1994考研数三真题及解析.docx
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1994考研数三真题及解析
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.）
2x+x|
（1）[——x=
2+x2
为x的函数，则dy=
dx
其中a仔0,i=1,2,L,n,则A，
⑵已知f（X）二-1,则lim_J0f（怡—？
X）-f（X。
—X）
⑶设方程0-护=°Cosx确定定y|0032L0
（4）设A=MMMM
000Lani
⑸设随机变量X的概率密度另
丄2x,0：
：
x：
1,
f（x）二
10,其他，『、
以丫表示对X的三次独立重复观察中事件X乞-出现的次数,则
I2J
命n00LF
二、选择题（本题共5小题,每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）
12x2+x+1
（1）曲线y二exarctan的渐近线有（）
（x+1）（x-2）
（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条
00200n|an|
⑵设常数■0,而级数a2收敛,则级数（-1）n」2（）
（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性与'有关
⑶设A是mn矩阵,C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r,矩阵B二AC的秩为*，则
（
）
（A）rr1（B）r:
:
片
（C）r=r1（D）r与*的关系由C而定
（4）设0vp（A）*1,0£P（B）£1,P（AB）+P（AB）=1,贝U（）
（A）事件A和B互不相容（B）事件A和B相互对立
（C）事件A和B互不独立（D）事件A和B相互独立
⑸设X「X2丄，Xn是来自正态总体N（・2f2）的简单随机样本2X是样本均值，记sT^—Z（Xi-X）2,（Xi—X）2,
n-1i二nia
1nin
S2=——迟（Xi-曰2,s2=—送（Xi-巴2,
则服从自由度为n钊■的t分布的随机变量是Ov
（A）t=^（B）t=^
（C）t=X0（D）t=X/l
6S4
三、（本题满分n6分）'、n
计算二重积分Ii（x-y）dxdy,其中D-'（x,y）x2y2—xy亿
D
四、（本题满分5分）
「v"+4v"+4v=0-tc
设函数"满足条件y（o—y（O"4求广义积分oV（x）dx.
五、（本题满分5分）
已知f（x,y）=x2arctan#_y2arctan二求—
xyexey
六、（本题满分5分）
设函数f（x）可导,且f（0）=O,F（x）xtn」f（xn-tn）dt，求lim卩^）
0^^0x
已知曲线y二a、、x（a0）与曲线
七、（本题满分8分）
y=lnx在点（xo,yo）处有公共切线，求:
（1）常数a及切点（xo,yo）；
⑵两曲线与x轴围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积Vx.
八、（本题满分6分）
假设f（x）在［a,二）上连续,f（x）在a,内存在且大于零，记
F（x）=空上他—a）,
x-a
证明F（x）在a,V内单调增加•
九、（本题满分11分）
设线性方程组
Xi+a2X2+a；X3=a2,
Xia3X2a；X3二a3,
⑴证明:
右印,比,玄,印两两不相等4X则此线性方程组无解;
=a4=-k（k^O）且已知PiJ?
2是该方程组的两个解「-1〕「1〕
X=|1，^2=|1，
Ji
十、（本题满分8分）
001]
设a=x1y有三个线性无关的特征向量，求x和y应满足的条件.
100
十、（本题满分8分）
假设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且同分布
P〈Xj=0.；=0.6,P〈Xj=1.；=0.4（i=1,2,3,4）,
X1X2
求行列式X=的概率分布•
X3X4
十二、（本题满分8分）
假设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（»1）,内径小于10或大于12的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损.已知销售利润T（单位:
元）与销售零件的内径X有如下关系：
-1,X<10,
T=三20,10EX乞12,
1-5,X>12.
问平均内径■取何值时，销售一个零件的平均利润最大？
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.）
（1）【答案】In3
【解析】利用被积函数的奇偶性，当积分区间关于原点对称，被积函数为奇函数时,积分为
0；被积函数为偶函数时，可以化为二倍的半区间上的积分.所以知
：
42
2
=ln（2x2）
2
In6-1n2=In3.
0
【解析】根据导数的定义，有f（X。
）=啊f（X0X）f（X）
⑵【答案】1
x
所以由此题极限的形式可构造导数定义的形式，从而求得极限值.由于
f（x0-2x）-f（x0-x）
lim
X—0x
f（x°-2x）-f（x°）-f（x°-x）+f（X0）
=lim
f（X0-X）—f（X0）=_2f（X0）f（x°）=1.
X0X
f（x。
-2x）-f（x。
）
=（-2）limlim
-2x
X
T_2xT
x1
所以原式=lim1.
Tf（X°；2x）—f（X。
—X）1
⑶【答案】y—空异严
xe+2y
【解析】将方程exyy2cosx看成关于x的恒等式，即y看作x的函数.
【相关知识点】二项分布的概率计算公式：
若Y、B（n,p）,则P9=k；=Cnkpk（1-p严，k=0,1,川，n,
二、选择题（本题共5小题,每小题3分,满分15分.）
（1）【答案】（B）
【解析】本题是关于求渐近线的问题
12
采4XX1二由于limexarctan
F（x+1）（x_2）4
TT
故y为该曲线的一条水平渐近线•
又lime^arctan—XX—1
x）0（x1）（x-2）
故x=0为该曲线的一条垂直渐近线，所以该曲线的渐近线有两条
故本题应选（B）.
【相关知识点】水平渐近线：
若有limf（x）二a,则y=a为水平渐近线；
x
铅直渐近线：
若有xmaf（x）=°o,则x=a为铅直渐近线；
斜渐近线：
若有a=lim丄（勺，b=lim[f（x）-ax]存在且不为二，则y=ax•b为xx~?
t
斜渐
近线.
（2）
【答案】（C）
（3）【答案】（C）
【解析】由公式r（AB）'min（r（A）,r（B）），若A可逆，则
r（AB）汀（B）二r（EB）=r[A」（AB）]汀（AB）.
从而r（AB）=r（B）,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩所以选（C）.
⑷【答案】（D）
【解析】事实上，当0:
:
:
P（B）：
：
：
1时,P（A|B）二P（A|B）是事件A与B独立的充分
必要条件，证明如下：
若P（A|B）二P（A|B）,则
P（AB）=P（B）[P（AB）P（AB）]=P（B）P（A）,
由独立的定义，即得A与B相互独立.
若A与B相互独立,直接应用乘法公式可以证明P（A|B）二P（A|B）.
P（A|B）=1_P（A|B）=P（A|B）.
由于事件B的发生与否不影响事件A发生的概率，直观上可以判断A和B相
互独立.
所以本题选（D）.
（5）【答案】（B）
【解析】由于Xi,X2,lH,Xn均服从正态分布Nd，根据抽样分布知识与t分
布的应用模式可知
变量-爲服从自由度为n的t分布，记作“）•因此应选（B）.
【解析】方法i:
由x2y^xyi，配完全方得
ii
D=2（re）0兰日兰2冗,0"已号学
令xrcos^yrsinr,引入极坐标系（r/'）,则区域为
2兀rl
故！
）（xy）dxdy=odT°2（ircosrrsinT）rdr
为圆域
223
Di二（u,v）|uv<-.
而x■y二uv1，则有dxdy二dudv,代入即得
由于区域Di关于V轴对称，被积函数u是奇函数，从而..ududv二0.
四、（本题满分5分）
【解析】先解出y（x）,此方程为常系数二阶线性齐次方程，用特征方程法求解.
方程y'4y，4y=0的特征方程为2^0解得^--2.
故原方程的通解为y=（GC2X）e,
由初始条件y（0）=2,y（0）「-4得G=2,C2=0,
因此微分方程的特解为y=2e.
再求积分即得［y（x）dx=L2e'xdx
-2x
-2xe
b
-i.
0
【相关知识点】用特征方程法求解常系数二阶线性齐次方程ypyq^0:
首先写出方程、py，qy=0的特征方程：
r2•pr•q=0，在复数域内解出两个特征根nr；
分三种情况：
（1）两个不相等的实数根io,则通解为y-Ge^C2er2X;
⑵两个相等的实数根ri二d,则通解为y二G•C2XerXl;
⑶一对共轭复根辰二^土*,则通解为y=eW（Gcos0x+C2sinPx）.
其中Ci,C2为常数.
五、（本题满分5分）
-2
C
再对y求偏导数即得
2x12x2,x2-y2
1—_1_
--22222・
沖〔+x+yx+y
【相关知识点】多元复合函数求导法则：
如果函数u二（x,y）,^!
，（x,y）都在点
（x,y）具有对x及对y的偏导数，函数z=f（u,v）在对应点（u,v）具有连续偏导数，则
复合函数
:
z:
z:
u:
z:
v
X:
u:
X:
v:
X
:
z_:
z:
u:
z:
v_
:
y：
u:
y:
v:
y
六、（本题满分5分）
z=f（（x,y）「（x,y））在点（x,y）的两个偏导数存在，且有
uvf1f2
-X:
X
f1二f2卫
If厶f
:
y:
y
【解析】运用换元法，令xn-tn=u,则
\n4fzn+n1xnn4_n、
tf（x—t）dt=-Jf（u）du=F（x）=xf（x）.
由于四为
用洛必达法则，可得
n0
”型的极限未定式，又分子分母在点0处导数都存在，运
0
由导数的定义有原式诂「（°）.
【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式:
I，（t）一
若F（t）=（t）f（x）dx」（t）,：
（t）均一阶可导，则
讹）
f⑴二■-⑴f匸⑴⑴n：
（t）i.
七、（本题满分8分）
【解析】利用（Xo,y。
）在两条曲线上及两曲线在（xo,y。
）处切线斜率相等列出三个
b2
方程，由此，可求出a,Xo,yo，然后利用旋转体体积公式■:
af（x）dx求出乂.
（1）过曲线上已知点（Xo,y°）的切线方程为y-y°=k（x-Xo）,其中，当y（Xo）存在时,
k=y（xo）.
由y=a長知y，=—^.由y=ln丘知丫，=丄
-2x
2xo
由于两曲线在（Xo,y。
）处有公共切线，可见一=—^，得Xo=2.
小a-将X。
=［分别代入两曲线方程，有y°=aj4=ln=y°=1=In1于是a-Lx。
=4二e2,
ea
从而切点为（e2,1）.
（2）
，套用旋转体体积公式，
将曲线表成y是x的函数,V是两个旋转体的体积之差可得
旋转体体积为
【相关知识点】由连续曲线y=f（x）、直线x=a,x=b及x轴所围成的曲边梯形
一一b2
绕x轴旋转一周所得的旋转体体积为：
V"Jf（x）dx.
a
八、（本题满分6分）
【解析】方法1：
F（X*"—（x）叫亠f（x）（x_a）一f（x）•f（a）],
（x-a）（x-a）
令：
（x）=f（x）（x-a）-f（x）f（a）（xa）,
由：
（x）二f（x）（x「a）f（x）-f（x）二（x「a）f（x）0（xa）,
知：
（x）在a,上单调上升，于是「（x）（a）=0.
故F（x）二一笔0.
（x-a）
所以F（x）在a,V内单调增加.
方法2:
F（x）=f（x）（x-a）f（x）-f（a）Jf（x）_f（x）—f（a）.
Jx-a）x-a]x-a」
由拉格朗日中值定理知f（x）回=f「），（a「x）.
x—a
1
于是有F（x）=——[f（x）-f（）].
x—a
由「（x）V知f（x）在a「：
上单调增，从而f（x）f（'），故F（x）0.
于是F（x）在a,内单调增加.
/Vf*
【相关知识点】1.分式求导数公式：
u;=uv;uv
（V丿V
2.拉格朗日中值定理：
如果函数f（x）满足在闭区间[a,b]上连续；在开区间a,b内可导,那么在a,b内至少有一点5）,使等式f（b）-f（a）二f「）（b-a）
成立.
九、（本题满分11分）
【解析】
（1）因为增广矩阵A的行列式是范德蒙行列式482怎®两两不相等，则有
A=（a?
—aj（a3—aj（a4—aj（a3—a2）（a4—a2）（a4—a?
）式0,
故r（A）=4.而系数矩阵A的秩r（A）=3所以方程组无解.
⑵当a1=a3=k,a2=印--k（k=0）时,方程组同解于
x1kx2k2x3二k3,
23
x厂kx2kx3=_k.
=_2k=0,知r（A）=r（A）=2.
由n-r（A）=3-2=1,知导出组Ax=0的基础解系含有1个解向量，即解空间的维数为1.
设A是mn矩阵，线性方程组Ax二b有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等
于增广矩阵A^Ab的秩，即r（A）=r（A）.（或者说,b可由A的列向量〉1,〉2,川，：
「
线表出，亦等同于：
'i/'2^L：
n与>1,〉2,lll「n,b是等价向量组）
设A是mn矩阵，线性方程组AX二b，则
（1）有唯一解二r（A）=r（A）二n.
（2）有无穷多解二r（A）=r（A）（3）无解二r（A）1二r（A）.
=b不能由A的列向量〉1,〉2,IH,〉n线表出.
2.解的结构：
若：
1>:
2是对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系，知Ax=b的通解形式为k11k2^,其中1,2是Ax=0的基础解系，■是Ax二b的一个特解.
3.解的性质：
如果1,2是Ax=0的两个解，则其线性组合k11k22仍是Ax=0的解；如果是Ax=b的一个解，是Ax=0的一个解，则-仍是Ax=b的解.
十、（本题满分8分）
由题设有三个线性无关的特征向量，因此，’二1必有两个线性无关的特征向
从而r（E-A）=1.这样才能保证方程组（E-A）X=0解空间的维数是2,
即有两个线性无关的解向量
【解析】记Y=乂梯4,\2=X2X3,则x-丫2,随机变量Y1和场相互独立且同分布,由A与B独立可得出P（AB）二P（A）P（B），故
卩{丫=1}=卩仪必4=1}=p{x,=1,X4=1}=p{x,=1}p{x4=1}=0.16,卩{丫=0}=1—Pg=仆=0.84.
由行列式的计算公式，随机变量X=丫|-丫2,有三个可能取值：
-1,0,1.
p{x=—1}=卩{丫=0,丫2=1}=p{^=0}”pM=1}=0.84X0.16=0.1344,
p{x=1}=卩{丫=1,丫,=0}=PM=讣Pg=0}=0.1344,
P〈X=0心1-P〈X二-1-P〈X=1；=0.7312.
所求的行列式的概率分布列于下表
X
-101
p{x=x}
0.13440.73120.1344
十二、（本题满分8分）
【解析】依据数学期望的计算公式及一般正态分布的标准化方法，有
E（T）=「P「X：
10〔20P「10^X乞121—5P^X12/
--「（10-」）20[G（12-」）一门（10-」）]一5[1-门（12-■'）]
=25^（12-」）一21；（10-」）一5.
此时数学期望依赖于参数J，为使其达到最大值，令其一阶导数为0,有
125
解上面的方程得"=%=11-—In—<-10.9.
221
得到唯一驻点％"0.9,因为此问题是实际问题，所以平均利润函数必然有最
大值，而且这个最大值是唯一的.
由题意知，当"--'o10.9毫米时，平均利润最大.
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