函数的极限典型例题.docx
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函数的极限典型例题
第二讲函数的极限
一内容提要
1•函数在一点处的定义
注2的存在性（以xxo为例）：
在数列的“N”定义中，我们曾经提到过，N的
存在性重在“存在”，而对于如何去找以及是否能找到最小的
Heine）定理•它是沟通数列极限与函数极限之间的桥梁.
因此，利用定理必要性的逆否命题，
又可以借用数列极限的现成结果来论证函）
2函数在无穷处的极限
设f（X）在［a,
）上有定义，
则
limf（x）A
X
0,
X
a,使得x:
x
X，有
『（x）
limf（x）A
X
0,
X
a,使得x:
x
X，有
『（x）
limf（x）A
0,
X
a,使得x:
x
X，有
f（x）
注1limf（x）
X
A
lim
X
f（x）
limf（x）A.
X
，有nimf（Xn）A•
注2Ximf（X）A{Xn}{Xn}|Xn
3函数的有界
设f（x）在［a,
）上有定义，若存在一常数M
0，使得
X
［a,
），有
f（x）
M
则称f（x）在［a,
）上有界.
4无穷大量
limf（x）
XX0
G0,
0,
使得x
0
xX0
，有
f（x）
G.
limf（x）
X
G0,
X0,
使得X
x
X,
有
f（x）
G.
类似地，可定义
limf（x）
lim
f（x）
lim
f（x）
limf（x）
等
XX0
XX0
Xx0
Xx0
注若limf（x）
XX0
且
0和C
0,使得
X:
0
X
X0
，有f（x）
C
则limf（x）g（x）
XX0
特别的，若limf（x）,limg（x）A0,则limf（x）g（x）•
XX0XXoXX）
5无穷小量
若limf（x）0,则称f（x）当xx0时为无穷量.
XXo
注1可将Xx0改为其它逼近过程.
注2limf（x）Af（x）A（x），其中lim（x）0.由于有这种可以互逆的表
XX）XX）
达关系，所以极限方法与无穷小分析方法在许多场合中可以相互取代.
注3limf（x）0,g（x）在x°的某空心邻域内有界，则limf（x）g（x）0.
XX0XX）
注4limf（x）0，且当x足够大时，g（x）有界，则limf（x）g（x）0.
XXx°
注5在某一极限过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零的无穷小量的倒数是无穷大量.
6函数极限的性质
以下以Xx0为例，其他极限过程类似.
（1）limf（x）A，则极限A唯一.
XX）
（2）limf（x）A,贝V,M0,使得x:
0xx0，有f（x）M.
XX
（3）limf（x）A,limg（x）B，且AB，则0，使得x:
0xx0
XXxX0
f（X）g（x）
注这条性质称为函数的“局部保号性”.在理论分析论证及判定函数的性态中应用极普遍.
（4）
limf（x）
XX0
A,
limg（x）
XX0
B，且
0当0
X
X
时，
f（x）
g（x）则
A
B.
（5）
limf（x）
XX
A,
limg（x）
XX0
B，则
lim
f（x）g（x）
A
B
limf（x）
g（x）AB
lim
f（x）
△（
B0）
xx0
xx0
Xx0
g（x）
B
要求：
①进行运算的项数为有限项；②极限为有限数.
7夹逼定理
若0,使得x:
0xx0，有f（x）g（x）h（x），且
limf（x）limh（x）A，则limg（x）A.
xx0XxXX。
8Cauchy收敛准则
函数f（x）在X。
的空心邻域内极限存在0,0,使得x,x，当
0XX。
0xx0时，有f（x）f（x）.
9无穷小量的比较
设lim
Xx0
（x）
0,
lim
Xx0
（X）
0,且lim—k，则
Xx0（X）
（1）当
k
0时，
称
（X）为
（x）的高阶无穷小量，记作（x）o（x）；
（2）当
k
时,
称
（X）为
（x）的低阶无穷小量；
（3）当
k
0且k
时，称
（X）为（X）的同阶无穷小量.
特别的，
当
k1时，称
（X）和（X）为等价的无穷小量，记作（X）〜（X）
注1上述定义中，自变量的变化过程Xx0也可用X
XX0,XX0之一代替.
sinx〜x,tanx〜x,1
2
XX
cosx〜,e
1〜x,ln（1
x）〜x,（1x）m
1〜mx
注2当X0时，常见的等价无穷小有:
注3在用等价无穷小替换计算极限时，一般都要强调限定对“乘积因式”的等价替换•因为：
若（X）〜（X）（P），则
（x）o（x）〜（x）.
10两个重要极限
二、典型例题
x（x
1）
1;
2x
1
;
2
x
1
/2-x
1
x
2
证明：
（1）令。
首|.r-I
（2）lim
x
例用定义证明下列极限:
<1側Of戈WeaS欲便不等试
—Ia二1丄上丄
+1I2
收直•只aix-l|<2^即町.干址，Y畠>0*取？
i=xr】iiiI.2止
I耳（XFI）1
I，
vx+1-
hm*
Vjf+1.十x
2（//和7）|2
”I.I1.
yr■"JT-J—■J弋
2（-2xY材
般只硕兀<-./o"（W为玄i一津人
X対石
于是.>o,取才巳■使得*:
八Y用
lim-=_—=亠宀”
…V+1-j2'-
，做了适半的放大•使得
vSjp
惮注I本例中.我们均^t\fM
|/[a）-4|^炉（x）||x
为了能找到定丈中的乩坐求估算1护｛*）L这就需翌在点为二％的臬邻域找出懐的正的匕•下确界.使得©"）坪注2函数枇限概念及共敷学诰有｛述是十分重要的J6聿的数学技誥■在杵爭间翘的证明中会涉及到这种衣述.
例limf（X）A，证明:
1
2~
XX。
（1）若A0，则有lim
XX。
f2（x）A
（2）lim3f（x）Va•
Xx0、
MVff>0,日屍■便得Vx-o<
&c帚有S门一1<币E
证朝：
⑴由于Jim/（r）"■故对^=yXL孑和便得#环叶lxrf（x）-4|<£~*即斗
®6=min靳⑥.便<|x-*dI<5>
|丄-f（町-护丨_|/>）十划次X）-a|
yif（x）l|（1
页厂=^rIAJ）-A；丈拧
即有
lim-=r.
fW4
f2）若冲=0,lil为Km/（x）二0.所以¥占>0*3<5>0JiV<：
0l/（jr}I"'*即|*）|百比亦即lim=0
m
若仃山因为血叭工2扒由扱限的保号性*35.皿・使得
Vx：
007（x）>0.
BVr>0*3^A匕使得Vi：
o<|工-崭w有1/（灯-A\<九％’又l/I*）—I=I^f（x）-ifA|丨"（£）++y6P
取6二加泊乩，&2.使环0<|.r-
AFq1<乩£'
>rx>"11*ri/T-
J代x）—
/（x）-A
\vVJ（*>++\Zy（x）
1/（4）-A'弋八g<^7=?
~€'
ZF/V
卯limvV（x）薛；冗
LJ0
评注在已知lim/（t）=1的条件下'用极限皇丈证明本醐各題时，均用初等变瞻将
»*»u
7咕计的绝对價式子转化为含"7|的试}\运用极隈的性战适当放大用小.得到爲终结果+
例设f（x）是[a,b]上的严格严格单调函数，又若对Xn（a,b]（n1,2,）,有
limf（xn）f（a），试证明：
limxna.
nn
证明；假设亦玄严S则m%,WN左皿有f—应|孑弘
n~■■
®V=1,3n（>1.-flIMg
/V=n（,3（tj"、、有|^-a|>e0,
4；ft5ifili*rii3ii■畳r*
V=n（）J3>n4J,有b科-n|话环
于是如此无限进行下去得到&」的上个子列I%仁且I%-”I鼻％
由丁“Kj+环11严格递壇函数用I"（叽JM/U+&J
X）=lim/（xj=f（a}t于足对I：
成取*-法的极限后■得
电H'ij,鼻
f（a}5卡丹）>/（a）*
面这是不班能的.Stlim**=«■
陣注本例运用反证祛.即jur®列极隈的占定槪念.徃许寥论证题目中.st限的否
运馬式的正而陈述卡常帀i燮・
例函数f（X）在点Xo的某邻域I内有定义，且对XnI（XnX。
，X.X。
）,且
0xn1x0Xnx0（nN），有limf（Xn）A，证明：
limf（X）A.
nxxo
证明:
惓设hni/（x}.4tftlj3V513^r：
0■^—*¥jQ
取=1,3j）：
0<|x（-x^I<^|R1■有1/（*]）-A豪g
JtS2■min|ytl^i-x0k3x）：
0收$.=min{\b._t-岭丨}*耳札：
0fxn-x&<反咗*”,一斗…有/（瓠）-Nm&j.
于是如此尢限进行乍去■得到啟列斗}，它满足OC札-知<看「知丨•且Ihms
ji-^■
例设函数f（x）在（0,
）上满足议程f（2x）f（x），且lim
n
f（x）A，则
=升*但l/K%〉-d丨M阳这与已知柑矛疙敞=4.
L州
评谨£若不考虑“o评佐2fflk17与例1.1*两题方法类似*请读者注童证明中选屮列的方法.
x
f（x）f
（2）0（x）
f（x）o（x）（x
同样地e（O.Sj.右
f（x）A（x（0,））.
证明方法一）1R设m龟e（Of+*）,{j/'（和）越，不肪设fg）>t由于匕閱‘故对6-A>0T3Y>（>,Vx>AT
Hr*•
1/（jc）-^1€£（r
即汽-町1,有
fE）=A2xft）=/（2\0）二…M2%）“观）.
这足朴J能的“于绘/（幻"（“（4+处〕〉.
（方法二）Vxtt£（0,+X>flilCtll得
I/（^）=A2^o）审/{2\用）u…=f（2*2.
千是1/（2X）|是常值数列.且lim2X=+®.
ai—*■
ihhm/（x）=4及归结原则，得lim/12%）所以人利）=lim/（2X„）M
■”♦•■#""*■需'
由i0e（0t+»）的任意性、得f（对=-4（«e（0,«））*
评注IML19対例丨⑶用列了海涅归结脈则*揭示了数列极限与鯛数槻限之何的内在关系”
评注2ML19的汕明力弦耳例L14类個，朵用累加的方怯得到招应的结论.
评注3注语订的运用T隹例L20中，U%1/（jt）mA,则对p0=/（）-片
<—*t-■
>0,3X>0,V1>At冇/OJ"5=x^）电而由于…宝W—+«■即对上述X.卩，当心N时，有2唏％>",因而冇/（2*z0）
例求下列函数极限
/八xb
（1）lim（a0,b0）;
n0ax
-（a0,b0）；
ex
sinx
x
1ex
解：
⑴（方法一）乘以旦"■得
XLxJxo
tiaciIxd
由夹jfi定理.得li血王［虫］
鼻y<1LxJa
阮二）i■上卜于eo）庶中尙表趙的小散部分Vjf/'O,|
V^€（Oha）,有0弋王知［昱］韭0,于是limI—1-—=0.
aLaJ出*laJju
故
评注1
点坯的单懈榊限宦丈■只需讨论呑谏点的空心
卩）由于所求极礙中右bl及+■故必须殖偲住営二0处的仝、右圾PH：
的性质即可*左第二小题中准鼻工o点的妃够小单割空心邻域内4f］为定值，从而得S（所求极阪.
评注2在第一小题中.若t/^L^LWiKi1imT［y］=1，这是因为和产。
丄」弋
4洛坝乘以占5时
龙理即得.
评注3第•小®Jinn-74'存“讣月为Tyr。
+x?
'气X4）-时严・—*0.本耳Y
世用到极限的网则运算性质,无穷大凍tt质•无方嵐附与无穷小对艾系等概念.
例求下列极限
（1）
（2）
.1
tanx、1tanx
1
x
e1
■-cosx；
x（1
cosx）
In（sin
i2xex）x
怦0In（x2e2x）2x
?
ftsinx\
41+ed
+ln（I_2x
=lim
1-0
n（,+?
）
1+y'I'US.t}
-Mi
irir
sint
「剤nxim-i—=L
TX
评注木例的齐小題肉为纯过初等変换后运用鄆价无啻小代换闻解决的.專价尤第小阱换在求械限时十分有用.必须强调，甘先的都必須是无穷水・其次只能东乘除运騷中运用"例求下列极限:
tanxxee
（1）lim
n0sinxxcosx
/c、，-1cosx%'cos2x3'cos3x
（2）lim
n0
e*»（iH
UpLlim
■v
Inn
工Hy!
，CO^3.V
,coax/ru&Zx+lim——
/C（>s2x）"T
=£十lira+Jim・
2x*2z1
例求下列极限:
x
/八x
（1）lim-n1xln
幕⑴險xlnx
评注遇到fd）川这类极限，总町以用hi警式/（幻川二』w进行转化，再川黑折无穷小祷换、极限的四则运算邹算得跻果.
例求下列极限:
1
2~
（1）lim（cosx）ln（1x）；
n0
（2）lim（sin1cos};nXX
（3）设ai
0（i1,2,
，n），求n叫
x
ai
x
a2
n
x-
anX
<”_i
解：
（1）】im（i'dsi）h[L”疋i=Hm（I+cnu—I）i*■巧鼻F）/fCi
T1：
）-
On+
—hiliIbin
匸.iV
Illi
2
+sin-
It・fcr
■i-**■
=）im[I
・T«l
=lim
J-**©
3*1]
▲——
«■
评注本例所求tefKWf1■瞪的来定式，所求极限形式为
lim（l★14刃）回，其中limu（z）=0Jirrru（x）=*F
凡如此形式I’刑的機限虛底必fie.nw可确定为:
即括号内1后的变最（包括符号）与轄乘枳的极限，就限的暮
（1）已知lim（3.1x3
n
ax
b）0,求常数a,b；
ln（1
（2）已知lim-
n0
f（x））
sin2x
3X
求lim芈
n0x2
<-ot
lim（“-J■djr-6）=l.im（R\-J_心）即1纫（1-a）=0.
而缈>?
T1_a）=-1-ajl|极限唯一性得:
―-1
InfI+lim
Ail
3・」"‘蝕誥二忸呼・金5*
（2）由于
故li霑必学=10ln3.
谭注1本例足解决极限中的反问题•即已知结果求臥数极限中的参数•求解这类|b题，就如同计算函数极限,最垢利用极限唯一性得到参数值.
评注2若巴知马斗=M（冇限数）且limg（x）=0•则必冇=0.
gl%丿
评注3第一小題属于lim（/（x）-ax=0条件下的求参数a.b的问题•称
■V
y=g*b为曲线y=f（x）•当L>8（或+8,或-8）的斜渐近线，其中
Ia=lim人°,6=lim[/（x）-ar）.
除対浙近线外,y=/（x）还右•水平渐近线厂c,若Jim/（X）=c；以及铅g渐近线“和•若\imf（x）=00.
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