圆的对称性习题有答案.docx
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圆的对称性习题有答案
2圆的对称性
一、选择题（共io小题）
1.（2012?
江宁区二模）形如半圆型的量角器直径为4cm，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与
坐标原点0重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120■刻度线的一个端点P、Q,线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为（）
RA
f,
-J■/宀*
A
-2
O2X
A.（-1，.1）B.（0，.'；）C.（:
■；，0）D.（1，「；）
2•已知OO中，弦AB长为；.■；，OD丄AB于点D，交劣弧AB于点C，CD=1，则OO的半径是（）
A.1
B.2
C.
3
D.
4
3.下列说法：
①若/1与/2是同位角,
贝U/1=/2
②等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合
③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
④等腰梯形是轴对称图形，
但不是中心对称图形
⑤平分弦的直径垂直于弦，
并且平分弦所对的两条弧，
其中正确的个数是（
）
A.0
B.1
C.
2
D.
3
4.（2013?
邵东县模拟）
OO的半径为R，若/AOB=
a，则弦AB的长为（
）
A.al
B.2Rsina
C.
a
D.
Rsina
SRsin—
5•已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4，如果以点A为圆心作OA，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少
有
个点，那么
OA的半径r的取值范围是（
）
A.
3vrv5
B.3vr0
C.4vr屿
D.无法确定
6.已知圆的半径为5cm，圆心到弦的距离为
4cm，那么这条弦长是（
）
A.3cm
B.6cm
C.8cm
D.10cm
D.不能确定
9.（2010?
昌平区一模）如图，在半径为1的OO中，直径AB把OO分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点（C与点A、B不重合），过点C作弦CD丄AB，垂足为E,/OCD的平分线交OO于点P,设CE=x,
二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）
11•牛牛和壮壮在沙滩上玩游戏，需要画一个圆，而他们手中没有任何工具，请你帮他们想一个办法，怎样可以得到一个圆？
12.一条弦AB分圆的直径为3cm和7cm两部分，弦和直径相交成60°角，则AB=cm.
13.若OO的半径为13cm，圆心O到弦AB的距离为5cm,则弦AB的长为cm.
14•已知点P是半径为5的OO内一定点，且PO=4，则过点P的所有弦中，弦长可取到的整数值共有的条数是
15•若OA的半径为5,圆心A的坐标为（3,4），点P的坐标是（5,8）,则点P在OA__
16.在下图所列的图形中选岀轴对称图形：
.
®②③
机器上的主动轮和传动轮托起钢营賞f形架运动场
奥运会标老逵设锚亍标志福寿仙口月氐躺标
18.以已知点0为圆心，可以画个圆.
19.如图，AB为O0的直径，ADII0C,/AOD=84°贝U/BOC=
22•如图，AB是OO的直径，CD是弦，CE丄CD交AB于E，DF丄CD交AB于F,求证：
AE=BF.
-r*-
23
.如图，OO中，AB是直径，半径CO丄AB,D是CO的中点，DEIIAB，求证：
「'=2L..
25•如图，△ABC的三个顶点在O0上,AD丄BC，D为垂足，E是I''的中点,
求证：
/OAE=/EAD.（写岀两种以上的证明方法）
26.如图，O0的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，/DEB=60°
（1）求CD的长；
（2）若直线CD绕点E顺时针旋转15°交O0于C、D，直接写岀弦CD的长.
27•已知：
如图，在O0中，/A=/C,求证：
AB=CD（利用三角函数证明）
28.如图，CD是OO的直径，弦AB丄CD于点H,若/D=30°CH=1cm，求弦AB的长.
29.已知：
等腰△ABC内接于半径为6cm的OO,AB=AC，点0到BC的距离0D的长等于2cm.求AB的长.
/A=/B=60°求BC的长.
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1.（2012?
江宁区二模）形如半圆型的量角器直径为4cm，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的
中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120。
刻度线的一个端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为（）
A.（-1，.'：
■）B.（0，.；）C.（；，0）D.（1，'：
；）
考点：
圆心角、弧、弦的关系；坐标与图形性质；解直角三角形.
分析：
连接OQ、OP，求出/POQ的度数，得出等边三角形POQ，得出PQ=OQ=OP=2，/OPQ=/OQP=60°
求出/AOQ度数，根据三角形的内角和定理求出/QAO，求出AQ、OA，即可得出答案.
解答:
解：
连接OQ、PO,
则/POQ=120°60°60,
•/PO=OQ,
•••△POQ是等边三角形，
/•PQ=OP=OQ=丄＞4cm=2cm,/OPQ=/OQP=60°,
2
•//AOQ=90°-60°30°
•/QAO=180°-60°-30°90°
•-AQ=°OQ=2cm,
2
•••在Rt△AOQ中，由勾股定理得：
OA=竝不,
•A的坐标是（0，打：
|）,
故选B.
点评：
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，三角形的内角和定理，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，解此题的关键是构造三角形后求出OA的长，主要考查学生分析问题和解决问题的能
力.
2.已知OO中，弦AB长为:
血气，OD丄AB于点D,交劣弧AB于点C,CD=1，则OO的半径是（）
A.1B.2C.3D.4
考点：
垂径定理；勾股定理.
分析：
连接OA，根据垂径定理求出AD，设OO的半径是R,则OA=R,OD=R-1,在Rt△OAD中，由勾股定理得出方程R2=（R-1）2+血）2,求出R即可.
•/OC是半径，OC丄AB,
设OO的半径是R,贝yOA=R,OD=R-1,
在Rt△OAD中，由勾股定理得：
OA2=OD2+AD2,即R2=（R-1）2+（NP）2,
R=2,
故选B.
点评：
本题考查了垂径定理和勾股定理，关键是构造直角三角形，用了方程思想.
3.下列说法：
1若/1与/2是同位角，贝U/仁/2
2等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合
3对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
4等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形
5平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，
其中正确的个数是（）
A.0B.1C.2D.3
考点：
垂径定理；同位角、内错角、同旁内角；等腰三角形的性质；正方形的判定；等腰梯形的性质.
分析：
根据只有在平行线中，同位角才相等，等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，对角线互相平分、垂直、相等的四边形才是正方形，等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，即可判断①②③④；画出反例图形即可判断⑤.
解答：
解：
T只有在平行线中，同位角才相等，•••①错误；
•••等腰三角形的顶角的平分线，底边上的高，底边上的中线互相重合，•••②错误；
•••对角线互相平分、垂直、相等的四边形才是正方形，•••③错误；
•/等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，•④正确；
AB是OO直径，CD是OO弦，
AB平分CD,
但AB和CD不垂直，•⑤错误；
故选B.
点评：
本题考查了等腰三角形性质，平行线的性质，同位角，等腰梯形性质，正方形的判定等知识点的应用，主要考查学生的辨析能力.
解：
过0作OC丄AB于C,则由垂径定理得：
AB=2AC=2BC,
•/OA=OB,
•••/AOC=/BOC=」/AOB=—
22
在^AOC中，sin/AOC=»,
OA
•AC=Rsin—
2
•AB=2AC=2Rsin
-，
AC的长和得出
点评：
本题考查了垂径定理，等腰三角形性质，解直角三角形等知识点，关键是求出
AB=2AC.
5.已知矩形ABCD的边AB=3,AD=4，如果以点A为圆心作OA，使B,C,D三点中在圆内和在圆外
都至少有一个点，那么OA的半径r的取值范围是（）
A.3vrv5B.3vr詔C.4vr<5D.无法确定
考点：
点与圆的位置关系.
分析：
四边形ABCD是矩形，则△ABC是直角三角形.根据勾股定理得到：
AC=5,B,C,D三点中在
圆内和在圆外都至少有一个点，由题意可知一定是B在圆内，则半径r>3,—定是点C在圆外，
则半径rv5,所以3vrv5.
解答：
解：
•/AB=3,AD=4,
•AC=5,
•••点C一定在圆外，点B一定在圆内，
•OA的半径r的取值范围是：
3vrv5.
故选A.
点评：
本题主要考查了勾股定理，以及点和圆的位置关系，可以通过点到圆心的距离与圆的半径比较大小，
判定点和圆的位置关系.
6.已知圆的半径为5cm，圆心到弦的距离为4cm,那么这条弦长是（）
A.3cmB.6cmC.8cmD.10cm
考点：
垂径定理；勾股定理.
专题：
计算题.
分析：
连接OA，根据垂径定理求出AC=BC，根据勾股定理求出AC即可.
解答：
解：
连接OA,
•••OC丄AB,OC过圆心O,
•AC=BC,
由勾股定理得：
AC=」-:
上！
-.-=3（cm）,
•AB=2AC=6（cm）.
故选B.
的关键.
7.半径为5的OO,圆心在原点0,点P（-3,4）与OO的位置关系是（）
D.不能确定
考点：
点与圆的位置关系；勾股定理.
专题：
计算题.
分析：
连接0P,根据勾股定理求出0P,把0P和圆的半径比较即可.
解答：
解：
连接0P.
•••P（-3,4）,
由勾股定理得：
。
卩二由萄"•••圆的半径5,
•••p在圆0上.
故选B.
~1
5\牟
X
■
11111
_5-32-1,
-1
12345
-2
■
-3
■
-4
L
0P长和能根据直
点评：
本题主要考查对勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的理解和掌握，能求出线与圆的位置关系性质进行判断是解此题的关键.
&一个点到圆周的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（）
A.2.5cm或6.5cmB.2.5cmC.6.5cmD.5cm或13cm
考点：
点与圆的位置关系.
分析：
点P应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论.当点P在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离
的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解.
解答：
解：
当点P在圆内时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是13cm,因而半径是
6.5cm;
当点P在圆外时，最近点的距离为4cm,最远点的距离为9cm，则直径是5cm,因而半径是2.5cm.故选A.
点评：
本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键.
9.（2010?
昌平区一模）如图，在半径为1的OO中，直径AB把OO分成上、下两个半圆，点C是上半
圆上一个动点（C与点A、B不重合），过点C作弦CD丄AB，垂足为E,/OCD的平分线交OO于点P,
设CE=x,AP=y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是（）
考点：
动点问题的函数图象；垂径定理.
专题：
压轴题；动点型.
分析：
连接OP,根据条件可判断出PO丄AB,即AP是定值，与x的大小无关，所以是平行于x轴的线段•要注意CE的长度是小于1而大于0的.
解答：
解：
连接OP,
•/OC=OP,
•••/OCP=ZOPC.
•//OCP=ZDCP,CD丄AB,
•/OPC=ZDCP.
•OP//CD.
•PO丄AB.
OA=OP=1,
•AP=y=打二（0vxv1）.故选A.
点评：
解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系,
尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用.
10.（2013?
合肥模拟）如图，〔'是半径为1的圆弧，△AOC为等边三角形，D是"上的一动点，则四边
3
考点：
等边三角形的性质；垂径定理.
专题：
压轴题；动点型.
分析：
根据题意，得四边形AODC的最小面积即是三角形AOC的面积，最大面积即是当OD丄OC时四边形的面积.
要求三角形AOC的面积，作CD丄AO于D.根据等边三角形的性质以及直角三角形的性质，求得
CD-得其面积是;要求最大面积，只需再进一步求得三角形DOC的面积，即是二，则最大
面积是‘；.
4
解答：
解：
根据题意，得四边形AODC的面积最小即是三角形AOC的面积，最大面积即是当OD丄OC时四边形的面积.
作CH丄AO于H,
•••△AOC为等边三角形
•••CH=-'
2
•-aoc=—';
4
1=
2+V3
2=
4
当OD丄OC时面积最大，
•Saocd=一，则最大面积是：
:
•••四边形AODC的面积s的取值范围是
然后根据等边三角形的性质以及
点评：
此题首先要能够正确分析出要求的四边形的最小面积和最大面积,
三角形的面积公式进行计算.
二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）
11•牛牛和壮壮在沙滩上玩游戏，需要画一个圆，而他们手中没有任何工具，请你帮他们想一个办法，怎样可以得到一个圆？
考点：
圆的认识.
分析：
根据圆的定义：
到定点的距离等于定长的点的集合可以得到答案.
解答：
解：
可让牛牛站在原地旋转，壮壮拉直牛牛的手臂，绕牛牛走一圈，用脚在沙滩上画出一条曲线,就是一个圆.
点评：
本题考查了圆的认识，了解圆的定义是解决本题的关键.
12.一条弦AB分圆的直径为3cm和7cm两部分，弦和直径相交成60°角，贝UAB=_工—cm.
考点：
垂径定理.
分析：
根据题意画出图形，作弦的弦心距，根据题意可知，半径0A=5cm,ND=3cm,0N=2cm，利用勾
股定理易求得NM=1cm，0M=.：
；cm，进一步可求出AM，进而求出AB.
解答：
解：
根据题意画出图形，如图示，
作0M丄AB于M，连接0A,
•••AM=BM,
CD=10cm,ND=3cm,
•0N=2cm,
•//0NM=60°0M丄AB,
•MN=1cm,
•0M=二
在Rt△0MA中，am=厂v汽「•【w'"_-'-，
•AB=2AM=2.
点评：
本题主要考查了垂径定理，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，设法确定其中两边，进而利用勾股定理确定第三边.
13.若O0的半径为13cm，圆心0到弦AB的距离为5cm，则弦AB的长为24cm.
考点：
垂径定理；勾股定理.
专题：
计算题.
分析：
在厶0BD中，利用勾股定理即可求得BD的长，然后根据垂径定理可得：
AB=2BD，即可求解.
解答：
解：
连接0B,
•••在Rt△0DB中，0D=4cm,0B=5cm.
由勾股定理得：
BD2=OB2-0D2=132-52=144,
•BD=12,又0D丄AB,
•AB=2BD=2X12=24cm.
点评：
本题主要考查垂径定理，圆中有关半径、弦长以及弦心距的计算一般是利用垂径定理转化成解直角三角形.
14.已知点P是半径为5的O0内一定点，且P0=4，则过点P的所有弦中，弦长可取到的整数值共有的条数是8条.
考点：
垂径定理；勾股定理.专题：
推理填空题.
分析：
求出最长弦（直径）和最短弦（垂直于0P的弦），再求出之间的数，得出符合条件的弦，相加即
可求出答案.
解答：
解：
过P点最长的弦是直径，等于10，最短的弦是垂直于P0的弦，根据勾股定理和垂径定理求出是6，10和6之间有7,8，9，每个都有两条弦，关于0P对称，共6条，
1+1+6=8，
故答案为：
8条.
点评：
本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，此题是一道比较容易出错的题目，考虑一定要全面，争取做到不重不漏.
15.若OA的半径为5，圆心A的坐标为（3，4），点P的坐标是（5，8），则点P在OA内部考点：
点与圆的位置关系；坐标与图形性质.
分析：
首先根据两点的坐标求得两点之间的距离，然后利用两点之间的距离和圆A的半径求得点与圆的
/亠护¥方位置关糸.
解答：
解：
•/A的坐标为（3,4），点P的坐标是（5，8），
二AP=M（5_3）莓（呂_g）2=2*怎
•/OA的半径为5，
•••5>2."
•••点P在OA的内部
故答案为：
内部.
点评：
本题考查了点与圆的位置关系，解题得到关键是根据两点的坐标求得两点之间的距离.
16•在下图所列的图形中选出轴对称图形：
②③④⑥
机器上的主动轮和传动轮托起钢管旳£形架运动场
奥远会标老逢设飆亍标志福寿仙□月话殖标
考点：
圆的认识；轴对称图形.
分析：
根据轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形进行判断.
解答：
解：
①⑤都不是轴对称图形，②③④⑥是轴对称图形，
故答案为：
②③④⑥•
点评：
本题主要考查轴对称的知识点，轴对称图形的判断方法：
如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形.
17•作圆，使这些圆都经过线段AB的两个端点A和B,这些圆的圆心所组成的图形是线段AB的垂直
平分线•
考点：
圆的认识；线段垂直平分线的性质.
分析：
禾U用圆的性质可以得到圆上的所有点到圆心的距离相等，从而得到所有圆心到A、B两点的距离相
等，从而得到结论.
解答：
解：
：
•圆上的所有点到圆心的距离相等，
•••无论圆心0在哪里，总有OA=OB,
即:
所有圆心到A、B两点的距离相等，
•••至UA、B两点的距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，故答案为：
线段AB的垂直平分线.
点评：
本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.
18•以已知点0为圆心，可以画无数个圆.
考点：
圆的认识.
分析：
圆心固定，半径不确定，可以画出无数个圆，由此选择答案解决问题.
解答：
解：
以一点为圆心，以任意长为半径可以画无数个同心圆，故答案为：
无数.
点评：
此题考查：
圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小这一知识.
AD//0C,/AOD=84°贝U/BOC=48°
考点：
圆的认识；平行线的性质.
分析：
根据半径相等和等腰三角形的性质得到/D=/A，利用三角形内角和定理可计算出/A，然后根据
平行线的性质即可得到/BOC的度数.
解答：
解：
•/OD=OC,
•/D=/A,
•//AOD=84°
•/A=g（180°-84°=48°
a_«
又•••AD//OC,
•/BOC=/A=48°
故答案为：
48°
点评：
本题考查了有关圆的知识：
圆的半径都相等•也考查了等腰三角形的性质和平行线的性质.
考点：
圆的认识；三角形内角和定理；三角形的外角性质.
分析：
解答此题要作辅助线0B,根据OA=OB=BD=半径，构造出两个等腰三角形，结合三角形外角和内角的关系解决.
解答：
解：
连接OB,
•/BD=OA,OA=OB
所以△AOB和厶BOD为等腰三角形，
设/D=x度，则/OBA=2x°
因为OB=OA,
所以/A=2x°
在厶AOB中，2x+2x+（105-x）=180,
解得x=25,
即/D=25°
点评：
此题主要考查了等腰三角形的基本性质，以及三角形内角和定理，难易程度适中.
三、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷）
OA=OB.
考点：
垂径定理；线段垂直平分线的性质.
专题：
证明题.
分析：
过O作OE丄AB于E,根据垂径定理求出CE-DE,求出AE-BE,根据线段的垂直平分线定理求出即可.
解答：
证明：
过O作OE丄AB于E,
•/OE过圆心O,
•••CE=DE,
•/AC=BD,
•••AE=BE,
•/OE丄AB,
点评：
本题考查了线段的垂直平分线定理和垂径定理的应用，主要培养学生运用定理进行推理的能力，题
目比较典型，难度适中.
22.如图，AB是OO的直径，CD是弦，CE丄CD交AB于E,DF丄CD交AB于F,求证：
AE=BF.
£
考点：
垂径定理.
专题：
证明题.
分析：
过O作OG丄CD，由垂径定理可知OG垂直平分CD，再由平行线分线段成比例定理即可求解.
解答：
证明：
过O作OG丄CD，由垂径定理可知OG垂直平分CD，贝UCG=DG,
•/CE丄CD,DF丄CD,OG丄CD,
•CE//OG//DF,
•/CG=DG,
•OE=OF,
•/OA=OB,
•AE=BF.
5
点评：
本题综合考查了垂径定理和平行线分线段成比例定理，解答此题的关键是作出辅助线，构造出平行
线，再利用平行线的性质解答.
23.如图，OO中，AB是直径，半径CO丄AB,D是CO的中点，DE//AB，求证：
匸一=2—.
考点：
圆心角、弧、弦的关系；平行线的判定与性质；三角形内角和定理；含30度角的直角三角形.
专题：
证明题.
分析：
连接0E,推出DE丄0C,求出/EDO=90°根据OD=OC」OE，求出/DEO=30°求出/EOC,
22
根据OC丄AB，求出
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