同角三角函数基本关系式与诱导公式教案.docx
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同角三角函数基本关系式与诱导公式教案
第11讲
同角三角函数基本关系式与诱导公式
<■概述
1■
1,1
适用学科？
高中数学
适用年级
高中一年级:
适用区域
人教版区域
课时时长（分钟）
120j
Il~1
[n
知识点
F1
1
同角三角函数的基本关系六组诱导公式
1
P
1
1
1
t
1
K
1
教学目标!
n
1•能利用单位圆中的三角函数线推导出2±a，n+a的正弦、余弦、正切的诱导公:
式•-
sinx
2.理解同角三角函数的基本关系式：
sin2x+cos2x=1，x—tanx
cosx
3.应用诱导公式，重点是函数名称”与正负号”的正确判断\
理解同角三角函数的基本关系式：
sin2x+cos2x=1,沁二tanx；应用诱导公
教学重点C0SX
式，重点是函数名称”与正负号”的正确判断
II
理解同角三角函数的基本关系式：
sin2x+cos2x=1,沁二tanx；应用诱导公
教学难点C0sx
式，重点是函数名称”与正负号”的正确判断
!
■■■■■■■■■■■■■
【教学建议】
本节课是在学生掌握了任意角的三角函数的定义单位圆及三角函数线，三角函数值在各象限的符号等
知识点的基础上进行的•同角三角函数的基本关系式是三角函数的模块的重点之一也是历年高考考查的热
点，为三角函数的求值、关系式的化简、恒等式的证明等提供了知识基础，同时也初步向学生渗透三角函
数与代数结合辩证分析的基本思想和方法•
【知识导图】
1—1求値问题
■教学过程
一、导入
［考情展望］
1•利用同角三角函数的基本关系求三角函数值•
2•借助诱导公式化简三角函数式，进而求三角函数值
、知识讲解知识点1•同角三角函数关系
1.平方关系：
Sin2a+COS2a=1
sinan
2.商数关系：
tana=COS—（a亏+knk€Z）cosa2
知识点2诱导公式
组数
-一-
-二二
三
四
五
六
角
2kn+a（k€Z）
n+a
—a
n—a
n
2—a
n,
二+a
2
正弦
sina
—sina
—sina
sina
COs_a
COs_a
余弦
COSa
—COs_a
COs_a
—COs_a
sina
—sina
正切
tana
tana
—tana
—tana
［方法技巧］
诱导公式记忆口诀
对于角kn±a^k^Z）的三角函数记忆口诀奇变偶不变，符号看象限”奇变偶不变”是指当k为奇数时，正
弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”•符号看象限”是指在a的三角函数值前面加上当a
为锐角时，原函数值的符号”.
二、例题精析
例题1
UK
C0S-^-
【题干】的值为（）
诟_1V31
A.—B.-C•—D.-
【答案】D
【解析】
化简='■-=■'=
例题2
【题干】
已知点'：
是角汝边上的一点，则
s）就尺-cr）=.
（）
34
_■■
A.
B.
55
C.
【答案】
【解析】
是角终边上的一点,
-叹｝=5i—-
故选A.
例题3
【题干】
已知'是第二象限的角，且
sina
A.
12
77
B.
【答案】D
【解析】
a.
•••是第二象限的角，且
siw=h
tana
si™57J心竝，故选.
例题4
【题干】化简"=（）
A.sin2+cos2B.sin2-cos2C.cos2-sin2D.土（cos2-sin2）
【答案】A
【解析】根据诱导公式，化简
/l--2—2}
=十2j［歸址。
生2
sin2>0.同書用2|>|cos2|=J（sin2T~cos7）^=sin2+cos2
又因为•所以选A
例题5
【题干】已知Sin（（n+a）=-*，且a是第一象限角
（1）求cosa的值
（2）求tan（n+a）cos（n-a）—sin（+a）的值.
【答案】
（1）—；
（2）—
【解析】
（1）sin（na=
所以sin=
5
且a是第一象限角
所以cosa寸1-吕i朋q=_学
|5
cosa
—sin
111
=-tanacos—sin（——+a
（2
=—tanacos—cos
—sina—
四、课堂运用基础
4
1.若’：
，且•为第二象限角,
£ana=
（
3-4
D
4-3
Q
3-■4A.
【答案】B
【解析】
4
因为」一，且'为第二象限角,
3勲口口w-所以：
sHhsg
=--
g°,故选B.
5in（-100a0）c05（-2200°）tan（-lO）心
2.给出下列各函数值：
①：
②：
③；④.其中符号为负的
是（）
A.①B.②C.③D.④
【答案】C
【解析】
sin（-1000°=sin（—2>360°-280°=-sin280°cos10°>0,
cos（-2200°=cos（-6X360°-40°=cos40°>0,
tan（-10）=-tan（3n+0.58）=-tan（0.58）v0
故选：
C.
3.已知
atam=—3
是第四象限角，且
“s饥口=
，则
cosa
【答案】—
【解析】
v'101
~10~
是第四象限角，且
tana.=—3
sina=—3cosa
，即
将其代入恒等式
宀®=1可得航
-vlit
5ina=tOwsi™r^-3x—=-
3\1D
10
via
cosa-—
即■-，（舍负），
故答案为-
巩固
4.已知sin
0+cos0=，贝Usin0—cos0的值为（
vTs
vl7
~T~
~T~
cT
A.B.
C.
D
【答案】D
【解析】
/17
~T
5炳0+cqsB=-1+25in3cosd=-
由：
可得
—<6<0—cos9=—JCsOid—尸
则
故选
tamr=2n.cofa+5inStr=
5.已知，贝U
【答案】1
【解析】
taivx=2
?
:
c:
七十冷itxc&sa
原式
AHA
carfE-l
11-2x2.
—=1
故答案为：
1.
功X30”卄眄二*
6.已知，则cos（60—的值为
B.
A.
C.
【答案】
【解析】
涇
cos（60°-a）=sin[90—60°a）]=sin（30°a）/，故选C.
拔高
2iajia•sma=3
：
7.已知
?
，则等于（
）
v-3
11
Y
_T
Z2
A.
B.C.
D.
【答案】
B
2ta7ia■sina=3
ara
aa
【解析】
由.
整理可得：
2sin2=3cos,
即：
（2cos-1）（cos+2）=0,
-—<05二一莒
■/-1vcosAv1，解得：
cosA=-，由题-，贝U■
故选B.
8.已知一「，且’一
（1）求
的值;
（2）求
4^inirosx—cos:
x
的值.
7&4
【答案】
（1）：
;
（2）'：
【解析】
SIJ1X+；
（1）•••:
25inxcosx
31
35
xe（―rr.O）
?
（jiwt-cojx）2=1-25injcco5x=£
/•sinxv0,cosx>0,二sinx-cosxv0,-
（2）由
（1）知,
5inx+C05T=右
7
SITUi—C吵耳=—-
*
s;nx=-
，解得
4x3
COSX=Tt（rnx=--
?
?
£UTJt+jt■血*
4cqjk-1討
———
rnirif-H2£
课堂小结P
1由一个角的三角函数值求其他三角函数值时，要注意讨论角的范围.
2•注意公式的变形使用，弦切互换、三角代换、消元是三角代换的重要思想，要尽量少开方运算，慎重确定符号•注意“1的灵活代换.
3•应用诱导公式，重点是函数名称”与正负号的勺正确判断.
课后作业
基础
自讯（一2055°）=（）
v'6->,r2
4
小4
4
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
H琐-2055°）=-5in20SSc=-sirt（Sx36Ofl+2S5°）=-sin2SS°=-sin（180o+7SG）=5fn7Sp^Jinf45fl+30J）=
5
故选C.
iff3；
fem仗+?
ere（-J.0）suwt=--cosa=
2•已知，，贝U
4
【答案】：
ccj£i=Vl-nM-n=-
则•
【解析】
住色（一?
0）sirur=—-
由题「，'
tan（4-a）=tanr=结
PMIE4
4
即答案为
（1）.-
（2）.
3.已知a€
3n
n2,
tana=2,贝VCOSa=
sina=
【答案】
cos
a=—
sin
2”5
5
【解析】依题意得
tana=
sina
COSa
sin2a+COS2a=1,
由此解得cos2a=5；又妖（n予,因此cos—尊Sin
2.5
5
巩固
4.在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于
y轴对称.
若sin=—，贝Vsin=.
3
1
【答案】丄
3
【解析】
因为与关于y轴对称，则2k，所以sin2k
1
sin—
3
5.已知
【答案】
【解析】
五严丽平方可得:
sm（）C0^（-）+tan{）
6•计算：
^_
【答案】0
【解析】
4cos（-y+:
an（yff）-s+rtjn-^-i+（-+
拔高
7.已知COS（75°+a=一，a是第三象限角，
（1）求sin（75°+a的值.
（2）求COS（a—15°的值.
⑶求sin（195—a+cos（105O—a的值.
121210
【答案】
（1）—：
；
（2）—：
;（3）:
【解析】
（1）vCOS（75°+o）=…>0,a是第三象限角,二75°+a是第四象限角，
-^1—^05^（75*+ct）=——
且sin（75°a=Li
12
（2）cosa—15°）=cos[90—（75°+"]=sin（75°a=—■（3）sin（195。
一a+cos（105O—a=sin[1800+（15。
一a]+cos[180O0—（75°"]=—sin（15—a—cos（75+a=—sin[90—（75+咖一cos（75°+a
in
=—2cos（75°+M=：
1
8.已知a是三角形的内角，且sina+cosa=5.
（1）求tana的值；
（2）把厂」厂用tana表示出来，并求其值.
cosa—sin2a
a是三角形的内角，.
sina=4cosa=—,［4分］
55
•••tana=—4.［6分］
・2i2
sina+cosa
cos2a
2-2COSa—Sina
sina+cos2acos2atan2a+1
•/tana=—3,
3
1
2・2—2cosa—sina1—tan
2cos2a
2
tana+1
42
2+1
3+1
1--32
275.［12分］
9.
—B）,Q3cosA=—{2cos（—B），求△ABC的三个内角.
①
【解析】
在AABC中，若sin（2—A）——Q2sin（sinA—V2sinB,由已知得
■y3cosA—寸2cosB,
①2+②2得2cos2A—1,即cosA—±22.
（1）当cosA—子时，cosB—于，又A、B是三角形的内角,
nn7
…A—4,B—6，…c—冗一（A+B）—12n.
⑵当cosA——孑时，cosB——于.又A、B是三角形的内角，
35nn7
•-A—4nB—6n不合题意•综上知，A—4,B—6，C—12冗.
■I教学反思B
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