三角形专题.docx
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三角形专题
三角形
第一部分初中几何学法要点：
第二部分开心自测
1、如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（）
A．32°B．58°C．68°D．60°
2、如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于（）
A.70°B.65° C.50°D.25°
3、一副三角板,如图所示叠放在一起,则图中∠
的度数是（）
A．
B．
C．
D．
4、（2011福州4分）下列四个角中,最有可能与
角互补的角是（）
5、（2011芜湖5分）一个角的补角是
，这个角是
6、（2011山东3分）若某三角形的两边长分别为3和4,则下列长度的线段能作为其第三边的是（）A.1B.5C.7D.9
7、（2011济宁3分）若一个三角形三个内角度数的比为2︰7︰4，那么这个三角形是（）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形
8、（2011连云港3分）小华在电话中问小明：
“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？
小明提示说：
“可通过作最长边上的高来求解.”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（）
9、（2011江苏3分）下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（）
A.3，8，4B.4，9，6C.15，20，8D.9，15，8
10、（2011绵阳）王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图.要使这个木架不变形，他至少要再钉上几根木条?
A．0根B.1根C.2根D.3根
11、（2011江西3分）如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB
=度.
12、（2011江苏无锡2分）如图，在△ABC中，AB=5cm，AC=3cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则△ACD的周长为______________cm．
13、（2011重庆4分）如图，在△ABC中，∠A=80°,点D是BC延长线上一点，∠ACD=150°，则∠B=.
14、（2011山东4分）边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为________.
15、（2011山东4分）等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，它的底边为
16、（2011湖南3分）如图6，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的角平分线交BC边于点D，AB=5，BC=6，则AD=__________________.
17、（2011山东德州13,4分）下列命题中，其逆命题成立的是______（只填写序号）
①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
④如果三角形的三边长a，b，c满足
，那么这个三角形是直角三角形．
18、在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝9，则AB＝
19、（2011贵阳3分）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是
（A）3.5（B）4.2（C）5.8（D）7
20、（2011枣庄8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）画线段AD∥BC且使AD=BC，连接CD；
（2）线段AC的长为，CD的长为，AD的长为；
（3）△ACD为三角形，四边形ABCD的面积为；
（4）若E为BC中点，则tan∠CAE的值是．
21、（2010无锡）下列性质中，等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是（）
A．两边之和大于第三边B．有一个角的平分线垂直于这个角的对边
C．有两个锐角的和等于90°D．内角和等于180°
22、（2010湖北襄樊）已知：
一等腰三角形的两边长x、y满足方程组
则此等腰三角形的周长为（）
A．5B．4C．3D．5或4
23、在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，则该三角形为（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形
24、在直角三角形中，已知一条直角边的长为6，斜边上的中线长为5，则另一条直角边的长为
25、如果等腰三角形的一个外角是125°，则底角为度；
26、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，则这个三角形是（）
A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形
27、（2010山东临沂）如图，
和
都是边长为4的等边三角形，点
、
、
在同一条直线上，连接
，则
的长为
28、（2010四川宜宾）已知，在△ABC中，∠A=45°，AC=
，AB=
+1，则边BC的长为．
29、（2010山东淄博）如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”．只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为
的线段__________条.
30、若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的可能值有（）．
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
31、如图，BD、CE是△ABC的两条高，M是BC的中点，N是DE的中点．
试问：
MN与DE有什么关系？
证明你的猜想．
32、如图，是一种“羊头”形图案，其作法是：
从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②’，…，依此类推，若正方形①的边长为64cm，则正方形⑦的边长为cm．
33、如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是________
34、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端A向外移动到A”，使梯子的底端A”到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降到B”，那么BB”________1米（选填“等于”、“大于”或“小于”）。
第三部分知识框架
第四部分知识积累
直线上两点间的部分叫做______，表示方法有___种。
线段的大小可以用度量法和重合法来进行比较
用尺规作一条线段等于已知线段
关于线段的公理是________
线段是哪类对称图形？
你熟悉关于线段的“双中点”这一基本图形吗?
线段的中垂线有哪些定理：
_______
平行公理：
________
关于垂线的公理有：
_____________
角的定义：
________________
角的表示方法有哪些，举例说明
角的大小可以用度量法和重合法来进行比较
用尺规作一个角等于已知角
确定一个角的位置，至少需要___个点
角是轴对称图形吗？
如果是，它的对称轴是：
_______________
你熟悉关于角的“双角平分线”这一基本图形吗?
角平分线的相关定理有:
________________,______________,
如果两个角的和等于_____那么这两个角互余；如果两个角的和等于_____那么这两个角互补。
相关定理是：
_____________
在同一平面内，3条直线的交点情况可能有_____种
平行于同一直线的两条直线_____
当三条直线有3个交点时，如何研究三线八角？
平行线的判定与性质定理：
_____
三角形的定义：
______
三角形的分类：
三角形的内角、外角；内角和、外角和
确定一个三角形至少需要__个点
三角形三边关系定理：
_________
三角形的五线、五心（中线、高线、角平分线、中位线、垂直平分线；内心、外心、重心、垂心、旁心）
三角形的双角平分线这一基本图形你能掌握哪些小结论
等腰三角形的重要性质是：
____
等腰三角形的判定：
直角三角形有哪些小结论？
直角三角形的判定：
____
第五部分金题精讲
1、如图，DE是△ABC的中位线，若BC的长是3cm，则DE的长是（）
A．2cmB．1.5cmC．1.2cmD．1cm
2、如图所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）
A．AB中点B．BC中点
C．AC中点D．∠C的平分线与AB的交点
3、已知：
如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为．
4、如图，
则
．
5、如图，已知
，若
，
，则
C等于（）
A．20°B．35°C．45°D．55°
6、如图，
沿
折叠后点
的对称点为
，设
，猜想下面三个图中
和
的数量关系。
7、如图1，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的
全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、
∠BCA的角平分线，AD、CE相交于点F．请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（2）如图3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而
（1）中的其他条件不变，请问，你在
（1）中所得结论是否仍然成立？
若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
第六部分配套练习
（1）
1.如图，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线a、b上，已知∠1=55°，则∠2的度数为（）
A．45°B．35° C．55° D．125°
2.如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为度．
3．将一副三角板按图中的方式叠放，则角
等于（）
A．
B．
C．
D．
4.在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC＝5，则DE的长是（）
A．2.5B．5C．10D．15
5.如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）
A.△ABC的三条中线的交点
B.△ABC三边的中垂线的交点
C.△ABC三条角平分线的交点
D.△ABC三条高所在直线的交点
6.如图所示，在完全重合放置的两张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将上面的矩形纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，点D的对应点为G，连接DG，则图中阴影部分的面积为（）
A．
B．6C．
D．
7.如图，l∥m，∠1＝115º，∠2＝95º，则∠3＝（）
A．120º B．130º C．140º D．150º
8.如图，直线
∥
，∠1＝550，∠2＝650，则∠3为………（）
A．500.B．550C．600D．650
9.如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张
纸片，点
分别是边
、
上，将
沿着
折叠压平，
与
重合，若
，则
（）
A．
B．
C．
D．
10.问题：
已知△ABC中，BAC=2ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。
探究DBC与ABC度数的比值。
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。
（1）当BAC=90时，依问题中的条件补全右图。
观察图形，AB与AC的数量关系为；
当推出DAC=15时，可进一步推出DBC的度数为；
可得到DBC与ABC度数的比值为；
（2）当BAC90时，请你画出图形，研究DBC与ABC度数的比值
是否与
（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。
配套练习
（2）
1.如图，一根直尺EF压在三角板30°的角∠BAC上，与两边AC，AB交于M、N.那么∠CME+∠BNF是（）
A．150° B．180
° C．135° Ｄ．不能确定
2.如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＞60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为（）
A．4B．3C．2D．1
3．将一副三角板如图放置，使点A在DE上，BC∥DE，则∠AFC的度数为
A．45° B．50° C．60° D．75°
4.如图，D、E分别是△ABC的边AC和BC的中点，已知DE＝2，则AB＝（）
A．1B．2C．3D．4
5.如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定P点的方法正确的是
A.P为∠A、∠B两角平分线的交点
B.P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
C.P为AC、AB两边上的高的交点
D.P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
6.如图，将边长为
的等边△ABC折叠，折痕为DE，点B与点F重合，EF和DF分别交
于点M、N，DF
AB，垂足为D，AD＝1.设△DBE的面积为
，则重叠部分的面积为.（用含S的式子表示）
7.如图，在△ABC中，∠C＝90°．若BD∥AE，∠DBC＝20°，则∠CAE的度数是（）
A．40°B．60°C．70°D．80°
8.如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE∥BC，若∠C＝50°，∠BDE＝60°，则∠CDB的度数等于（）
A．70°B．100°C．110°D．120°
9.如图，将△ABC沿它的中位线MN折叠后，点A落在点A′处，若∠A＝28°，∠B＝120°，则∠A′NC＝．
10.已知：
把Rt△ABC和Rt△DEF按如图
（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．
如图
（2），△DEF从图
（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？
（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使面积y最小？
若存在，求出y的最小值；若不存在，说明理由．
（3）是否存在某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？
若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）
配套练习
（1）答案1.B2.1253．A4.A5.C6.C7.D8.C9.A
10.
（1）相等；15°；1:
3
（2）猜想：
∠DBC与∠ABC度数的比值与
（1）中的结论相同．
配套练习
（2）答案1.A2.B3．D4.D5.B6.S－7.C8.C9.116°
10.
（1）t=2s
（2）t=3s，最小面积为
cm2.（3）t=1s
配套练习
（1）答案与解析：
1.答案：
B。
由a∥b得∠1＝∠3，再根据平角的定义，可知∠2＋∠3＋90°＝180°，所以∠2＝180°－90°—55°＝35°．
解析：
本题是一道简单的综合题，但从形式来看，题目没有生硬的将不同知识点结合在一起，而是将所要考查的知识巧妙地融入情境之中，可见数学与生活的微妙关系
2.答案：
125。
由图形的折叠和平行线的性质，∠EFB=∠FED=∠FEB，而由∠ABE＝20°，可得∠EBF=90°－20°＝70°，再利用三角形的内角和可求.
解析：
本题以纸片折叠为背景，全面考查了学生综合运用轴对称的性质、平行线的性质及三角形的内角和等知识解决问题的能力，提高了试题的区分度，有利于学生展示自己的数学成就.
3．
答案：
如图所示，要求角
的度数，只需求出∠1、∠2的度数即可，因为△ACD是含30°角的直角三角形，所以∠1=60°，△ACB是等腰直角三角形，所以∠2=45°，所以角
等于180°－60°－45°＝75°，故选A．
解析：
以三角板为道具，组合成一个图形，求某个角的度数问题是近几年的热点问题，它主要考查学生对特殊三角形及三角形内角和定理的掌握，解答问题时需注意叠放后哪些角是三角板的内角．
4.答案：
A。
由D、E分别是边AB、AC的中点可知，DE是△ABC的中位线，根据中位线定理可知，DE＝
BC＝2.5．
解析：
本题考查了中位线的性质，三角形的中位线是指连接三角形两边中点的线段，中位线的特征是平行于第三边且等于第三边的一半．
5.答案：
C。
根据到边的距离相等的点在角的平分线上，因此凉亭到草坪三条边的距离相等就在三条角平分线的交点。
解析：
三角形的三条角平分线交于一点，这点就三角形的内心，它到三角开的三边的距离相等，三角形的三条中线也交于一点，三角形的三条高所在的直线也交于一点。
6.答案：
观察图形并结合勾股定理知AF＝AE＝CF＝5，BF＝DE＝EG＝3，AB＝AG＝4，因此过点G作GH⊥AD，垂足为H，如图，得GH＝2.4，所以图中阴影部分的面积为2.4×3÷2＝3.6，故选C．
解析：
本题属于综合题，矩形的折叠与勾股定理是各地中考必考内容之一，解决此类问题的关键是认真观察图形，由相关知识找到相等的量，进而根据问题求解．
7.答案：
D。
过点A作直线n∥l，则n∥m，根据两直线平行，同旁内角互补，有∠1+∠2+∠3＝360º，∴∠3＝150º．
解析：
本题考查了平行线的性质，考查方式单一，难度中偏下．
8.答案：
C。
可将∠3看成三角形的一个内角，利用两直线平行，同位角相等和对顶角相等可求出三角形的其他两个内角，再用三角形内角和即可求出∠3．
解析：
本题考查综合运用平行线的性质和三角形的内角和两个知识点，属于简单题．
9.答案：
A。
由∠A＝70°得∠AED＋∠ADE＝110°，再由折叠可知∠AEA/＋∠ADA/＝220°，故∠1＋∠2＝360°－220°＝140°．
解析：
本题主要考查轴对称性质及多边形内角和知识，这是一道考查几何变换的一道非常成功试题，让那些基础好的学生很容易做出来，但让基础差的学生真正望题兴叹．
10.答案：
（1）相等；15°；1:
3．
（2）猜想：
∠DBC与∠ABC度数的比值与
（1）中的结论相同．
证明：
如图2，作∠KCA=∠BAC，过B点作BK∥AC，交CK于点K，连结DK.
∵∠BAC≠90°
∴四边形ABKC是等腰梯形．
∴CK=AB，
∵DC=DA，
∴∠DCA=∠DAC．
∵∠KCA=∠BAC，
∴∠KCD=∠3．
∵△KCD≌△BAD．
∴∠2=∠4，KD=BD，
∵BK∥AC，
∴∠ACB=∠6．
∵∠KCA=2∠ACB，
∴∠5=∠ACB，
∴∠5=∠6．
∴KC=KB，
∴KD=BD=KB．
∴∠KBD=60°．
∵∠ACB=∠6=60°－∠1，
∴∠BAC=2∠ACB=120°－2∠1．
∵∠1+（60°－∠1）+（120°－2∠1）+∠2=180°
∴∠2=2∠1．
∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：
3．
解析：
（1）问题特殊化成直角三角形后，三个答案比较容易获解，在细心求解确保得分．
（2）考虑作∠KCA=∠BAC，过B点作BK∥AC，交CK于点K，连结DK后获得等腰梯形ABKC，再分析出正三角形AKD会形成突破．
作为压轴题，设计了一道研究性学习的考题，可见命题组的良苦用心：
引领研究性学习风向．问题中提及的一般问题先特殊化获得猜想的方向，即明确向何方前进；进而再向一般问题过渡，着力于构造、转化，发现特殊图形对问题获解有很大的帮助．
（2）
答案与解析：
1.答案：
A。
∵∠A=30°，∴∠AMN+∠ANM=180°-30°=150°.
∵∠CME=∠AMN，∠BNF=∠ANM，∴∠CME+∠BNF=∠AMN+∠ANM=150°.
解析：
本题是几何的基础题目，解题的关键是掌握三角形内角和等于180°，对顶角相等.
2.答案：
B。
依据纸片折叠可得
，又因为
，所以
，过点
作
，则
，
，所以
，即
解析：
本题考查了等腰三角形、轴对称等知识及学生动手实验操作的能力，解题时要理解纸片折叠前、后的角、边的数量关系，属中等难度的题。
3．答案：
D。
由图可知∠B＝∠ACB＝45°，∠E＝30°，因为BC∥DE，所以∠BCF＝∠E＝30°，由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可知，∠AFC＝∠B＋∠BCF＝45°＋30°＝75°．
解析：
“相交线与平行线”既是众多平面图形和空间图形的基本构成要素，也是其他有关知识的依据和基础，相关内容被直接考查是中考数学试卷中的一个考查热点；而三角形则是研究其他图形的工具和基础，是中考的必考内容．
4.答案：
D。
根据题意知道线段DE是三角形的中位线，在有三角形中位线定理知线段AB＝2DE＝4，使得问题得以解决．
解析：
本题主要在考查学生对中位线定理的掌握情况，也没有涉及其他的干扰因素，考点较单一，问题也简单．但能真实反映出对这一知识的情况，信度很好．
5.答案：
B。
因为P到∠A的两边的距离相等，所以点P在∠A的平分线上，又因为AP=PB，所以点P在线段AB的垂直平分线上，故P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点.
解析：
本题难度不是很大，考查了角平分线的性质“到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上”和线段的垂直平分线的性质“到线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上”.
6.答案：
S－
。
重叠部分的面积为四边形DEMN的面积，四边形DEMN的面积可表示为△DEF的面积减去△MNF的面积，△DEF的面积等于△BDE的面积，△MNF的面积等于Rt△DAN的面积，Rt△DAN的面积为
.
解析：
本题属于折叠问题，涉及到了轴对称、全等三角形、直角三角形等多种知识，综合性较强，
难度较高.
7.答案：
C。
由BD∥AE可得∠DBC＋∠CBA＋∠CAB＋∠CAE＝180°，根据三角形内角和为180°知∠CBA＋∠CAB＝180°－∠C＝90°，所以∠CAE＋∠DBC＝90°，所以∠CAE＝90°−∠DBC＝70°．
解析：
本题属于基础题，主要考查学生对运用平行线的性质、三角形内角和定理进行简单计算的能力．
8.答案：
C。
平行线的性质，或三角形外角性质：
因为DE∥BC，所以∠C＝∠CDE＝50°（两直线平线，内错角相等），且∠CDB＝∠BDE＋∠CDE＝60°＋50°＝110°；
或因为DE∥BC，所以∠A＝∠BDE＝60°（两直线平线，同位角相等），且∠CDB＝∠A＋∠C＝60°＋50°＝110°，（三角形外角性质）
解析：
主要考查学生对基本定理的掌握是否全面，灵
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