………………………………………………………………………20
参考文献…………………………………………………………………………………20
附录………………………………………………………………………………………21
摘要
傅立叶变换是一种传统的信号处理方法,同时也是一种非常重要的信号处理方法.作为数字信号处理中的核心内容,在教学中引入MATLB软件,既为教师讲解提供了方便,又可以激发学生的学习兴趣,增强学习效果,提高对傅立叶变换的理解和应用能力.
关键词:
MATLAB,傅立叶变换,数字信号处理
ABSTRACT
Fouriertransformisatraditionalsignalprocessingmethods,butalsoaveryimportantsignalprocessingmethods.AsdigitalsignalprocessinginthecorecontentoftheintroductionofMATLBsoftwareinteaching,bothforteachersontheprovisionofaconvenient,canalsomotivatestudentsinterestinlearning,enhancelearning,increasetheunderstandingandapplicationofFouriertransformcapability.
Keywords:
MATLAB,Fouriertransform,digitalsignalprocessing
绪论
在科学技术飞速发展的今天，计算机正扮演着愈来愈重要的角色。
在进行科学研究与工程应用的过程中，科技人员往往会遇到大量繁重的数学运算和数值分析，传统的高级语言Basic、Fortran及C语言等虽然能在一定程度上减轻计算量，但它们均用人员具有较强的编程能力和对算法有深入的研究。
MATLAB正是在这一应用要求背景下产生的数学类科技应用软件。
MATLAB是matrix和laboratory前三个字母的缩写，意思是“矩阵实验室”，是MathWorks公司推出的数学类科技应用软件。
MATLAB具有以下基本功能：
（1）数值计算功能；
（2）符号计算功能；（3）图形处理及可视化功能；（3）可视化建模及动态仿真功能。
本文介绍了如何利用MATLAB强大的图形处理功能、符号运算功能以及数值计算功能，实现连续时间系统频域分析。
本次课程设计介绍了用MATLAB实现典型非周期信号的频谱分析，用MATLAB实现信号的幅度调制以及用MATLAB实现信号傅里叶变换性质的仿真波形。
1傅里叶变换原理概述
信号f（t）的傅里叶变换定义为:
值得注意的是，f（t）的傅里叶变换存在的充分条件是f（t）在无限区间内绝对值可积，即f（t）满足下式:
但上式并非f（t）存在的必要条件。
当引入f（t）的广义函数概念后，使一些不满足绝对可积的f（t）也能进行傅里叶变换。
傅里叶逆变换的定义是：
1.1傅里叶变换及逆变换的MATLAB实现
MATLAB的SymbolicMathToolbox提供了能直接求解傅里叶变换及逆变换的函数Fourier（）及Fourier（）。
1.1Fourier变换
1.
（1）F=Fourier（f）
（2）F=Fourier（five）
（3）F=Fourier（f,u,v）
说明：
（1）F=fourier（f）是符号函数f的Fourier变换，缺省返回是关于ω的函数。
如果f=f（ω）,则fourier函数返回关于t的函数。
（2）F=fourier（f,v）返回函数F是关于符号对象v的函数，而不是缺省的ω
（3）F=fourier（f,u,v）对关于u的函数f进行变换，返回函数F是关于v的函数。
1.2Fourier逆变换
（1）f=ifourier（F）
（2）f=ifourier（F,u）
（3）f=ifourier（F,v,u）
2用MATLAB实现典型非周期信号的频域分析
2.1指数信号时域波形图、频域图
的时域波形图和频谱图如图1、图2所示
图1指数信号波形图图
2.2直流信号时域波形图、频域图
直流信号f（t）=A
1根据指标要求，画出频率采样序列的图形
2根据
的对称特点，可以使问题得以简化
2.3符号函数信号时域波形图、频域图
2.4单位阶跃信号时域波形图、频域图
2.5单位冲激信号时域波形图、频域图
2.6门函数信号时域波形图、频域图
3用MATLAB实现信号的幅度调制
设信号f（t）的频谱为F（jw）,现将f（t）乘以载波信号cos（w0t），得到高频的已调信号
y（t），即：
y（t）=f（t）cos（w0t）
f（t）称为调制信号。
实现信号调制的原理图如图
（幅度调制原理图）
从频域上看，已调制信号y（t）的频谱为原调制信号f（t）的频谱搬移到0±w处，幅度
降为原F（jw）的1/2，即
上式即为调制定理，也是傅里叶变换性质中“频移特性”的一种特别情形。
注意：
这里采用的调制方法为抑制载波方式，即y（t）的频谱中不含有cos（）0wt的频率
分量。
MATLAB提供了专门的函数modulate（）用于实现信号的调制。
调用格式为：
y=modulate（x,Fc,Fs,'method'）
[y,t]=modulate（x,Fc,Fs）
其中，x为被调信号，Fc为载波频率，Fs为信号x的采样频率，method为所采用的调
制方式，若采用幅度调制、双边带调制、抑制载波调制，则＇method＇为＇am＇或＇amdsd-sc＇。
其执行算法为
y=x*cos（2*pi*Fc*t）
其中y为已调制信号，t为函数计算时间间隔向量。
下面举例说明如何调用函数modulate（）来实现信号的调制。
例1：
设信号f（t）=sin（100πt）,载波y（t）为频率为400Hz的余弦信号。
试用MATLAB实
现调幅信号y（t），并观察f（t）的频谱和y（t）的频谱，以及两者在频域上的关系。
解：
在下面的MATLAB的实现的程序中，为了观察f（t）及y（t）的频谱，在这里介绍一个
MATLAB的“信号处理工具箱函数”中的估计信号的功率谱密度函数psd（）,其格式是：
[Px，f]=psd（x，Nfft，Fs，window，noverlap，dflag）
其中，x是被调制信号（即本例中的f（t）），Nfft指定快速付氏变换FFT的长度，Fs
为对信号x的采样频率。
后面三个参数的意义涉及到信号处理的更深的知识，在此暂不介绍。
用MATLAB完成本例的程序如下：
Fs=1000;%被调信号x的采样频率
Fc=400;%载波信号的载波频率
N=1000;%FFT的长度
n=0:
N-2;
t=n/Fs;
x=sin（2*pi*50*t）;%被调信号
subplot（221）
plot（t,x）;
xlabel（'t（s）'）;
ylabel（'x'）;
title（'被调信号'）;
axis（[00.1-11]）
Nfft=1024;
window=hamming（512）;
noverlap=256;
dflag='none';
[Pxx,f]=psd（x,Nfft,Fs,window,noverlap,dflag）;subplot（222）
plot（f,Pxx）
xlabel（'f（Hz）'）;
ylabel（'功率谱（X）'）;
title（'被调信号的功率谱'）
grid
y=modulate（x,Fc,Fs,'am'）;%已调信号
subplot（223）
plot（t,y）
xlabel（'t（s）'）;
ylabel（'y'）;
axis（[00.1-11]）
title（'已调信号'）
[Pxx,f]=psd（y,1024,Fs,window,noverlap,dflag）;
subplot（224）
plot（f,Pxx）
xlabel（'f（Hz）'）;
ylabel（'功率谱（Y）'）;
title（'已调信号的功率谱'）;
grid
上述程序的运行结果如图9.4所示，其中左边上下两图为f（t）及y（t）信号，即时域波
形，右边上下两图分别为对应f（t）及y（t）的功率谱。
由图可见，f（t）的功率频谱处在频域的频率f=400HZ为中心的两侧、偏移值为50HZ
的双边带。
显然，上述结果与信号与系统分析的理论结果完全一致。
（被调信号、已调信号及其谱线）
需要指出的是，一个信号的频谱与功率谱在数值上及定义上是有差别的，但两者的联
系也是很密切的，其关系为：
其中T为信号的周期。
本例中的主要目的是观察被调用信号f（t）及已调用信号y（t）的谱线在频域上的位置
变化及关系，验证调制定理，而在数值上的差别予以忽略。
另外，一般“信号与系统”教
材介绍的信号调制多为幅度、双边带且抑制载波调制方式，所以例9.5也仅涉及这种方式。
但是，函数modulate（）中的’method’可设置多种调制方式以适合于具体的调制要求，有
兴趣的读者可查阅相关资料，这里丛略。
此外，也可以直接生成调制信号
，并用MATLAB编程求（）1ft的频
谱。
用下例说明。
例2设
试用MATLAB画出f（t）、
（）1ft的时域波形及其频谱，并观察傅里叶变换的频移特性。
解：
实现该过程的MATLAB命令程序如下：
R=0.005;t=-1.2:
R:
1.2;
f=Heaviside（t+1）-Heaviside（t-1）;
f1=f.*cos（10*pi*t）;%已调信号
subplot（221）
plot（t,f）
xlabel（'t'）;
ylabel（'f（t）'）;
subplot（222）;
plot（t,f1）;
xlabel（'t'）;
ylabel（'f1（t）=f（t）*cos（10*pi*t）'）;
W1=40;
N=1000;
k=-N:
N;
W=k*W1/N;
F=f*exp（-j*t'*W）*R;求F（jw）
F=real（F）;
F1=f1*exp（-j*t'*W）*R;求F1（jw）
F1=real（F1）;
subplot（223）;
plot（W,F）;
xlabel（'w'）;
ylabel（'F（jw）'）;
subplot（224）;
plot（W,F1）;
xlabel（'w'）;
ylabel（'F1（jw）'）;
程序运行结果如图所示。
由图5可见，f1（t）的频谱F1（jw）即是将f（t）的频谱F（jw）搬移到±10π处，且
幅度为F（jw）的幅度的一半。
图原信号f（t）、调制信号f1（t）的波形及其频谱F（jw）、F1（jw）
4用MATLAB实现信号傅立叶变换性质的仿真波形
4.1傅里叶变换的尺度变换特性
若f（t）«F（jw），则傅里叶变换的尺度变换特性为：
下面举例说明傅里叶变换的尺度特性。
例1:
设
，即门宽为τ=2的门信号，用MATLAB求
的频谱Y（jw），并与f（t）的频谱F（jw）进行比较。
解：
本题中，y（t）信号相当于原信号f（t）在时域上压缩一倍，即y（t）=f（2t），a=2，按式，Y（jw）的频域宽度应是F（jw）的两倍，而幅度下降为F（jw）的一半。
f（t）的频谱F（jw）已在例9.4中给出。
在该例的MATLAB程序中，将信号改为：
f=Heaviside（2*t+1）-Heaviside（2*t-1）,其他语句不变。
这样形成的程序即为本例的MATLAB程序。
程序运行的结果如图3.1所示。
为便于观察比较，请读者将3.1与对比起来看，显然，Y（jw）将F（jw）展宽了一倍，而幅度降为F（jw）的幅度的一半。
4.1傅立叶变换的尺度变换的例
4.2傅里叶变换的时移特性
若f（t）«F（jw），则傅里叶变换的时移特性为：
下面举例说明傅里叶变换的时移特性。
例2：
设
试用MATLAB绘出f（t）及其频谱（幅度谱及相位谱）。
解：
程序为下列命令文件。
r=0.02;
t=-5:
r:
5;
N=200;
W=2*pi*1;
k=-N:
N;
w=k*W/N;
f1=1/2*exp（-2*t）.*Heaviside（t）;
F=r*f1*exp（-j*t'*w）;
F1=abs（F）;
P1=angle（F）;
subplot（311）;
plot（t,f1）;
grid;
xlabel（'t'）;
ylabel（'f（t）'）;
title（'f（t）'）;
subplot（312）;
plot（w,F1）;
xlabel（'w'）;
grid;
ylabel（'F（jw）'）;
subplot（313）;
Plot（w,P1*180/pi）;
grid;
xlabel（'w'）;
ylabel（'P（度）'）;
程序运行结果如图4.2所示。
图4.2f（t）及其幅频特性与相频特性
例3：
设
，求用MATLAB绘出信号f（t）及其频谱，观察信号时移对信号频谱的影响。
解：
MATLAB实现的程序为下列命令文件。
r=0.02;
t=-2:
r:
2;
N=200;
W=2*pi*1;
k=-N:
N;
w=k*W/N;
f1=1/2*exp（-2*（t-0.3））.*Heaviside（t-0.3）;
F=r*f1*exp（-j*t'*w）;
F1=abs（F）;
P1=angle（F）;
subplot（311）;
plot（t,f1）;grid;
xlabel（'t'）;ylabel（'f（t）'）;
title（'f（t）'）;
subplot（312）;
plot（w,F1）;grid;
xlabel（'w'）;ylabel（'幅度'）;
subplot（313）;
plot（w,P1*180/pi）;grid;
xlabel（'w'）;ylabel（'相位（度）'）;
程序运行结果如图4.3所示。
由图可见，与例4.3的图4.4相比，可知当时域波形右移后幅
度谱不变，相位增加-0.3w。
图4.3f（t）及其幅频特性与相频特性
4.3傅里叶变换的频移特性
若f（t）↔F（jw），则傅里叶变换的频移特性为：
例4:
设f（t）=e（t+1）-e（t-1），试用MATLAB绘出
的频谱F1（jw）及F2（jw），并与f（t）的频谱
F（jw）进行比较。
解：
用MATLAB实现的程序如下:
R=0.02;t=-2:
R:
2;
f=Heaviside（t+1）-Heaviside（t-1）;
f1=f.*exp（-j*20*t）;
f2=f.*exp（j*20*t）;
W1=2*pi*5;
N=500;k=-N:
N;W=k*W1/N;
F1=f1*exp（-j*t'*W）*R;%求f1（t）的傅里叶变换F1（jω）
F2=f2*exp（-j*t'*W）*R;%求f2（t）的傅里叶变换F2（jω）
F1=real（F1）;
F2=real（F2）;
subplot（121）;
plot（W,F1）;
xlabel（'w'）;
ylabel（'F1（jw）'）;
title（'F（w）左移到w=20处的频谱F1（jw）'）;
subplot（122）;
plot（W,F2）;
xlabel（'w'）;
ylabel（'F2（jw）'）;
title（'F（w）右移到w=20处的频谱F2（jw）'）;
图4.4傅里叶变换的频移特性的例子
由图4.4可见，对比的结果可知F（jw）及）F2（jw）是将F（jw）分别搬移到
w=-20及w=20处的频谱。
4.4傅里叶变换的时域卷积定理
变换的时域卷积定理如下：
若信号f1（t）,f2（t）的傅里叶变换分别为,F1（jw）F2（jw），则：
f1（t）*f2（t）↔F1（jw）⋅F2（jw）
例5：
设f（t）=e（t+1）-e（t-1）,y（t）=f（t）*f（t）
试用MATLAB给出f（t）、y（t）、F（jω）、F（jω）?
F（jω）及Y（jω）的图形，验证式（9-13）的时域卷积定理。
解：
MATLAB程序如下：
R=0.05;t=-2:
R:
2;
f=Heaviside（t+1）-Heaviside（t-1）;subplot（321）
plot（t,f）
xlabel（'t'）;
ylabel（'f（t）'）;
y=R*conv（f,f）;n=-4:
R:
4;
subplot（322）;
plot（n,y）;
xlabel（'t'）;
ylabel（'y（t）=f（t）*f（t）'）;
axis（[-33-13]）;
W1=2*pi*5;
N=200;
k=-N:
N;
W=k*W1/N;
F=f*exp（-j*t'*W）*R;
F=real（F）;
Y=y*exp（-j*n'*W）*R;
Y=real（Y）;
F1=F.*F%求F（jω）×F（jω）
subplot（323）;
plot（W,F）;
xlabel（'w'）;
ylabel（'F（jw）'）;
subplot（324）;
plot（W,F1）;
xlabel（'w'）;
ylabel（'F（jw）.F（jw）'）;
axis（[-202004]）;
subplot（325）;
plot（W,Y）;
xlabel（'w'）;
ylabel（'Y（jw）'）;
axis（[-202004]）;
f（t）,y（t）,F（jw），F（jω）⨯F（jω）及Y（jω）的图形如图3.5所示。
图4.5时域卷积定理示例
由图3.5可见，Y（jω）与F（jω）⨯F（jω）的图形一致，而y（t）的波形正是我们熟知的
t）*f（t）的波形，Y（jω）也是熟知的y（t）的付氏变换，从而验证时域卷积定理。
4.5傅里叶变换的对称性
傅里叶变换的对称性为:
若：
f（t）«F（jw），则：
F（jt）«2pf（-w）
下面举例说明付里叶变换的对称性。
例6:
设f（t）=Sa（t）,已知信号f（t）的傅里叶变换为：
用MATLAB求f2（t）=pg（t）的傅里叶变换F1（jw）,并验证对称性。
解：
MATLAB程序为：
r=0.01;
t=-15:
r:
15;
f=sin（t）./t;
f1=pi*（Heaviside（t+1）-Heaviside（t-1））;
N=500;
W=5*pi*1;
k=-N:
N;
w=k*W/N;
F=r*sinc（t/pi）*exp（-j*t'*w）;
F1=r*f1*exp（-j*t'*w）;
subplot（221）;plot（t,f）;
xlabel（'t'）;ylabel（'f（t）'）;
subplot（222）;plot（w,F）;
axis（[-22-14]）;
xlabel（'w'）;ylabel（'F（w）'）;
subplot（223）;plot（t,f
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