四边形难题汇编附答案.docx
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四边形难题汇编附答案
四边形难题汇编附答案
一、选择题
1．如图，在YABCD中，AC8，BD6，AD5，则YABCD的面积为（）
A．6
B．12
C．24
D．48
【答案】C
【分析】
【剖析】
由勾股定理的逆定理得出
AOD
90o，即AC
BD，得出YABCD是菱形，由菱形面
积公式即可得出结果．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OC
OC
1AC
4，OB
OD
1BD
3，
2
2
∴OA2
OD2
25
AD2，
∴AOD90o，即AC
BD，
∴YABCD是菱形，
∴YABCD的面积
1
1
ACBD
8624；
2
2
应选C．
【点睛】
本题考察平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、菱形的判断与性质，娴熟掌握平行四边
形的性质，证明四边形ABCD是菱形是解题的重点．
2．如图，已知AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿直线EF折叠，使点A与点D重合，给出以下判断：
①EF是VABC的中位线；
②VDEF的周长等于VABC周长的一半：
③若四边形AEDF是菱形，则
ABAC；
④若BAC是直角，则四边形
AEDF是矩形．
此中正确的选项是（
）
A．①②③
B．①②④
C．②④
D．①③④
【答案】A
【分析】
【剖析】
依据折叠可得EF是AD的垂直均分线，再加上条件
AD是三角形纸片
ABC的高能够证明EF
∥BC，从而可得△AEF∽△ABC，从而得AE
AF
AO
1
，从而获得EF是△ABC的中
AB
AC
AD
2
位线；再依据三角形的中位线定理可判断出
△AEF的周长是△ABC的一半，从而获得△DEF
的周长等于△ABC周长的一半；依据三角形中位线定理可得
1
1
AE=AB，AF=AC，若四边形
2
2
AEDF是菱形则AE=AF，即可获得AB=AC．
【详解】
解：
∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
依据折叠可得：
EF是AD的垂直均分线，
∴AO=DO=1AD，AD⊥EF，
2
∴∠AOF=90°，
∴∠AOF=∠ADC=90°，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
AE
AF
AO
1
AB
AC
AD
，
2
∴EF是△ABC的中位线，故①正确；
∵EF是△ABC的中位线，
∴△AEF的周长是△ABC的一半，依据折叠可得△AEF≌△DEF，
∴△DEF的周长等于△ABC周长的一半，故②正确；
∵EF是△ABC的中位线，
∴AE=1AB，AF=1AC，
22
若四边形AEDF是菱形，
则AE=AF，
∴AB=AC，
故③正确；
依据折叠只好证明∠BAC=∠EDF=90°，
不可以确立∠AED和∠AFD的度数，故④错误；应选：
A．
【点睛】
本题主要考察了图形的翻折变换，以及三角形中位线的性质，重点是掌握三角形中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，而且等于第三边的一半．
3．如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，BE
AD，BCE
30.若AE
2，则
边BC的长为（）
A．5B．6C．7D．22
【答案】B
【分析】
【剖析】
由菱形的性质得出AD∥BC，BC=AB=AD，由直角三角形的性质得出AB=BC=3BE，在
Rt△ABE中，由勾股定理得：
BE2+22=（3BE）2，解得：
BE=2，即可得出结果．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，BC∵BEAD.∴BE
AB.
BC.
∴BCE30，∴EC2BE，
∴ABBCEC2BE23BE.
在Rt△ABE中，由勾股定理得BE2
22
2
3BE，
解得BE
2，∴BC3BE
6.
应选B.
【点睛】
本题考察菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，娴熟掌握菱形的性质，
由勾股定理得出方程是解题的重点．
4．如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AB=a，AN均分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N.则DM+CN的值为（用含a的代数式表示）（）
A．a
4
C．
2a
D．
3a
B．a
5
2
2
【答案】C
【分析】
【剖析】
依据“AN均分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N”得∠MDC=∠NCD=45°，
cos45°=DM
CN
，因此
DM+CN=CDcos45°；再依据矩形
ABCD，AB=CD=a，DM+CN的值即
DE
CE
可求出．
【详解】
∵AN均分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N，
∴∠ADM=∠MDC=∠NCD=45°，
∴DM0
CN0=CD，
cos45
cos45
在矩形ABCD中，AB=CD=a，
∴DM+CN=acos45°=2a.
2
应选C.
【点睛】
本题考察矩形的性质，解直角三角形，解题重点在于获得
cos45°=DM
CN
DE
CE
5．如图，在菱形
ABCD中，对角线
AC＝8，BD＝6，点
E，F分别是边
AB，BC的中点，点
P在
AC上运动，在运动过程中，存在
PE＋PF的最小值，则这个最小值是（
）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】
【剖析】
先依据菱形的性质求出其边长，再作E对于AC的对称点E′，连结E′F，则E′F即为PE+PF
的最小值，再依据菱形的性质求出E′F的长度即可．
【详解】
解：
如图
∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=6，BD=8，
∴AB=3242=5，
作E对于AC的对称点E′，连结E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，∵AC是∠DAB的均分线，E是AB的中点，
∴E′在AD上，且E′是AD的中点，∵AD=AB，
∴AE=AE′，
∵F是BC的中点，∴E′F=AB=5．
应选C．
6．如图，在平行四边形
ABCD中，用直尺和圆规作∠
BAD的均分线
AG交BC于点
E，若
BF=6，AB=5，则
AE的长为
（
）
A．4B．8C．6D．10
【答案】B
【分析】
【剖析】
【详解】
解：
设AG与BF交点为O，∵AB=AF，AG均分∠BAD，AO=AO，∴可证△ABO≌△AFO，∴
BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90o，AB=5，∴AO=4，∵AF∥BE，∴可证△AOF≌△EOB，
AO=EO，∴AE=2AO=8，应选B．
【点睛】
本题考察角均分线的作图原理和平行四边形的性质．
7．如图，平行四边形ABCD的周长是26cm,对角线AC与BD交于点O,AC
AB,E是
BC中点，△AOD的周长比VAOB的周长多3cm，则AE的长度为（）
A．3cm
B．4cm
C．5cm
D．8cm
【答案】B
【分析】
【剖析】
依据题意，由平行四边形的周长获得
ABAD
13，由△AOD的周长比VAOB的周长
多3cm，则AD
AB3，求出AD的长度，即可求出
AE的长度．
【详解】
解：
∵平行四边形
ABCD的周长是26cm，
1
2613，
∴ABAD
2
∵BD是平行四边形的对角线，则
BO=DO，
∵△AOD的周长比VAOB的周长多3cm，
∴（AOODAD）（AOOB
AB）AD
AB
3，
∴AB5，AD8，
∴BCAD8，
∵AC
AB，点E是BC中点，
∴AE
1
1
BC
84；
2
2
应选：
B．
【点睛】
本题考察了平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的重点是娴熟掌握平行四边形的性质进行解题．
8．如图，在菱形ABCD中，AB＝10，两条对角线订交于点O，若OB＝6，则菱形面积是
（）
A．60
B．48
C．24
D．96
【答案】D
【分析】
【剖析】
由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，由勾股定理可求
【详解】
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6，
AO的长，即可求解．
∴AO＝AB2OB2
100368，
∴AC＝16，BD＝12，
∴菱形面积＝1216＝96，
2
应选：
D．
【点睛】
本题考察了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线相互垂直均分是本题的重点．
9．如图，小莹用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，BC长为
10cm．当小莹折叠时，极点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）．则此时EC=（）cm
A．4B．2C．22D．3
【答案】D
【分析】
【剖析】
依据矩形的性质得AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°，再依据折叠的性质得AF=AD=10，
DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则CF=BC﹣BF=4，设CE=x，则DE=EF=8
﹣x，在Rt△CEF中利用勾股定理获得:
42+x2=（8﹣x）2，而后解方程即可．【详解】
解：
∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=8，BC=AD=10，∠B=∠C=90°．∵长方形纸片ABCD折纸，极点D落在BC边上的点F处（折痕为AE），
∴AF=AD=10，DE=EF，
在Rt△ABF中，AB=8，AF=10，∴BF=AF2AB26
∴CF=BC﹣BF=4．
设CE=x，则DE=EF=8﹣x，
在Rt△CEF中，∵CF222，+CE=EF
∴42+x2=（8﹣x）2，解得x=3
∴EC的长为3cm．
应选：
D
【点睛】
本题考察了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用；娴熟掌握折叠的性质和矩形的性质，依据勾股定理得出方程是解题重点．
10．如图11-3-1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°，则必定有（）
A．∠ADE=20°B．∠ADE=30°C．∠ADE=1∠ADCD．∠ADE=1∠ADC
23
【答案】D
【分析】
【剖析】
【详解】
设∠ADE=x，∠ADC=y，由题意可得，
∠ADE+∠AED+∠A=180°，∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，即x+60+∠A=180①，3∠A+y=360②，
由①×3-②可得3x-y=0，
因此x
1y，即∠ADE=
1∠ADC．
3
3
故答案选D．
考点：
三角形的内角和定理；四边形内角和定理．
11．如图，在?
ABCD中，BM是∠ABC的均分线交CD于点M，且MC=2，?
ABCD的周长是在14，则DM等于（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】
试题剖析：
∵BM是∠ABC的均分线，∴∠ABM=∠CBM，∵AB∥CD，∴∠ABM=∠BMC，∴∠BMC=∠CBM，∴BC=MC=2，∵?
ABCD的周长是14，∴BC+CD=7，∴CD=5，则DM=CD
﹣MC=3，应选C．
考点：
平行四边形的性质．
12．如图，四边形ABCD的对角线为AC、BD，且AC=BD，则以下条件能判断四边形ABCD为矩形的是（）
A．BA=BC
B．AC、BD相互均分
C．AC⊥BD
D．AB∥CD
【答案】B
【分析】
试题剖析：
依据矩形的判断方法解答．
解：
能判断四边形ABCD是矩形的条件为AC、BD相互均分．
原因以下：
∵AC、BD相互均分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC=BD，
∴?
ABCD是矩形．
其余三个条件再加上AC=BD均不可以判断四边形ABCD是矩形．
应选B．
考点：
矩形的判断．
13．如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE均分BAD交BC于点E，且∠ADC＝
1
60°，AB＝BC，连结OE．以下结论：
①AE＝CE；②S△ABC＝AB?
AC；③S△ABE＝2S△AOE；
2
1
④OE＝BC,建立的个数有（）
4
A．1个B．2个C．3个D．4
【答案】C
【分析】
【剖析】
利用平行四边形的性质可得∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，利用角均分线的性质证明
1
△ABE是等边三角形，而后推出AE=BE=BC，再联合等腰三角形的性质：
等边平等角、三
2
线合一进行推理即可．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE均分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=BE，∠AEB=60°，
∵AB=1BC，
2
∴AE=BE=1BC，
2
∴AE=CE，故①正确；∴∠EAC=∠ACE=30°∴∠BAC=90°，
=
AB?
AC，故②错误；
∴S△ABC
1
2
∵BE=EC，
∴E为BC中点，O为AC中点，
∴S△ABE=S△ACE=2S△AOE，故③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=CO，
∵AE=CE，∴EO⊥AC，∵∠ACE=30°，
∴EO=1EC，
2
1
∵EC=AB，
2
∴OE=1BC，故④正确；
4
故正确的个数为3个，
应选：
C．
【点睛】
本题考察平行四边形的性质，等边三角形的判断与性质．注意证得△ABE是等边三角形是解题重点．
14．如图，在VABC中，D，E是AB，AC中点，连结DE并延伸至F，使EF
DE，
CF
ADCF
（）
连结AF，CD，．增添以下条件，可使四边形
为菱形的是
A．ABACB．ACBCC．CDABD．ACBC
【答案】D
【分析】
【剖析】
依据AE＝CE，EF＝DE可证得四边形ADCF为平行四边形，再利用中位线定理可得DE∥BC
联合AC⊥BC可证得AC⊥DF，从而利用对角线相互垂直的平行四边形是菱形即可得证．
【详解】
解：
∵点E是AC中点，
∴AE＝CE，
∵AE＝CE，EF＝DE，
∴四边形ADCF为平行四边形，
∵点D、E是AB、AC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠AED＝∠ACB，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴∠AED＝90°，
∴AC⊥DF，
∴平行四边形ADCF为菱形
应选：
D．
【点睛】
本题考察了菱形的判断，三角形的中位线性质，娴熟掌握有关图形的性质及判断是解决本题的重点．
15．如图，将一个大平行四边形在一角剪去一个小平行四边形，假如用直尺画一条直线将
其节余部分切割成面积相等的两部分，这样的不一样的直线一共能够画出（）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【分析】
【剖析】
利用平行四边形的性质切割平行四边形即可．
【详解】
解：
以下图，这样的不一样的直线一共能够画出三条，
故答案为：
3．
【点睛】
本题考察平行四边形的性质，解题的重点是掌握平行四边形的中心对称性．
16．如图，矩形纸片
ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．现将其沿
AE对折，使得点
B落在边
AD
上的点
B1处，折痕与边
BC交于点
E，则
CE的长为（
）
A．6cmB．4cmC．3cmD．2cm
【答案】D
【分析】
剖析：
依据翻折的性质可得∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，而后求出四边形ABEB1是正方形，再依据正方形的性质可得BE=AB，而后依据CE=BC-BE，代入数据进行计算即可得解．
详解：
∵沿AE对折点B落在边AD上的点B1处，
∴∠B=∠AB1E=90°，AB=AB1，
又∵∠BAD=90°，
∴四边形ABEB1是正方形，
∴BE=AB=6cm，
∴CE=BC-BE=8-6=2cm．
应选：
D．
点睛：
本题考察了矩形的性质，正方形的判断与性质，翻折变换的性质，判断出四边形
ABEB1是正方形是解题的重点．
17．如图点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点
P作EF//BC，分别交AB、
CD于点E、F，连结PB、PD，若AE
1，PF
8，则图中暗影部分的面积为
（）
A．5B．6C．8D．9
【答案】C
【分析】
【剖析】
由矩形的性质可证明S△PEB=S△PFD，即可求解．
【详解】
作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
S△ADC=S△ABC，S△AMP=S△AEP，S△PBE=S△PBN，S△PFD=S△PDM，S△PFC=S△PCN，
∴S△△
1
DFP=SPBE=
×1×8=4，
2
∴S阴=4+4=8，
应选：
C．
【点睛】
本题考察矩形的性质、三角形的面积，解题的重点是证明S△PEB=S△PFD．
18．以下说法正确的选项是（）
A．对角线相等的四边形必定是矩形
B．随意掷一枚质地平均的硬币10次，必定有5次正面向上C．假如有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是6
D．“用长分别为5cm、12cm、6cm的三条线段能够围成三角形”这一事件是不行能事件
【答案】D
【分析】
【剖析】
依据矩形的判断定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不行能事件的定义挨次判断即可.
【详解】
A.对角线相等的平行四边形是矩形，故该项错误；
B.随意掷一枚质地平均的硬币10次，不必定有5次正面向上，故该项错误；
C.一组数据为5，3，6，4，2，它的中位数是4，故该项错误；
D.用“长分别为5cm、12cm、6cm的三条线段能够围成三角形”这一事件是不行能事件，正确，
应选：
D.
【点睛】
本题矩形的判断定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不行能事件的定
义，综合掌握各知识点是解题的重点.
19．在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD是平行四边形，可增添的条件不正确
的是（）
A．AB∥CDB．∠B＝∠DC．AD＝BCD．AB＝CD
【答案】D
【分析】
【剖析】
依据平行四边形的判断解答即可．
【详解】
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故A正确；
∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故C正确；
∵AD∥BC，
∴∠D+∠C=180°，
∵∠B=∠D，
∴∠B+C=180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故B正确；
应选：
D．
【点睛】
本题考察平行四边形的判断，解题重点是依据平行四边形的判断解答．
20．如图，四边形ABCD的对角线订交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD
＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）
A．40B．24C．20D．15
【答案】B
【分析】
【剖析】
依据等腰三角形的性质获得AC⊥BD，∠BAO=∠DAO，
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