勾股定理经典例题详解.docx
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勾股定理经典例题详解
勾股定理经典例题详解
知识点一：
勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为：
a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
要点诠释：
（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。
（3）理解勾股定理的一些变式：
c2=a2+b2,a2=c2-b2，b2=c2-a2， c2=（a+b）2-2ab
知识点二：
用面积证明勾股定理
方法一：
将四个全等的直角三角形拼成如图
（1）所示的正方形。
图
（1）中
，所以
。
方法二：
将四个全等的直角三角形拼成如图
（2）所示的正方形。
图
（2）中
，所以
。
方法三：
将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。
在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,
在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,
所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：
.
方法四：
如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。
，所以
。
知识点三：
勾股定理的作用
1．已知直角三角形的两条边长求第三边； 2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；
3．用于证明平方关系的问题；4．利用勾股定理，作出长为
的线段。
2.在理解的基础上熟悉下列勾股数
满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。
熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：
①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．
如果（a,b,c）是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。
经典例题透析类型一：
勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中，∠C=90°
（1）已知a=6，c=10，求b，
（2）已知a=40，b=9，求c； （3）已知c=25，b=15，求a.
思路点拨:
写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
解析：
（1）在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=
（2）在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=
（3）在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a=
总结升华：
有一些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决。
如：
不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差或和。
举一反三
【变式】:
如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少？
【答案】∵∠ACD=90°
AD=13,CD=12
∴AC2=AD2－CD2
=132－122
=25
∴AC=5
又∵∠ABC=90°且BC=3
∴由勾股定理可得
AB2=AC2－BC2
=52－32
=16
∴AB=4
∴AB的长是4.
类型二：
勾股定理的构造应用
2、如图，已知：
在
中，
，
，
.求：
BC的长.
思路点拨：
由条件
，想到构造含
角的直角三角形，为此作
于D，则有
，
，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.
解析：
作
于D，则因
，
∴
（
的两个锐角互余）
∴
（在
中，如果一个锐角等于
，
那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
根据勾股定理，在
中，
.
根据勾股定理，在
中，
.
∴
.
总结升华：
利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用.当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构造直角三角形以便应用勾股定理.
举一反三【变式1】如图，已知：
，
，
于P.求证：
.
思路点拨:
图中已有两个直角三角形，但是还没有以BP为边的直角三角形.因此，我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形.所以连结BM.这样，实际上就得到了4个直角三角形.那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平
方之间的关系.
解析：
连结BM，根据勾股定理，在
中，
.
而在
中，则根据勾股定理有
.
∴
又∵
（已知），
∴
.
在
中，根据勾股定理有
，
∴
.
【变式2】已知：
如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：
四边形ABCD的面积。
分析：
如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。
解析：
延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。
∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=
=
。
∵DE2=CE2-CD2=42-22=12，∴DE=
=
。
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=
AB·BE-
CD·DE=
类型三：
勾股定理的实际应用
（一）用勾股定理求两点之间的距离问题
3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了
到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。
（1）求A、C两点之间的距离。
（2）确定目的地C在营地A的什么方向。
思路点拨：
把实际问题中的角度转化为图形中的角度，利用勾股定理求解。
解析：
（1）过B点作BE
米，
CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．
因此高度上有米的余量，所以卡车能通过厂门．
（二）用勾股定理求最短问题
4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．
思路点拨：
解答本题的思路是：
最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论．
解析：
设正方形的边长为1，则图
（1）、图
（2）中的总线路长分别为
AB+BC+CD＝3，AB+BC+CD＝3
图（3）中，在Rt△ABC中
同理
∴图（3）中的路线长为
图（4）中，延长EF交BC于H，则FH⊥BC，BH＝CH
由∠FBH＝
及勾股定理得：
EA＝ED＝FB＝FC＝
∴EF＝1－2FH＝1－
∴此图中总线路的长为4EA+EF＝
3＞>
∴图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线．
总结升华：
在实际生产工作中，往往工程设计的方案比较多，需要运用所学的数学知识进行计算，比较从中选出最优设计．本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质．
举一反三
【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
解：
如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm， 根据勾股定理得
（提问：
勾股定理）
∴AC＝
＝
＝
≈１０．７７（cm）（勾股定理）．
答：
最短路程约为１０．７７cm．
类型四：
利用勾股定理作长为
的线段
5、作长为
、
、
的线段。
思路点拨：
由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于
，直角边为
和1的直角三角形斜边长就是
，类似地可作
。
作法：
如图所示
（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB，使AB为斜边；
（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角
。
斜边为
；
（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形
，这样斜边
、
、
、
的长度就是
、
、
、
。
总结升华：
（1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；
（2）取单位长时可自定。
一般习惯用国际标准的单位，如1cm、1m等，我们作图时只要取定一个长为单位即可。
举一反三【变式】在数轴上表示
的点。
解析：
可以把
看作是直角三角形的斜边，
，
为了有利于画图让其他两边的长为整数，
而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。
作法：
如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，
以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为
。
类型五：
逆命题与勾股定理逆定理
6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
1．原命题：
猫有四只脚．（正确）
2．原命题：
对顶角相等（正确）
3．原命题：
线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确）
4．原命题：
角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确）
思路点拨：
掌握原命题与逆命题的关系。
解析：
1.逆命题：
有四只脚的是猫（不正确）
2.逆命题：
相等的角是对顶角（不正确）
3.逆命题：
到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．（正确）
4.逆命题：
到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上．（正确）
总结升华：
本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。
7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
思路点拨：
要判断ΔABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。
解析：
由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得：
a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,
∴（a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0。
∵（a-3）2≥0,（b-4）2≥0,（c-5）2≥0。
∴a=3，b=4，c=5。
∵32+42=52,
∴a2+b2=c2。
由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。
总结升华：
勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。
举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
【答案】：
连结AC
∵∠B=90°，AB=3，BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）
∴AC=5
∵AC2+CD2=169，AD2=169
∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）
【变式2】已知:
△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2（m,n为正整数,且m＞n）,判断△ABC是否为直角三角形.
分析:
本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明:
a2+b2=c2即可
证明：
所以△ABC是直角三角形.
【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=
AB。
请问FE与DE是否垂直请说明。
【答案】答：
DE⊥EF。
证明：
设BF=a，则BE=EC=2a,AF=3a，AB=4a,
∴EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；
DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。
连接DF（如图）
DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。
∴DF2=EF2+DE2,
∴FE⊥DE。
经典例题精析
类型一：
勾股定理及其逆定理的基本用法
1、若直角三角形两直角边的比是3：
4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
思路点拨：
在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。
解析：
设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得：
（3x）2+（4x）2＝202
化简得x2＝16；
∴直角三角形的面积＝
×3x×4x＝6x2＝96
总结升华：
直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解。
举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。
【答案】如图，等边△ABC，作AD⊥BC于D
则：
BD＝
BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）
∵AB＝AC＝BC＝2（等边三角形各边都相等）
∴BD＝1
在直角三角形ABD中，AB2＝AD2+BD2，即：
AD2＝AB2－BD2＝4－1＝3
∴AD＝
S△ABC＝
BC·AD＝
注：
等边三角形面积公式：
若等边三角形边长为a，则其面积为
a。
【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。
【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x，y，根据题意得：
由
（1）得：
x+y＝7，
（x+y）2＝49，x2+2xy+y2＝49（3）
（3）－
（2），得：
xy＝12
∴直角三角形的面积是
xy＝
×12＝6（cm2）
【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。
思路点拨：
首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解。
解：
此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：
（n+1）2+（n+2）2＝（n+3）2
化简得：
n2＝4
∴n＝±2，但当n＝－2时，n+1＝－1<0，∴n＝2
总结升华：
注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。
【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）
A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40
解析：
此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，
对数据较大的可以用c2＝a2+b2的变形：
b2＝c2－a2＝（c－a）（c+a）来判断。
例如：
对于选择D，
∵82≠（40+39）×（40－39），
∴以8，39，40为边长不能组成直角三角形。
同理可以判断其它选项。
【答案】：
A
【变式5】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
解：
连结AC
∵∠B=90°，AB=3，BC=4
∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）
∴AC=5
∵AC2+CD2=169，AD2=169
∴AC2+CD2=AD2
∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=
AB·BC+
AC·CD=36
类型二：
勾股定理的应用
2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。
假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒
思路点拨：
（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。
（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。
因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。
解析：
作AB⊥MN，垂足为B。
在RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°，AP＝160，
∴AB＝
AP＝80。
（在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半）
∵点A到直线MN的距离小于100m,
∴这所中学会受到噪声的影响。
如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC＝100（m），
由勾股定理得：
BC2＝1002-802＝3600,∴BC＝60。
同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD＝100（m），BD＝60（m）,
∴CD＝120（m）。
拖拉机行驶的速度为:
18km/h＝5m/s
t＝120m÷5m/s＝24s。
答：
拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。
总结升华:
勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。
举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。
他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。
解析：
他们原来走的路为3+4＝7（m）
设走“捷径”的路长为xm，则
故少走的路长为7－5＝2（m）
又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路。
【答案】4
【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。
（1）直接写出单位正三角形的高与面积。
（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形平行四边形ABCD的面积是多少？
（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。
【答案】
（1）单位正三角形的高为
，面积是
。
（2）如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积
。
（3）过A作AK⊥BC于点K（如图所示），则在Rt△ACK中，
，
，故
类型三：
数学思想方法
（一）转化的思想方法
我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决．
3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。
思路点拨：
现已知BE、CF，要求EF，但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD．
解：
连接AD．
因为∠BAC=90°，AB=AC． 又因为AD为△ABC的中线，
所以AD=DC=DB．AD⊥BC．
且∠BAD=∠C=45°．
因为∠EDA+∠ADF=90°． 又因为∠CDF+∠ADF=90°．
所以∠EDA=∠CDF． 所以△AED≌△CFD（ASA）．
所以AE=FC=5．
同理：
AF=BE=12．
在Rt△AEF中，根据勾股定理得：
，所以EF=13。
总结升华：
此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。
通过此题，我们可以了解：
当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。
（二）方程的思想方法
4、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，
，求
、
、
的值。
思路点拨：
由
，再找出
、
的关系即可求出
和
的值。
解：
在Rt△ABC中，∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°，
则
，由勾股定理，得
。
因为
，所以
，
，
，
。
总结升华：
在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。
举一反三：
【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。
解：
因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。
因为四边形ABCD是矩形，所以∠B=∠C=90°，
在Rt△ABF中， AF=AD=BC=10cm，AB=8cm，
所以
。
所以
。
设
，则
。
在Rt△ECF中，
，即
，解得
。
即EF的长为5cm。
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