《二次函数yax2的图像和性质》教学设计.docx
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《二次函数yax2的图像和性质》教学设计
《二次函数的性质》导学设计
(鲁教版九年级上册第二章二次函数第三节)
课题
二次函数y=ax2的图像性质
课型
新授课
备课人
内容分析
二次函数y=ax2的图像和性质,是本章二次函数概念之后首次接触二次函数的性质,前面有一次函数、正(反)比例函数性质的基础,学生有了储备知识,它是一类最特殊的二次函数,为后续学习奠定基础,从某种意义上说起着承上启下的作用。
教材中性质的推导与获得利用了“从特殊到一般”的认识方法。
同学们应注意学习和运用。
本节学习中最难理解的是增减性,这一点同学们学习时要特别注意。
学习目标
1、能够利用描点法作出二次函数的图象,并能根据图象认识和理解二次函数y=ax2的性质,初步建立二次函数表达式与图象之间的联系。
2、经历探索二次函数y=ax2图象和性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验。
进一步培养数形结合方法研究函数的性质,了解从特殊到一般的认识过程,学会合情推理。
3、在数学学习过程中,体验与领悟数学发现的成功感,感受数学发现学习的乐趣。
学习重点
二次函数y=ax2图象的描绘和图像特征的归纳
学习难点
选择适当的自变量和相应的函数值来画函数图像.
学习方法
合作——探究、讨论——交流.
学具准备
投影片、单页网格纸
学习内容及过程
备注
一、学习准备
问题:
1.正比例函数y=kx(k≠0)其图象是什么?
2.一次函数y=kx+b(k≠0)其图象又是什么?
3.反比例函数(k≠0)其图象又是什么?
4,二次函数的一般形式是什么?
x的取值范围
二、导入新课
当a=1时,二次函数y=x2有那些性质?
有什么方法能更直接,更形象的来描述它的性质呢?
这节课我们就来研究二次函数y=ax2图象。
三、阅读探究
探究一:
画图像,找规律
(完成教材P45)观察计算结果,你发现了什么规律?
画函数y=x2, y=-x2,图象。
生列表,描点,连线,得到函数的图像,抽2生到黑板完成。
师通过订正黑板上两同学的图象,指出图象的正确做法。
探究二:
观察图象,探索性质。
(完成教材P46)函数的图像、顶点坐标、对称轴有关概念
通过填写下表二次函数y=x2图象来概括归纳性质。
(一)列表
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=x2
…
9
4
1
0
1
4
9
…
观察表格发现规律:
1、对称性x值互为相反数,y值相等。
2、增减性 当x>0时,y随x的增大而增大;
当x<0时,y随x的增大而减小
(二)描点:
除点(0,0)外,(-1,1)与(1,1),
(-2,4)与(2,4),
(-3,9)与(3,9),每对点关于y轴对称。
从描点法
可以体现出对称性。
(三)连线:
注意连线要平滑,延伸(因为自变量到全体实数,体验数与形的一致)。
抛物线
y=x2
y=-x2
开口方向
向上
向下
对称轴
y轴
y轴
顶点[最高(低)点]
原点(0,0)
原点(0,0)
增减性
当X<0时,y随X的增大而减小
当x>0时,y随x的增大而增大
当X<0时,y随X的增大而增大
当x>0时,y随x的增大而减小
四、质疑提问(小组探究讨论交流)
学生按上述几条探索观察投影y=2x2,y=-2x2的图象归纳出的性质:
1、形状相同,都是抛物线
2、开口方向相反,当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下.
3、抛物线的对称轴都是y轴.
4、抛物线的顶点都是原点,当a>0时,顶点是图象的最低点;当a<0时,顶点是图象的最高点
5、增减性:
y=ax2(a>0时),当x>0时,y随x的增大而增大;当x<0时,y随x的增大而减小;(a<0时),当x>0时,y随x的增大而减小;当x<0时,y随x的增大而增大.
6、最大(小)值:
当a>0时,y有最小值,当x=0时,y最小值是0;当a<0时,y有最大值,当x=0时,最大值是0.
五、练习巩固
例1已知二次函数y=ax2(a≠0)的图像经过点(1,-9).
(1)求a的值,并写出这个二次函数的解析式.
(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置.
反思拓展
1、本节课学习了那些知识?
本节内容的学习中运用了前面学的哪些知识?
2、在学习二次函数y=ax2的图像性质中我们运用了哪些数学思想方法?
3、你能用今天所学知识解决下列问题
练习一:
抛物线y=-x2不具备的性质是( )
A.开口向下
B.对称轴是y轴
C.与y轴不相交
D.图象的最高点是坐标原点
练习二:
对于二次函数y=-x2,下列说法中,正确的是( )
A.当x<0时,y的值随x值的增大而减小
B.y有最大值,最大值为0
C.当x>0时,y的值随x值的增大而增大
D.y的值随x值的增大而减小
达
标
测
评
若抛物线(a≠0),过点A(-1,3)。
(1)则a的值是 ;
(2)对称轴是 ,开口 。
(3)顶点坐标是 ,顶点是抛物线上的 。
抛物线在x轴的 方(除顶点外)
(4)判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上。
(5)求出此抛物线上纵坐标为6的点的坐标。
资
源
连
接
五大数学基本思想方法
第一:
函数与方程思想
(1)函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象,概括与提炼,在研究方程、不等式等其他内容时,起着重要作用
(2)方程思想是解决计算问题的基本思想,是运算能力的基础
第二:
数形结合思想:
(1)数学研究的对象是数量关系和空间形式,即数与形两个方面
(2)在一维空间,实数与数轴上的点建立一一对应关系
在二维空间,实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系
数形结合中,选择、填空侧重突出考查数到形的转化,在解答题中,考虑推理论证严密性,突出形到数的转化
第三:
分类与整合思想
(1)分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法
(2)从具体出发,选取适当的分类标准
(3)划分只是手段,分类研究才是目的
(4)有分有合,先分后合,是分类整合思想的本质属性
(5)含字母参数数学问题进行分类与整合的研究,重点考查学生思维严谨性与周密性
第四:
化归与转化思想
(1)将复杂问题化归为简单问题,将较难问题化为较易问题,将未解决问题化归为已解决问题
(2)灵活性、多样性,无统一模式,利用动态思维,去寻找有利于问题解决的变换途径与方法
(3)常用变换方法:
一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化
第五:
特殊与一般思想
(1)通过对个例认识与研究,形成对事物的认识
(2)由浅入深,由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论
(3)由特殊到一般,再由一般到特殊的反复认识过程
(4)构造特殊函数、特殊数列,寻找特殊点、确立特殊位置,利用特殊值、特殊方程
第(1---4)题让学生回想一次函数、正反比例函数图像及性质,为二次函数性质的引入做铺垫。
通过学生观察回忆图像性质及画法得出二次函数y=x2图像通过类比的方法,获得利用图象研究二次函数性质的经验,同时向学生渗透数形结合的思想方法。
生分小组列表、画图像并观察表格归纳概括y=x2图象的性质,并将解析式和图象相联系。
特别注意强调画图像注意的问题
对照y=x2图象的性质,让学生猜想函数y=-x2图象会有那些性质呢?
。
让学生在同一直角坐标系中画出函数y=-x2图象,从而验证上面的猜想。
师提问题
1、二次函数y=x2与y=―x2的图象的异同点?
y=x2与y=2x2的图象的共同点?
2、y的最小值从表格、图像、解析式能看出来吗?
3、对称性如何验证?
4、“抛物线的y轴叫对称轴”这句话对吗?
.
学生独立解例题后小组展示
组内口头解答反思拓展