数学分析教案第十六章多元函数的极限与连续.docx
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数学分析教案第十六章多元函数的极限与连续
第十六章多元函数的极限与连续
教学目的：
1.明确认识多元函数与一元函数的相同和不同之处，进而掌握多元函数研究问题的手法与特点；2.明确研究多元函数的目的及多元函数的用途。
教学重点难点：
本章的重点是平面点集的有关概念与二元函数的连续性；难点是二元函数极限的讨论。
教学时数：
16学时
§1平面点集与多元函数
一. 平面点集:
平面点集的表示:
满足的条件}.余集
.
1. 常见平面点集:
⑴全平面和半平面:
等.
⑵矩形域:
}.
⑶圆域:
开圆,闭圆,圆环.圆的个部分.极坐标表示,特别是
和
.
⑷角域:
.
⑸简单域:
型域和
型域.
2. 邻域:
圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.
空心邻域和实心邻域,空心方邻域与集
的区别.
二. 点集拓扑的基本概念:
1. 内点、外点和界点：
集合
的全体内点集表示为
边界表示为
.集合的内点
外点
界点不定.
例1 确定集
的内点、外点集和边界.
例2
为Dirichlet函数.
确定集
的内点、外点和界点集.
2. （以凝聚程度分为）聚点和孤立点:
孤立点必为界点.
例3
.确定集
的聚点集.
解
的聚点集
.
3. （以包含不包含边界分为）开集和闭集:
时称
为开集,
的聚点集
时称
为闭集.存在非开非闭集.
和空集
为既开又闭集.
4. （以连通性分为）开区域、闭区域、区域：
以上常见平面点集均为区域.
5. 有界集与无界集:
6. 点集的直径
：
两点的距离
.
7. 三角不等式：
（或
）
.
三.点列的极限:
设
.
定义
的定义（用邻域语言）.
例4
.
例5 设
为点集
的一个聚点.则存在
中的点列
使
.
四.
中的完备性定理:
1. Cauchy收敛准则:
先证{
}为Cauchy列
和
均为Cauchy列.
2.闭集套定理:
P116.
3.聚点原理:
列紧性,Weierstrass聚点原理.
4. 有限复盖定理:
五. 二元函数:
1. 二元函数的定义、记法、图象：
2. 定义域：
例6 求定义域：
ⅰ>
;ⅱ>
.
3. 二元函数求值:
例7
求
.
例8
求
.
4. 三种特殊函数:
⑴变量对称函数:
例8中的函数变量对称.
⑵变量分离型函数:
.例如
等.
但函数
不是变量分离型函数.
⑶具有奇、偶性的函数：
§2二元函数的极限
一.全面极限与相对极限:
全面极限亦称为二重极限.
1. 全面极限
的定义:
亦可记为
.
由
的定义引入.
例1 用“
”定义验证极限
.P94例1.
例2 用“
”定义验证极限
.
例3
证明
.（用极坐标变换）P94例2.
2. 相对极限及方向极限:
相对极限
和方向极限
的定义.
3. 全面极限与相对极限的关系:
Th1
对D的每一个子集E,只要点
是E的聚点,
就有
.
推论1设
是
的聚点.若极限
不存在,则极限
也不存在.
推论2设
是
和
的聚点.若存在极限
但
则极限
不存在.
推论3极限
存在,
对D内任一点列
但
数列
收敛.
通常为证明极限
不存在,可证明沿某个方向的极限不存在,或证明沿某两个方向的极限不相等,或证明方向极限与方向有关.但应注意,沿任何方向的极限存在且相等
全面极限存在（以下例5）.
例4
证明极限
不存在.（考虑沿直线
的方向极限）.
全面极限具有与一元函数极限类似的运算性质.
例5 求下列极限:
ⅰ>
;ⅱ>
;
ⅲ>
;ⅳ>
.
4．极限
的定义:
其他类型的非正常极限，
无穷远点的情况.
例6 验证
.
二. 累次极限:
1. 累次极限的定义:
定义.
例7
求在点
的两个累次极限.P97例6.
例8
求在点
的两个累次极限.
例9
求在点
的两个累次极限.
2. 全面极限与累次极限的关系:
⑴两个累次极限存在时,可以不相等.（例9）
⑵两个累次极限中的一个存在时,另一个可以不存在.例如函数
在点
的情况.
⑶全面极限存在时,两个累次极限可以不存在.例如例8中的函数,全面极限存在,但两个累次极限均不存在.
⑷两个累次极限存在（甚至相等）
全面极限存在.（参阅例7）.
综上,全面极限、两个累次极限三者的存在性彼此没有关系.但有以下确定关系.
Th2若全面极限
和累次极限
（或另一次序）都存在,则必相等.（证）P98.
推论1全面极限和两个累次极限三者都存在时,三者相等.
系1给出了累次极限次序可换的一个充分条件.
推论2两个累次极限存在但不相等时,全面极限不存在.
但两个累次极限中一个存在,另一个不存在
全面极限不存在.
§3二元函数的连续性
一． 二元函数的连续（相对连续）概念：
由一元函数连续概念引入.
1. 连续的定义:
定义用邻域语言定义相对连续.全面连续.
函数
有定义的孤立点必为连续点.
例1
证明函数
在点
沿方向
连续.
函数的增量:
全增量、偏增量.用增量定义连续性.
函数在区域上的连续性.
2. 二元连续（即全面连续）和单元连续:
定义（单元连续）
二元连续与单元连续的关系:
参阅]P101图16—9.
3. 连续函数的性质:
运算性质、局部有界性、局部保号性、复合函数连续性.
仅证复合函数连续性.
二. 二元初等函数及其连续性:
二元初等函数,二元初等函数的连续性.
三. 一致连续性:
定义.
四. 有界闭区域上连续函数的性质:
1. 有界性与最值性.（证）
2. 一致连续性.（证）
3. 介值性与零点定理.（证）
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