北师大版高中数学必修二空间图形的基本关系与公理同步练习精品试题.docx

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北师大版高中数学必修二空间图形的基本关系与公理同步练习精品试题

空间图形的基本关系与公理

一、选择题

1．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过（　　）．

A．点AB．点B

C．点C但不过点MD．点C和点M

2．如下图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（　　）．

A．

B．

C．

D．

3．平面α∥

平面β，直线a⊂α，给出下列四个命题：

①a与β内的所有直线平行；

②a与β

内的无数条直线平行；

③a只与β内的一条直线平行；

④a与β无公共点．

其中正确的命题有（　　）．

A．1个B．2个C．3个D．4个

4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（　　）．

A．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β

B．若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线

C．若α∩β＝m，n∥m，且n

α，n

β，则n∥α且n∥β

D．若α⊥β，m∥n，n⊥β，则m∥α

5．已知直线l，m，平面α，β，则下列命题中假命题是（　　）．

A．若α∥β，l⊂α，则l∥β

B．若α∥β，l⊥α，则l⊥β

C．若l∥α，m⊂α，则l∥m

D．若α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则m⊥β

6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝

，则下列结论中错误的是（　　）．

A．AC⊥BE

B．EF∥平面ABCD

C．三棱锥A－BEF的体积为定值

D．△AEF的面积与△BEF的面积相等

二、填空题

7．如图，G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则

表示直线GH，MN是异面直线的图形有__________．

8．关于直线m，n和平面α，β，有以下四个命题：

①若m∥α，n∥

β，α∥β，则m∥n；

②若m∥n，m⊂α，n⊥β，则α⊥β；

③若α∩β＝m，m∥n，则n∥α且n∥β；

④若m⊥n，α∩β＝m，则n⊥α或n⊥β.

其中假命题的序号是__________．

9．在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝BC，则直线PC与AB所成角的大小是________．

三、解答题

10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为CC1，AA1的中点，画出平面BED1F与平面ABCD的交线．

11．如图，在几何体P－ABCD中，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AB＝PA＝2.

（1）当AD＝2时，求证：

平面PBD⊥平面PAC；

（2）若PC与AD所成的角为45°，求几何体P－ABCD的体积．

12．如图，已知两个正方形ABCD和DC

EF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．

（1）若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；

（2）用反证法证明：

直线ME与BN是两条异面直线．

参考答案

一、选择题

1．D　解析：

∵AB⊂γ，M∈AB，

∴M∈γ.

又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.

根据公理3可知，M在γ与β的交线上．

同理可知，点C也在γ与β的交线上．

2．D　解析：

连接D1C，AC，易证A1B∥D1C，

∴∠AD1C即为异面直线A1B与AD1所成的角．

设AB＝1，则AA1＝2，AD1＝D1C＝

，AC＝

，

∴cos∠AD

1C＝

＝

.

3．B　解析：

①③错误，②④正确．

4．C　解析：

∵n∥m，m⊂α，n⊄α，

∴n∥α；同理可知n∥β.故C正确．

5．C　解析：

若l∥α，m⊂α，则l∥m或l与m异面，故C是假命题．

6．D　解析：

由AC⊥平面DBB1D1，可知AC⊥BE，故A正确．

由EF∥BD，EF⊄平面ABCD，知EF∥平面ABCD，故B正确．

A到平面BEF的距离即A到平面DBB1D1的距离为

，

且S

△BEF＝

BB1×EF＝定值，

故VA－BEF为定值，即C正确．

二、

填空题

7．

②④　解析：

①③中

，GM∥HN，所以G

，M，N，H四点共面，从而GH与MN共面；

②④中，根据异面直线的判定定理，易知GH与MN异面．

8．①③④　解析：

①中的m，n可以平行、相交或异面，

是假命题；②是真命题；③中n可以在α或β内，假命题；④中n可以不与α，β垂直，假命题．

9．6

0°　解析：

分别取PA，AC，CB的中点F，D，E，连接FD，DE，EF，AE，则∠FDE是直线PC与AB所成角或其补角．

设PA＝AC＝BC＝2a，在△FDE中，易求得FD＝

a，DE＝

a，FE＝

a，

根据余弦定理，得cos∠FDE＝

＝－

，

所以∠FDE＝120°.

所以PC与AB所成角的大小是60°.

三、解答题

10．解：

在平面AA1D1D内，延长D1F，

∵D1F与DA不平行，

∴D1F与DA必相交于一点，设为P，

则P∈FD1，P∈DA.

又∵FD1⊂平面BED1F，AD⊂平面ABCD，

∴P∈平面BED1F，P∈平面ABCD.

又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，连接PB，

∴PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线．

如图所示．

11．

（1）证明：

当AD＝2时，四边形ABCD是正方形，则BD⊥AC.

∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴PA⊥BD.

又∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.

∵BD⊂平面PBD，

∴平面PBD⊥平面PAC.

（2）解：

PC与AD成45°角，AD∥BC，则∠PCB＝45°.

∵BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA＝A，

∴BC⊥平面PAB，PB⊂平面PAB.

∴BC⊥PB.

∴∠CPB＝90°－45°＝45°.

∴BC＝PB＝2

.

∴几何体P－ABCD的体积为

×（2×2

）×2＝

.

12．

（1）解：

取CD的中点G，连接MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝

.

因为平面ABCD⊥平面DCEF，

所以MG⊥平面DCEF.可得MG⊥NG.

所以MN＝

＝

.

（2）证明：

假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN.由已知，两正方形不共面，故AB⊄平面DCEF.

又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF，而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，所以AB∥EN.

又AB∥CD∥EF，

所以EN∥EF，这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立．

所以ME与BN不共面，它们是异面直线．