最新微分方程教案.docx

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最新微分方程教案

微分方程教案

微分方程的基本概念

引言

大家知道：

高等数学的主要研究对象是函数，我们在前面的学习中，对于给定的函数«SkipRecordIf...»，进行了微分运算和积分运算，那么函数又是如何得到的呢？

我们可以对实验中得到的数据进行处理，从中发现规律得到函数，也就是采用数据拟合的方法。

然而有些问题，往往很难根据数据直接找出所需要的函数关系，比如：

我们的新型战机——歼二十战机，使其安全着陆问题；坦克装甲的设计原理，导弹对敌机的追踪问题等等。

寻找这些问题中变量之间函数关系的方法有很多，我们来介绍其中的一种——利用微分方程求解函数关系。

为此今天我们来学习微分方程的基本概念。

下面我们从一张图片开始来认识他们。

一、问题的提出

我们注意到：

歼—二十战机下降滑跑时，在跑道上会滑行一段距离。

因此对滑跑的跑道提出了严格的要求，那么滑行跑道满足什么样的条件才可以保障战机的安全着陆？

那么，当机场跑道不足时，对它的着陆速度又有什么样的要求呢？

对此，我们把它抽象成一般的数学问题：

战机的安全着陆问题。

案例1（战机的安全着陆）我国新型战机——歼二十，质量为m，以速度«SkipRecordIf...»着陆降落时，减速伞对飞机的阻力作用与降落时的速度成正比，此外飞机还受到另一个与时间成正比的阻力作用，试讨论飞机降落时的速度与时间的关系？

要使得战机可以安全着陆也就是要使得飞机的滑跑距离小于跑道的长度。

对于此问题，我们可以先对飞机滑跑的运动状态进行分析,结合前面我们所学习的微分学知识以及牛顿第二定律，这样便可建立运动方程。

解：

设飞机质量为«SkipRecordIf...»，着陆速度为«SkipRecordIf...»，若从飞机接触跑道时开始计时，飞机的滑跑距离为«SkipRecordIf...»，飞机的速度为«SkipRecordIf...»，减速伞的阻力为«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»为阻力系数。

根据牛顿第二定律可得运动方程

«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»

从这个例子中，将这些等式和中学里我们所学的代数方程形式做比较，你有什么发现？

二、微分方程的基本概念

1、定义

通过比较代数方程与微分方程，从代数方程的定义（含有未知量的等式）得到：

含有未知函数的导数或微分的方程称为常微分方程，简称为微分方程，记为«SkipRecordIf...»。

例1：

判断下列等式是否为微分方程。

（1）«SkipRecordIf...»

（2）«SkipRecordIf...»

（3）«SkipRecordIf...»（4）«SkipRecordIf...»

答案：

（1）是；

（2）是；（3）是；（4）否。

本质：

是否含有未知函数的导数或微分是判断是否为微分方程的重要依据.

将这些方程与代数方程中“次数”的概念比较，得到如下概念：

2、微分方程的阶

从代数方程按次（未知量的最高次数）分类得到微分方程按阶（未知函数导数的最高阶数）分类：

一阶微分方程，二阶微分方程，......n阶微分方程等。

例如：

指出下列微分方程的阶数。

（1）«SkipRecordIf...»

（2）«SkipRecordIf...»

答案：

（1）1阶；

（2）2阶。

有了“阶”的概念之后，我们将从不同的角度对微分方程进行详细的分类。

3、分类

分类1:

根据微分方程的阶数

一阶微分方程：

«SkipRecordIf...»或者«SkipRecordIf...»

高阶微分方程：

«SkipRecordIf...»或者«SkipRecordIf...»

分类2:

根据自变量的个数

常微分方程（ODE）：

未知函数为一元函数。

例如：

«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»，

«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»

偏微分方程（PDE）：

未知函数为多元函数

例如：

«SkipRecordIf...»

分类3:

线性与非线性

线性：

在微分方程«SkipRecordIf...»中，F对未知函数y和它的各阶导数«SkipRecordIf...»的全体而言是一次的。

例2判断下列方程是否是线性的：

（1）«SkipRecordIf...»

（2）«SkipRecordIf...»（3）«SkipRecordIf...»（4）«SkipRecordIf...»

答案：

是，不是，不是，是。

前面的两个引例的解决过程事实上就是我们求解微分方程的过程，下面我们来介绍第三部分内容，也是我们本章的主要学习内容——微分方程的求解问题。

三、主要问题——求解微分方程

从代数方程解的定义（使方程恒成立的数值）得到微分方程解的定义：

使方程恒成立的函数。

1、微分方程的解:

设函数«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上连续,且有直到«SkipRecordIf...»阶的导数.如果把«SkipRecordIf...»代入方程«SkipRecordIf...»,得到在区间«SkipRecordIf...»上关于«SkipRecordIf...»的恒等式,　«SkipRecordIf...»则称«SkipRecordIf...»为方程«SkipRecordIf...»在区间«SkipRecordIf...»上的一个解.

现在让我们再回到案例1，当战机的着陆初速度以及加速度都已知时，战机的滑跑距离又是什么情况的时候可以保证战机安全着陆呢？

解：

设战机着陆后t秒钟后战机行驶了x米，«SkipRecordIf...»则加速度

«SkipRecordIf...»，

从而两边积分得

«SkipRecordIf...»,

再两边积分，得

«SkipRecordIf...»

条件：

«SkipRecordIf...»，从而«SkipRecordIf...»,

因此，从战机开始着陆到完全停下来共需时间«SkipRecordIf...»，战机在这段时间内行驶了

«SkipRecordIf...»

在这个问题的解决过程中，发现

«SkipRecordIf...»,«SkipRecordIf...»,

都满足微分方程«SkipRecordIf...»，是微分方程的解。

怎么回事？

下面给出以下概念：

全部解：

所有满足微分方程的函数的集合。

通解：

相互独立的任意常数的个数与方程的阶数相等的解。

特解：

确定了通解中的任意常数的解。

初始条件：

为确定通解中的任意常数而在微分方程中引入的条件。

例3：

判断下列函数是否是方程«SkipRecordIf...»的解？

（1）«SkipRecordIf...»

（2）«SkipRecordIf...»（3）«SkipRecordIf...»

解：

（1），

（2），（3）都是解，但

（1）是特解，

（2）是通解，（3）是全部解。

通过这个例子，我们对全部解，通解，特解的概念进行了区别，并且可以总结出三者之间的关系：

特解«SkipRecordIf...»通解«SkipRecordIf...»全部解

例4：

验证：

函数«SkipRecordIf...»都是微分方程«SkipRecordIf...»的解。

解：

对«SkipRecordIf...»关于t求导,«SkipRecordIf...»,

代入方程，«SkipRecordIf...»

从而也就验证了函数«SkipRecordIf...»是方程«SkipRecordIf...»的解。

对于«SkipRecordIf...»同样来验证。

总结：

求导代入验证

通过案例1，我们也找到一种求解微分方程的方法——两边积分求积分。

积分曲线——解«SkipRecordIf...»所表达的曲线，

　为了便于研究方程解的性质,我们常常考虑解的图象.一阶方程（1.5）的一个特解«SkipRecordIf...»的图象是«SkipRecordIf...»平面上的一条曲线,称为方程（1.5）的积分曲线,而通解«SkipRecordIf...»的函数图象是平面上的一族曲线,称为积分曲线族.例如,方程«SkipRecordIf...»的通解«SkipRecordIf...»是«SkipRecordIf...»平面上的一族抛物曲线.而«SkipRecordIf...»是过点（0,0）的一条积分曲线.以后,为了叙述简便,我们对解和积分曲线这两个名词一般不加以区别.对于二阶和二阶以上的方程,也有积分曲线和积分曲线族的概念,只不过此时积分曲线所在的空间维数不同.

积分曲线方程——«SkipRecordIf...»

可分离变量的微分方程

一.实际问题

 在各种反装甲弹药中，穿甲弹无疑是历史最悠久、使用最广泛的反装甲弹药。

面对穿甲弹性能的不断提高，作为“盾”的一方——坦克的装甲——也变得越来越厚。

我国T－98式主要特点：

重量轻、装甲厚，具有多种自我伪装能力和自动灭火装置，战场生存能力强。

那么它的设计原理是什么呢？

现在我们把它抽象为一般的数学问题加以研究。

案例2（坦克的装甲设计原理）已知质量为5kg的某特种合金穿甲弹以«SkipRecordIf...»的速度射入我军阻力系数为«SkipRecordIf...»，车体防护能力相当于600毫米的均质钢装甲的T-98式主战坦克。

已知该穿甲弹所受阻力与速度成正比，问该型号穿甲弹能否击穿我军T-98式主战坦克车体？

判断该型号该型号穿甲弹能否击穿我军T-98式主战坦克车体也就是要判断穿甲弹所走过的距离是否超过了车体防护能力的600mm,因此，我们要对穿甲弹的运动状态进行分析，根据牛顿第二定律有«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»是穿甲弹穿入车体时所受到的合力。

依题意，穿甲弹在车体中只受到车体的阻力«SkipRecordIf...»。

«SkipRecordIf...»是穿甲弹的重量，«SkipRecordIf...»是穿甲弹进入车体时的加速度，可以表示成«SkipRecordIf...»。

这样便可建立运动方程。

解：

设穿甲弹的质量为m，从其射入时开始计时，则穿甲弹走过的距离为«SkipRecordIf...»，运动速度为«SkipRecordIf...»，根据牛顿第二定律可得运动方程«SkipRecordIf...»，满足初始条件«SkipRecordIf...»；又因为穿甲弹走过的距离为«SkipRecordIf...»满足«SkipRecordIf...»，这是两个一阶的微分方程，怎么解呢？

对方程变形可以得到«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»它的特点是变量«SkipRecordIf...»分别位于等式的两边！

对于具有这种特点的微分方程，我们给它一个名称，请看定义。

二．可分离变量微分方程的定义

定义：

设有一阶微分方程«SkipRecordIf...»，若«SkipRecordIf...»可以表示成«SkipRecordIf...»，即«SkipRecordIf...»。

则称其为可分离变量的微分方程。

对于这一定义，我们需要注意以下三点。

1.«SkipRecordIf...»分别是«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»的连续函数；

2.方程的特点是形式上可以把因变量«SkipRecordIf...»与自变量«SkipRecordIf...»分离开；

3.当因变量与自变量符号改变时，仍然按照定义进行判断，如方

程«SkipRecordIf...»是可分离变量的微分方程。

接下来，请结合定义判断例5所举方程是否为可分离变量的微分方程。

例5

（1）«SkipRecordIf...».将«SkipRecordIf...»视为«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»视为«SkipRecordIf...»，可知方程

（1）是可分离变量的微分方程；

（2）«SkipRecordIf...».将«SkipRecordIf...»视为«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»视为«SkipRecordIf...»，可知方程

（2）是可分离变量的微分方程；

（3）«SkipRecordIf...».将«SkipRecordIf...»视为«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»视为«SkipRecordIf...»，可知方程（3）是可分离变量的微分方程；

（4）«SkipRecordIf...».对于式方程（4），它与可分离变量的微分方程定义中的形式«SkipRecordIf...»有较大区别。

因此它不是可分离变量的微分方程呢。

现在，我们已经掌握了怎样去判断一个方程为可分离变量的微分方程，那么，这样的方程怎么解呢？

这就是接下来我们要学习的内容：

可分离变量的微分方程的解法。

三．可分离变量微分方程的解法

1．求解方程«SkipRecordIf...»

求解时，通常都会先将变量进行分离，分离的条件是作分母的表达式不为0，因此需要分情况讨论。

①当«SkipRecordIf...»，分离变量有«SkipRecordIf...»，设«SkipRecordIf...»为方程的解，将解代入方程有«SkipRecordIf...»，两边同时求不定积分有«SkipRecordIf...»，因为«SkipRecordIf...»，故«SkipRecordIf...»。

若记«SkipRecordIf...»«SkipRecordIf...»分别为«SkipRecordIf...»与«SkipRecordIf...»的原函数，可得方程的通解为«SkipRecordIf...»。

②若存在«SkipRecordIf...»，使得«SkipRecordIf...»，代入原方程进行判断，等式成立，故可得特解为«SkipRecordIf...»。

把这里得到的通解和特解统称为微分方程解的全体。

这种求解可分离变量微分方程的方法称为分离变量法，它的求解步骤可以总结为三步：

首先，分离变量；其次，对分离变量后的方程求积分得通解；最后，对分离变量时漏解情况作补充，以得到微分方程解的全体。

对于这三步可以简记为一分二积三补充。

接下来，请同学们求解例5中的两个方程。

例6.求解下列微分方程。

（1）«SkipRecordIf...»

解：

①当«SkipRecordIf...»，分离变量有«SkipRecordIf...»；

两边同时求不定积分有«SkipRecordIf...»，即«SkipRecordIf...»，从而«SkipRecordIf...»，若记«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»，则«SkipRecordIf...»，若记常数«SkipRecordIf...»为«SkipRecordIf...»，则得到方程的通解为«SkipRecordIf...»。

②当«SkipRecordIf...»是特解。

所以，微分方程的解为«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»为任意常数。

（2）«SkipRecordIf...»

这是一个带有初始条件的可分离变量的微分方程，通常的做法是先求出方程的通解，再利用初始条件确定通解中的常数，从而得到满足条件的方程的解。

解：

因«SkipRecordIf...»，分离变量有«SkipRecordIf...»；

两边同时求不定积分有«SkipRecordIf...»，并求解得到«SkipRecordIf...»，因为«SkipRecordIf...»，代入通解中可得«SkipRecordIf...»，则所求微分方程的解为«SkipRecordIf...»，即«SkipRecordIf...»。

2.实际问题求解：

最后，再对坦克的装甲的设计原理这一实际问题进行求解，也即是我们需要如下两个带有初始条件的微分方程：

«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»

求得满足初始条件的特解，我们首先还是需要求出两个微分方程的通解。

他们是可分离变量的微分方程，按照分离变量法的步骤：

一分二积三补充求解。

1当«SkipRecordIf...»，分离变量有«SkipRecordIf...»；

两边同时求不定积分有«SkipRecordIf...»，即«SkipRecordIf...»。

②当«SkipRecordIf...»是特解。

所以，微分方程的通解为«SkipRecordIf...»，«SkipRecordIf...»为任意常数。

又因为«SkipRecordIf...»，可求出«SkipRecordIf...»。

从而微分方程的解为：

«SkipRecordIf...»。

由于实际问题涉及到飞机的滑跑距离«SkipRecordIf...»，因此，需要将«SkipRecordIf...»引入到方程中。

因为«SkipRecordIf...»，所以«SkipRecordIf...»。

它是可分离变量的微分方程，可以用分离变量法求解。

分离变量有：

«SkipRecordIf...»；

两边同时积分有«SkipRecordIf...»。

因为«SkipRecordIf...»，可求出«SkipRecordIf...»，从而«SkipRecordIf...»。

因此飞机的滑跑距离«SkipRecordIf...»，代入已知数据有«SkipRecordIf...»。

所以，该型号的穿甲弹不能击穿我军T-98式坦克车体。

这样，我们就圆满完成了坦克的装甲的分析和计算。

练习：

1、求解微分方程«SkipRecordIf...»的通解。

2、求解微分方程«SkipRecordIf...»

提出问题就要解决问题，下面让我们再次回到案例1：

案例1（战机的安全着陆）质量为m的飞机以速度«SkipRecordIf...»着陆降落时，减速伞对飞机的阻力作用与降落时的速度成正比，此外飞机还受到另一个与时间成正比的阻力作用，试讨论飞机降落时的速度与时间的关系？

当机场跑道长度不足时，常常使用减速伞作为飞机的减速装置。

在飞机接触跑道开始着陆时，利用空气对伞的阻力减少飞机的滑跑距离，保障飞机在较短的跑道上安全着陆。

解：

设飞机质量为«SkipRecordIf...»，着陆速度为«SkipRecordIf...»，若从飞机接触跑道时开始计时，飞机的滑跑距离为«SkipRecordIf...»，飞机的速度为«SkipRecordIf...»，减速伞的阻力为«SkipRecordIf...»，其中«SkipRecordIf...»为阻力系数。

根据牛顿第二定律可得运动方程«SkipRecordIf...»。

它不是一个可分离变量的微分方程，如何求解？

将方程变形得到«SkipRecordIf...»

如果令«SkipRecordIf...»，由于«SkipRecordIf...»都是关于«SkipRecordIf...»的函数，两边同时求导有«SkipRecordIf...»，即«SkipRecordIf...»，对于«SkipRecordIf...»，这样得到的关于变量«SkipRecordIf...»和«SkipRecordIf...»的方程，它是可分离量的微分方程，我们可以进行求解。

在解决这类问题中用到了什么方法？

——变量代换将方程化为可分离变量的微分方程。

那么对于

«SkipRecordIf...»

形式的微分方程你会求解吗？

小结：

本节课我们采用对比的教学方法介绍了常微分方程的基本概念，所学的内容可以用八个字来概括，即：

六个概念，一种方法。

利用实际的问题的提出、分析和求解讲授了可分离变量的微分方程«SkipRecordIf...»以及它的求解方法——分离变量法，它的步骤可总结为一分二积三补充。

1.分离变量«SkipRecordIf...»，条件«SkipRecordIf...»；

2.两端同时积分«SkipRecordIf...»得通解；

3.若«SkipRecordIf...»，得特解«SkipRecordIf...»。