探究点二 分段函数的定积分
例2 已知函数f（x）＝先画出函数图象，再求这个函数在[0,4]上的定积分．
解 图象如图．
ʃf（x）dx＝＋＋ʃ（x－1）dx
＝（－cosx）＋（x2－x）|
＝1＋（2－）＋（4－0）＝7－.
反思与感悟 求分段函数的定积分，分段标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原分段函数的分段情况即可；对于含绝对值的函数，可转化为分段函数．
跟踪训练2 设f（x）＝
求ʃf（x）dx.
解 ʃf（x）dx＝ʃx2dx＋ʃ（cosx－1）dx
＝x3|＋（sinx－x）|＝sin1－.
探究点三 定积分的应用
例3 计算下列定积分：
ʃsinxdx，ʃsinxdx，ʃsinxdx.由计算结果你能发现什么结论？
试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论．
解 因为（－cosx）′＝sinx，
所以ʃsinxdx＝（－cosx）|
＝（－cosπ）－（－cos0）＝2；
ʃsinxdx＝（－cosx）|
＝（－cos2π）－（－cosπ）＝－2；
ʃsinxdx＝（－cosx）|
＝（－cos2π）－（－cos0）＝0.
可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0：
定积分的值与曲边梯形面积之间的关系：
（1）位于x轴上方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分；
（2）位于x轴下方的曲边梯形的面积等于对应区间的积分的相反数；（3）定积分的值就是位于x轴上方曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积．
反思与感悟 求平面图形面积的步骤
①画函数的图象，联立方程组求出曲线的交点坐标．
②将曲边形的面积转化为曲边梯形的面积．
③确定被积函数和积分区间，计算定积分，求出面积．
跟踪训练3 求曲线y＝sinx与直线x＝－，x＝π，y＝0所围图形的面积（如图所示）．
解 所求面积为
S＝
＝
＝1＋2＋（1－）＝4－.
1．＝________.
答案 π＋2
解析 ∵（x＋sinx）′＝1＋cosx，
∴＝（x＋sinx）
＝＋sin－＝π＋2.
2．若ʃ（2x＋）dx＝3＋ln2，则a的值是________．
答案 2
解析 ʃ（2x＋）dx＝ʃ2xdx＋ʃdx
＝x2|＋lnx|＝a2－1＋lna＝3＋ln2，解得a＝2.
3．ʃ（x2－x）dx＝________.
答案
解析 ʃ（x2－x）dx＝ʃx2dx－ʃxdx
＝|－|＝－＝.
4．若ʃx2dx＝9，则常数T的值为________．
答案 3
解析 ʃx2dx＝x3＝×T3＝9.
∴T3＝27，∴T＝3.
5．已知f（x）＝计算ʃf（x）dx.
解
取F1（x）＝2x2－2πx，则F1′（x）＝4x－2π；
取F2（x）＝sinx，则F2′（x）＝cosx.
所以
＋sinx＝－π2－1，即ʃf（x）dx＝－π2－1.
[呈重点、现规律]
1．求定积分的一些常用技巧
（1）对被积函数，要先化简，再求积分．
（2）若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和．
（3）对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．
2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.
一、基础过关
1．已知物体做变速直线运动的位移函数s＝s（t），那么下列命题正确的是________．
①它在时间段[a，b]内的位移是s＝s（t）|；
②它在某一时刻t＝t0时，瞬时速度是v＝s′（t0）；
③它在时间段[a，b]内的位移是s＝ʃs′（t）dt.
答案 ①②③
2．若F′（x）＝x2，则F（x）的解析式正确的是________．
①F（x）＝x3
②F（x）＝x3
③F（x）＝x3＋1
④F（x）＝x3＋c（c为常数）
答案 ①③④
3．ʃ（ex＋2x）dx＝________.
答案 e
解析 ʃ（ex＋2x）dx＝（ex＋x2）|＝（e1＋12）－（e0＋02）＝e.
4．若ʃ（2x＋k）dx＝2，则k＝________.
答案 1
解析 ʃ（2x＋k）dx＝（x2＋kx）|＝1＋k＝2，所以k＝1.
5．由直线x＝1，x＝4，y＝0和曲线y＝＋1围成的曲边梯形的面积是________．
答案
解析 设所求面积为S，由定积分几何意义知，
S＝ʃ（＋1）dx＝（x＋x）|＝（＋4）－（＋1）＝.
6．若ʃ（2ax＋a＋1）dx＝5，则实数a＝________.
答案 1
解析 由ʃ（2ax＋a＋1）dx＝5，
得[ax2＋（a＋1）x]|＝4a＋1＝5，
解得a＝1.
7．计算定积分ʃ|x2－2x|dx.
解 令f（x）＝|x2－2x|，
即f（x）＝
则ʃf（x）dx＝ʃf（x）dx＋ʃf（x）dx
＝ʃ（x2－2x）dx＋ʃ（2x－x2）dx
＝（x3－x2）|＋（x2－x3）|
＝（＋4）＋（4－）＝8.
二、能力提升
8．设f（x）＝，若f[f
（1）]＝1，则a＝________.
答案 1
解析 因为x＝1>0，所以f
（1）＝lg1＝0.
又x≤0时，f（x）＝x＋ʃ3t2dt＝x＋t3|＝x＋a3，
所以f（0）＝a3.
因为f[f
（1）]＝1，所以a3＝1，
解得a＝1.
9．设函数f（x）＝ax2＋c（a≠0），若ʃf（x）dx＝f（x0），0≤x0≤1，则x0的值为________．
答案
解析 ʃ（ax2＋c）dx＝ax＋c，
∴＝ax，
∵a≠0，∴x＝，
又0≤x0≤1，∴x0＝.
10.设f（x）是一次函数，且ʃf（x）dx＝5，ʃxf（x）dx＝，则f（x）的解析式为________．
答案 f（x）＝4x＋3
解析 因为f（x）是一次函数，设f（x）＝ax＋b（a≠0），则
ʃf（x）dx＝ʃ（ax＋b）dx＝ʃaxdx＋ʃbdx＝a＋b＝5，ʃxf（x）dx＝ʃx（ax＋b）dx＝ʃ（ax2）dx＋ʃbxdx＝a＋b＝.
由
得
11.
已知f（a）＝ʃ（2ax2－a2x）dx，求f（a）的最大值．
解 ∵（ax3－a2x2）′＝2ax2－a2x，
∴ʃ（2ax2－a2x）dx＝（ax3－a2x2）|
＝a－a2，
即f（a）＝a－a2＝－（a2－a＋）＋
＝－（a－）2＋，
∴当a＝时，f（a）有最大值.
12.物体A以速度vA＝3t2＋1（米/秒）在一直线上运动，同时物体B也以速度vB＝10t（米/秒）在同一直线上与物体A同方向运动，问多长时间物体A比B多运动5米，此时，物体A，B运动的距离各是多少？
解 设a秒后物体A比B多运动5米，则
A从开始到a秒末所走的路程为
sA＝ʃvAdt＝ʃ（3t2＋1）dt＝a3＋a；
B从开始到a秒末所走的路程为
sB＝ʃvBdt＝ʃ10tdt＝5a2.
由题意得sA＝sB＋5，即a3＋a＝5a2＋5，得a＝5.
此时sA＝53＋5＝130（米），sB＝5×52＝125（米）．
故5秒后物体A比B多运动5米，此时，物体A，B运动的距离分别是130米和125米．
三、探究与拓展
13．求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成图形的面积．
解 由
得或
所以直线y＝－x＋2与抛物线y＝x2－4的交点为（－3,5）和（2,0），设所求图形面积为S，
根据图形可得S＝ʃ（－x＋2）dx－ʃ（x2－4）dx
＝（2x－x2）|－（x3－4x）|
＝－（－）＝.
升级会员 