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建模A题

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

A

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：

洛阳师范学院

参赛队员（打印并签名）：

1.王莹

2.姚嘉

3.徐梦珂

指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：

日期：

2013年8月22日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

储油罐的变位识别与罐容表标定

摘要

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。

本文主要研究的是储油罐的变位识别与罐容表标定问题。

针对问题一，首先我们将小椭圆储油罐看作椭圆柱体，利用几何关系和积分计算方法建立无变位和倾斜角为

的纵向变位的储油高度与储油量的体积模型。

其次，我们将附件一的无变位进油，无变位出油，倾斜变位进油，倾斜变位出油表中给出的油位高度与储油量的体积关系拟合出来，对建立的模型进行检验。

检验后模型成立，给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

针对问题二，根据问题一的理论方法，加上两端球缺的体积就能得出实际

中油罐的储油体积，再与附件二给出的数据用matlab拟合工具箱cftool进行拟合，输出未知变位参数

与

对应的值，并进行误差分析，如果可行，则用

和

列出变位后储油量与油位高度的关系V（h）=f,并制定间隔为10cm的罐容表标定值。

关键字：

积分MATLABS数据拟合罐容表标定

一问题重述

通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。

按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。

图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。

图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。

请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。

（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。

请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度和横向偏转角度）之间的一般关系。

请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。

进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。

二问题分析

2.1问题

（一）的分析

对小椭圆储油罐，我们将其看作椭圆柱体.

在储油罐无变位的情况下建立空间直角坐标系，利用积分的方法得到体积关于h的公式，代人附件1实验数据中的高度得到储油罐中的理论油量V。

利用附件1实验数据中得到储油罐中的实际油量与理论油量进行比较，检验模型的准确性。

在储油罐发生变位的情况下建立直角坐标系，根据储油罐中油量的多少分成三类，然后就每一类利用积分的方法得到体积关于h的公式，代人附件1实验数据中的高度得到储油罐中的理论油量V。

利用附件1实验数据中得到储油罐中的实际油量，根据理论油量及实际油量就可以检验模型的准确性。

由上述得到储油罐发生变位时体积关于h的公式可以给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

2.2问题

（二）的分析

问题二我们采用问题一的理论方法，实际中的油罐中间的部分只是把问题一的椭圆柱变成了圆柱，两头再加上两个球缺，运用三重积分，即能求出储油罐的容量，并用未知变位参数α和β列出储油量与油位高度的关系式V（h）=f，将附件二中的数据用matlab中的拟合工具箱cftool呈现在坐标图像上，再用V（h）=f与之拟合，工具箱会给出未知参量α和β的具体值，如果是多个，找出最优值，然后利用matlab制定间隔为10cm的罐容表标定值。

三模型假设

1.忽略罐壁厚度等细微影响；

2.忽略由于温度、压强变化等原因而引起储油罐的体积变化；

3.忽略油罐没有凹凸地方，

4.假设所给数据都是准确的。

四符号说明

a椭圆的长半轴长

b椭圆的短半轴长

L油罐长度

l油浮到油罐左侧的距离

h油位高度

五模型的建立与求解

5.1.问题一的模型的建立与求解

5.1.1小椭圆储油罐无变位时的模型

由于我们将小椭圆储油罐看作椭圆柱体，如图所示建立直角空间坐标系。

yyy

图1储油截面图

椭圆的半长轴长为

，半短轴长为

，则椭圆方程为

则储油罐的侧面积

已知油罐的长为L，储油的体积为

（1）

由题可知：

；

；

利用公式

（1）所求的结果和附件1的油面高度得到对应的储油量体积，将这些点拟合得到理论的储油量变化曲线，并与题目给出的实际的储油量的拟合曲线比较，如图2所示。

由图可知：

理论数据大于实验数据，两条拟合曲线几乎重合。

我们利用

相对误差

表示它们的误差，计算出误差

的范围为：

。

在建立模型时，我们忽略由于温度，压强变化等原因而引起储油罐的体积变化从而导致理论数据与实际数据的误差。

因此误差可忽略不计，模型成立。

5.2储油罐变位模型

5.21模型建立

不考虑油位高度在油浮之下和油罐未满而油位显示为满罐的情况，因为在这两种情况下，油位高度显示一直为零或一直为满，与附件数据无法做对比，且与油位高度无法建立联系。

以下建立坐标系建立都为XZ

YY

储油罐只发生纵向变位且倾斜角为

时，分三种情况讨论。

（1）对区域V1，当油浮的高度在0

时，如图a

利用三重积分得

（2）

（2）对区域V2，当油浮的高度在（L-l）tan

时，如图b

利用三重积分得

（3）

（3）对区域V3，当油浮高度在2b-ltan

利用三重积分得

（4）

5.2.2椭圆柱体的储油罐的罐容表

利用matlab分析附件一中倾斜时油面高度得到对应的储油量体积，将这些点拟合得到理论的储油量变化曲线，并与题目给出的实际的储油量的拟合曲线比较，如图3所示。

图2变位时的数据拟合曲线

通过分析附件一的数据，当油罐倾斜时，理论值与实际值的相对误差的平均值为0.03，标准差为0.01，相对稳定，且误差较小。

因此我们所建的模型是合理。

在MATLAB的环境下计算油浮子的所显示的高度

每改变

时的储油体积（即变位后的储油罐的罐容表）。

其罐容表见表1

表1储油罐变位后的罐容表（

）

油高（mm）

油量（L）

油高（mm）

油量（L）

油高（mm）

油量（L）

油高（mm）

油量（L）

油高（mm）

油量（L）

油高（mm）

油量（L）

油高（mm）

油量（L）

油高（mm）

油量（L）

0

<=1.67

310

630.1

610

1841.8

910

3112

10

3.53

320

665.6

620

1885.1

920

3151.2

20

5.94

330

701.5

630

1928.5

930

3190.1

30

9.97

340

738

640

1971.9

940

3228.6

40

14.76

350

774.9

650

2015.4

950

3266.7

50

21.04

360

812.2

660

2058.8

960

3304.4

60

27.85

370

850

670

2102.3

970

3341.7

70

36.32

380

888.2

680

2145.7

980

3378.5

80

47.56

390

926.7

690

2189.1

990

3414.9

90

63.16

400

965.7

700

2232.5

1000

3450.7

100

78.09

410

1005

710

2275.8

1010

3486.1

110

84.4

420

1044.6

720

2319.1

1020

3520.9

120

100.25

430

1084.5

730

2362.3

1030

3555.1

130

117.4

440

1124.8

740

2405.4

1040

3588.8

140

136.9

450

1165.3

750

2448.4

1050

3621.8

150

157.8

460

1206.2

760

2491.3

1060

3654.2

160

180.3

470

1247.2

770

2534

1070

3685.9

170

204

480

1288.6

780

2576.6

1080

3716.9

180

228.9

490

1330.1

790

2619.1

1090

3747.2

190

254.9

500

1371.9

800

2661.4

1100

3776.6

200

281.9

510

1413.9

810

2703.6

1110

3805.3

210

309.8

520

1456

820

2745.5

1120

3833

220

338.5

530

1498.4

830

2787.2

1130

3859.8

230

368.1

540

1540.9

840

2828.7

1140

3885.6

240

398.5

550

1583.5

850

2870

1150

3910.3

250

429.7

560

1626.3

860

2911.1

1160

3933.9

260

461.5

570

1669.2

870

2951.8

1170

3956.1

270

494

580

1712.2

880

2992.3

1180

3975.3

280

527.1

590

1755.3

890

3032.5

1190

3995.5

290

560.9

600

1798.5

900

3072.4

1200

4016.7

300

595.2

5.2问题二的模型的建立与求解

经过讨论，我们首先可将问题二的储油罐的体积看做圆柱体和两个相同球冠体的体积之和。

即

六模型的评价

优点：

在问题一中，我们从储油罐无变位与变位两个方面建立了模型，求得的储油量理论值与储油量实际值吻合得较好，相对误差小，符合要求，因此能准确的预测出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

问题一中，主要运用积分的方法与立体几何的相关知识建立数学模型，进而求出罐内油量与油位高度之间的关系式，并利用附表中的数据对模型进行检验，结果表明得到的公式精确度足够高，可以应用于实际。

模型原理简单明了，在计算复杂积分时借助Matlab软件，提高了计算效率。

缺点：

问题一中模型我们忽略温度的改变对储油体积的影响以及油位探针，注油口管，出油管的体积对储油罐中油体积的影响，从而使得模型的误差变大。

模型仍然需要修正和完善。

七模型的改进和推广

模型的改进：

本文我们忽略了温度对油体积的影响。

因此我们可以引入环境温度的变化，减少理论值与测量值之间的误差提高准确性。

模型的推广：

本文虽然研究的是储油罐的变位识别及其罐容表标定问题，但可以推广到各种罐状容器，用类似方法建模求解。

八参考文献

[1]华东师范大学数学系编.数学分析.北京：

高等教育出版社，2008年第三版。

[2]韩中庚.数学建模竞赛获奖论文精选与点评.北京：

科学出版社，2007。

[3]江世宏.MATLAB语言与数学实验.北京：

科学出版社，2007。

九附录

MATLAB

1%进油油位高度

hi=[159.02,176.14,192.59,208.5,223.93,238.97,253.66,268.04,282.16,296.03,309.69,323.15,...

336.44,349.57,362.56,375.42,388.16,400.79,413.32,425.76,438.12,450.4,462.62,474.78,...

486.89,498.95,510.97,522.95,534.9,546.82,558.72,570.61,582.48,594.35,606.22,618.09,...

629.96,641.85,653.75,665.67,677.63,678.54,690.53,690.82,702.85,714.91,727.03,739.19,...

751.42,763.7,764.16,776.53,788.99,801.54,814.19,826.95,839.83,852.84,866,879.32,...

892.82,892.84,906.53,920.45,934.61,949.05,963.8,978.91,994.43,1010.43,1026.99,1044.25,...

1062.37,1081.59,1102.33,1125.32,1152.36,1193.49];

%累加进油量

xi=[50,100,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,850,900,950,1000,1050,...

1100,1150,1200,1250,1300,1350,1400,1450,1500,1550,1600,1650,1700,1750,1800,1850,1900,...

1950,2000,2050,2053.83,2103.83,2105.06,2155.06,2205.06,2255.06,2305.06,2355.06,2404.98,...

2406.83,2456.83,2506.83,2556.83,2606.83,2656.83,2706.83,2756.83,2806.83,2856.83,2906.83,...

2906.91,2956.91,3006.91,3056.91,3106.91,3156.91,3206.91,3256.91,3306.91,3356.91,3406.91,...

3456.91,3506.91,3556.91,3606.91,3656.91,3706.91];

%累加出油量

xo=[52.72,102.72,152.72,202.72,252.72,302.72,352.72,402.72,452.72,502.72,552.72,602.72,652.72,...

702.72,752.72,802.72,852.72,902.72,952.72,1002.72,1052.72,1102.72,1152.72,1202.72,1252.72,...

1302.72,1352.72,1402.72,1452.72,1502.72,1552.72,1602.72,1652.72,1702.72,1752.72,1802.72,...

1852.72,1902.72,1952.72,2002.72,2052.72,2102.72,2152.72,2202.72,2252.72,2302.72,2352.72,...

2402.72,2452.72,2502.72,2552.72,2602.72,2652.72,2702.72,2752.72,2802.72,2852.72,2902.72,...

2952.72,3002.72,3052.72,3102.72,3152.72,3202.72,3252.72,3302.72,3352.72,3402.72,3452.72,...

3502.72,3552.72,3602.72,3652.72,3702.72];

%出油油位高度

ho=[1150.72,1123.99,1101.15,1080.51,1061.36,1043.29,1026.08,1009.54,993.57,978.08,962.99,948.26,...

933.84,919.69,905.78,892.1,878.61,865.3,852.15,839.14,826.27,813.52,800.87,788.33,775.88,...

763.51,751.21,738.98,726.81,714.7,702.64,690.61,678.63,666.68,654.75,642.84,630.96,619.08,...

607.21,595.35,583.48,571.61,559.72,547.82,535.9,523.95,511.97,499.96,487.9,475.8,463.65,...

451.43,439.15,426.8,414.36,401.84,389.22,376.49,363.64,350.67,337.55,324.27,310.82,297.18,...

283.33,269.24,254.88,240.21,225.21,209.81,193.94,177.54,160.48,142.62];

hi=hi/1000;

ho=ho/1000;

xi=xi+262;

xo=xi（end）-xo;

a=0.89;b=0.6;l=2.45;

s=[];

fori=1:

length（hi）

s=[s2*a/b*quad（'sqrt（0.6^2-y.^2）',-b,hi（i）-b）];

end

v=s*l*1000;

p1=polyfit（[hi*1000ho*1000],[xixo],5）;%拟合函数，5为阶数

p2=polyfit（hi*1000,v,5）;

x1=0:

1300;

y1=polyval（p1,x1）;%多项式的估值运算

y2=polyval（p2,x1）;

plot（hi*1000,v,'b.',x1,y2,'b',[hi*1000ho*1000],[xixo],'r*',x1,y1,'r'）;

legend（'理论数据','理论拟合曲线','实验数据','实验拟合曲线'）;

%求误差

v2=abs（v-xi）./xi;

ave=sum（v2）/length（v2）;

m=max（v2）;

n=min（v2）;

disp（['max=',num2str（m）,'min=',num2str（n）,'average=',num2str（ave）]）;

附录二：

求纵向倾斜时的储油罐内油量的体积和高度间隔为1cm的罐容表标定值：

symsy;

a=0.89;b=0.6;l=2.45;

%变位后累加进油量

xi=[747.86,797.86,847.86,897.86,947.86,997.86,1047.86,1097.79,1147.79,1197.73,1247.73,1297.73,1347.73,1397.73,1447.73,1497.73,1547.73,1597.73,1647.73,1697.73,1747.73,1797.73,1847.73,1897.73,1947.73,1997.73,2047.73,2097.73,2147.73,2197.73,2247.73,2297.73,2347.73,2397.73,2447.73,2497.73,2547.73,2597.73,2647.73,2697.73,2747.73,2797.73,2847.73,2897.73,2947.73,2997.73,3047.73,3097.73,3147.73,3197.73,3247.73,3297.73,3299.74];

%累加进油量的对应高度

hi=[411.29,423.45,438.33,450.54,463.9,477.74,489.37,502.56,514.69,526.84,538.88,551.96,564.4,576.56,588.74,599.56,611.62,623.44,635.58,646.28,658.59,670.22,680.63,693.03,704.67,716.45,727.66,739.39,750.9,761.55,773.43,785.39,796.04,808.27,820.8,832.8,844.47,856.29,867.6,880.06,892.92,904.34,917.34,929.9,941.42,954.6,968.09,980.14,992.41,1006.34,1019.07,1034.24,1035.36];

%累加出油量

xo=[50,100,150,200,250,300,350,400,450,500,550,600,650,700,750,800,850,900,950,1000,1050,1100,1150,1200,1250,1300,1350,1400,1450,1500,1550,1600,1650,1700,1750,1800,1850,1900,1950,2000,2050,2100,2150,2200,2250,2300,2350,2400,2450,2500,25