平面问题的直角坐标解.docx
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平面问题的直角坐标解
第六章平面问题的直角坐标解
一.内容介绍
对于实际工程结构的某些特殊形式，经过适当的简化和力学模型的抽象处理，就可以归结为弹性力学的平面问题，例如水坝，受拉薄板等。
这些问题的特点是某些基本未知量被限制在平面内发生的，使得数学上成为二维问题，从而简化了这些问题的求解困难。
本章的任务就是讨论弹性力学平面问题：
平面应力和平面应变问题。
弹性力学平面问题主要使用应力函数解法，因此本章的工作从推导平面问题的基本方程入手，引入应力函数并且通过例题求解，熟悉和掌握求解平面问题的基本方法和步骤。
本章学习的困难是应力函数的确定。
虽然课程讨论了应力函数的相关性质，但是应力函数的确定仍然没有普遍的意义。
这就是说，应力函数的确定过程往往是根据问题的边界条件和受力等特定条件得到的。
二.重点
1.平面应变问题；
2.平面应力问题；
3.应力函数表达的平面问题基本方程；
4.应力函数的性质；
5.典型平面问题的求解。
知识点
平面应变问题
应力表示的变形协调方程
应力函数
应力函数与双调和方程
平面问题应力解法
逆解法
简支梁问题
矩形梁的级数解法
平面应力问题
平面应力问题的近似性
应力分量与应力函数
应力函数与面力边界条件
应力函数性质
悬臂梁问题
楔形体问题
§6.1平面应变问题
学习思路:
对于弹性力学问题，如果能够通过简化力学模型，使三维问题转化为二维问题，则可以大幅度降低求解难度。
平面应变问题是指具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束的弹性体。
这种弹性体的位移将发生在横截面内，可以简化为二维问题。
根据平面应变问题定义，可以确定问题的基本未知量和基本方程。
对于应力解法，基本方程简化为平衡微分方程和变形协调方程。
学习要点：
1.平面应变问题；
2.基本物理量；
3.基本方程；
4.应力表示的变形协调方程；
部分工程构件，例如压力管道、水坝等，其结构及其承载形式力学模型可以简化为平面应变问题，典型实例就是水坝，如图所示。
这类弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体，横截面大小和形状沿轴线长度不变；作用外力与纵向轴垂直，并且沿长度不变；柱体的两端受固定约束。
这类工程问题，我们可以认为柱体是无限长的。
如果从中任取一个横截面，则柱形物体的形状和所受载荷将对此横截面是对称的。
因此物体变形时，横截面上的各点只能在其自身平面内移动。
设纵向轴为z轴，则沿z方向的位移恒等于零，位移只能发生在Oxy面内。
而且任一个横截面都是对称面，因此只要具有相同的x、y坐标，则有相同的位移。
所以物体的位移为
根据几何方程平面应变问题的应变分量εx，εy，γxy均为坐标x,y的函数，而其余应变分量εz=γxz=γyz=0。
由于这类问题的位移和应变都是发生在Oxy平面内的，所以称为平面应变问题。
根据物理方程可得
所以
回代可得平面应变问题的物理方程
其中
。
因此，平面应变问题只有应力σx，σy，σz=（σx+σy）和τxy不等于零，而且这些应力均为x，y的函数，与坐标z无关。
根据上述的分析，可以将弹性力学的基本方程在平面应变问题中大为简化。
平衡微分方程将简化为两个：
几何方程
简化为三个：
变形协调方程
由六个简化为一个：
面力边界条件
也简化为两个：
应用上述平衡、物理、几何方程和变形协调方程，再配以一定的边界条件，例如面力边界条件，则可求解平面应变问题。
弹性力学平面问题一般采用应力解法，基本方程为平衡微分方程和变形协调方程。
变形协调方程是应变分量表达的，对于应力解法，需要用基本未知量应力分量来描述变形协调方程。
将物理方程代入变形协调方程，可得
在体力为常数的条件下，可以利用平衡微分方程简化上式，既对平衡微分方程的两个公式分别对x，y求偏导数后相加，可得
回代到变形协调方程，并作整理可得
以上方程是平面应变问题中的由应力表示的变形协调方程，它表达了物体内的变形协调关系，称为莱维（Lévy，M.）方程。
§6.2平面应力问题
学习思路:
平面应力问题讨论的弹性体为薄板，厚度为h远远小于结构另外两个方向的尺度。
薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面Oxy面内，并沿厚度方向Oz不变。
而且薄板的两个表面不受外力作用。
因此应力沿厚度方向不变。
平面应力问题与平面应变问题在应力解法条件下，有类似的基本方程。
学习要点：
1.平面应力问题；
2.基本物理量与本构方程；
3.基本方程与边界条件；
平面应力问题和平面应变问题的力学模型是完全不同的。
平面应力问题讨论的弹性体为薄板，如图所示。
薄壁厚度为h远远小于结构另外两个方向的尺度。
薄板的中面为平面，其所受外力，包括体力均平行于中面Oxy面内，并沿厚度方向Oz不变。
而且薄板的两个表面不受外力作用。
根据薄板的表面面力边界条件，即表面不受外力作用，则
由于板很薄，外力沿厚度均匀分布，因此应力分量也沿厚度均匀分布，所以应力分量不随z改变。
根据边界条件可得
而其余应力分量为坐标x,y的函数，即
由于应力分量均发生在薄板的中面，所以称为平面应力问题。
根据物理方程的第三式
，可得
与平面应变问题相比较，这里εz≠0，这表明薄板变形时，两底面将发生畸变。
但是由于平板很薄，这种畸变也是很小的。
因此平面应力问题的物理方程为
因此在平面应力问题中，只有应变
存在，而且这些应变均为坐标x，y的函数，与z无关。
根据与平面应变问题相同的分析，平面应力问题的基本方程也可以作相应的简化。
平衡、几何、变形协调方程以及面力边界条件均简化为与平面应变问题相同的形式，其简化形式分别为
平衡微分方程
几何方程
变形协调方程
边界条件
§6.3平面问题的应力函数解法
学习思路:
本节讨论平面问题的应力函数解法。
考察平面问题的弹性力学基本方程－平衡微分方程和应力表示的变形协调方程，在常体力条件下，可以通过应力函数表达应力分量。
这样问题的基本未知量由三个应力分量简化为一个应力函数。
将应力函数代入基本方程，可以得到由应力函数表达的基本方程—双调和方程。
因此弹性力学平面问题的求解转化为确定应力函数—双调和函数。
学习要点：
1.平面问题的基本方程；
2.应力分量与应力函数；
3.应力函数与双调和方程；
如果采用应力作为基本未知量求解弹性力学平面问题，在常体力的条件下基本方程归结为在给定的边界条件下求解平衡微分方程,
和应力表示的变形协调方程
对于平衡微分方程的解，可以分解为其齐次方程的通解与任一特解之和。
齐次方程就是体力为零的平衡微分方程，
显然，平衡微分方程的特解是容易寻找的，下列应力分量均为齐次方程的特解，
或者
根据微分方程理论，必有函数f（x，y），令
则齐次方程
的第一式恒满足。
同理必有函数g（x，y），如果
则齐次方程的第二式恒满足，所以
引入任意函数
（x，y），使得
将上式分别回代，可得应力分量表达式
上述应力分量即为齐次平衡微分方程的通解。
对于体力为零的弹性力学平面问题，只要函数是四阶连续可导的，总是满足齐次微分方程的。
将平衡微分方程特解代入应力表达式，则
自然满足平衡微分方程。
应力分量不仅需要满足平衡微分方程，而且还需要满足变形协调方程，将上述应力分量代入变形协调方程，可得
上式说明函数
（x，y）应满足双调和方程。
根据应力函数计算的应力分量满足平衡微分方程，而双调和函数表达的应力函数自然满足变形协调方程。
因此双调和方程就成为平面问题应力解法的基本方程。
综上所述，弹性力学平面问题的应力解法，包括平面应力和平面应变问题，归结为在给定的边界条件下求解双调和方程。
这里，函数
（x，y）称为艾里（Airy）应力函数，一般简称为应力函数。
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