5.在一次同学聚会上,若每两人握一次手,一共握了45次手,则参加这次聚会的同学一共有________人.
6.(2015毕节)一个容器盛满纯药液40L,第一次倒出若干升后,用水加满;第二次又倒出同样体积的溶液,这时容器里只剩下纯药液10L.则每次倒出的液体是________L.
第7题图
7.如图,将矩形沿图中虚线(其中x>y)剪成①②③④四块图形,用这四块图形恰能拼成一个正方形,若y=2,则x的值等于________.
8.(2016宜昌)某蛋糕产销公司A品牌产销线,2015年的销售量为9.5万份,平均每份获利1.9元,预计以后四年每年销售量按5000份递减,平均每份获利按一定百分数逐年递减;受供给侧改革的启发,公司早在2014年底就投入资金10.89万元,新增了一条B品牌产销线,以满足市场对蛋糕的多元需求.B品牌产销线2015年的销售量为1.8万份,平均每份获利3元,预计以后四年每年销售量按相同的份数递增;且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增;这样,2016年A,B两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份,B品牌产销线2017年销售获利恰好等于当初的投入资金数.
(1)求A品牌产销线2018年的销售量;
(2)求B品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数.
9.(2016荆州)已知在关于x的分式方程
=2①和一元二次方程(2-k)x2+3mx+(3-k)n=0②中,k、m、n均为实数,方程①的根为非负数.
(1)求k的取值范围;
(2)当方程②有两个整数根x1、x2,k为整数,且k=m+2,n=1时,求方程②的整数根;
(3)当方程②有两个实数根x1、x2,满足x1(x1-k)+x2(x2-k)=(x1-k)(x2-k),且k为负整数时,试判断|m|≤2是否成立?
请说明理由.
答案
基础过关
1.C 【解析】用因式分解法解一元二次方程便可.x(x-2)=0,x=0或
x-2=0,∴x1=0,x2=2.
2.B 【解析】根据一元二次方程根的判别式可进行判断.b2-4ac=(-4)2-4×4=0,即方程有两个相等的实数根.
3.A 【解析】x2-6x-5=0,x2-6x=5,x2-6x+9=5+9,(x-3)2=14.
4.B 【解析】∵方程有两个相等的实数根,∴b2-4ac=2-4sinα=0,∴sinα=
,∴α=30°.
5.D 【解析】设方程的另一个根为x2,则根据根与系数关系有-1+x2=2,解得x2=3.
6.D 【解析】由题意可得x
-2x1-1=0,x1+x2=2,即x
-2x1=1,所以原式=x
-2x1+(x1+x2)=1+2=3.
7.B 【解析】解一元二次方程x2-6x+8=0,得x1=2,x2=4.当三角形三边为2,2,4时,∵2+2=4,∴不符合三边关系,应舍去;当三角形三边为2,4,4时,∵2+4>4>2,符合三边关系.∴三角形的周长为10.
8.A 【解析】由年平均增长率为x,从2013年到2015年连续增长两年,开始量为10万辆,结束量为16.9万辆,可列方程10(x+1)2=16.9.
9.C 【解析】∵原正方形空地的边长为xm,剩余空地的长为(x-1)m,宽为(x-2)m,∴可列方程为:
(x-2)(x-1)=18.
10.m>
【解析】一元二次方程两实数根之积为负,则方程应满足条件
,即
,解得m>
.
11.13 【解析】∵一元二次方程x2+3x-4=0的两根是x1、x2,∴x1+x2=-3,x1x2=-4,∴x
+x1x2+x
=x
+2x1x2+x
-x1x2=(x1+x2)2-x1x2=(-3)2-(-4)=9+4=13.
12.4 【解析】设每件应降价x元,根据题意得:
(44-x)(20+5x)=1600,解得:
x1=4,x2=36(不合题意,舍去),则每件应降价4元.
13.解:
方程两边都加1,得x2-2x+1=4+1,
即(x-1)2=5,
开平方,得x-1=±
,
∴原方程的解是x1=1+
,x2=1-
.
14.解:
原方程可化为2(x-3)2=(x+3)(x-3),
2(x-3)2-(x+3)(x-3)=0,
(x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0,
(x-3)(x-9)=0,
∴x-3=0或x-9=0,
∴x1=3,x2=9.
【一题多解】原方程可化为x2-12x+27=0,
这里a=1,b=-12,c=27,
∵b2-4ac=(-12)2-4×1×27=36>0,
∴x=
=
=
,
∴原方程的根为x1=3,x2=9.
15.
(1)证明:
∵m≠0,
b2-4ac=(m+2)2-4m×2=m2-4m+4=(m-2)2,
而(m-2)2≥0,即b2-4ac≥0,
∴方程总有两个实数根;
(2)解:
(x-1)(mx-2)=0,
x-1=0或mx-2=0,
∴x1=1,x2=
,
当m为正整数1或2时,x2为整数,即方程的两个实数根都是整数,
∴正整数m的值为1或2.
16.解:
设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm,可以得出平行于墙的一边的长为(25-2x+1)m,
由题意,得x(25-2x+1)=80,
化简,得x2-13x+40=0,
解得:
x1=5,x2=8.
当x=5时,26-2x=16>12(舍去);
当x=8时,26-2x=10<12.
答:
所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m时,猪舍面积为80m2.
满分冲关
1.B 【解析】∵(a-c)2>a2+c2,∴ac<0,∴-4ac>0,∴b2-4ac>0,∴该方程有两个不相等的实数根.
2.C 【解析】∵倒数等于它本身的数是±1,∴方程的一个根为1或-1.把x=1代入方程,得1+m+1+
=0,解得m=-
,把x=-1代入方程,得1-m-1+
=0,解得m=
,∴m的值是-
或
.
3.A 【解析】∵a,b是方程x2-x+
m=0(m<1)的两根,∴a+b=1,ab=
m,∴b★b-a★a=b(1-b)-a(1-a)=b(a+b-b)-a(a+b-a)=ab-ab=0.
4.B 【解析】∵x0是方程ax2+2x+c=0的一个根,∴ax
+2x0+c=0,∴N-M=(ax0+1)2-(1-ac)=a2x
+2ax0+1-1+ac=a(ax
+2x0+c)=0,∴M=N.
5.10 【解析】设参加这次聚会的同学一共有x人,则每人应握(x-1)次手,由题意得:
x(x-1)=45,即:
x2-x-90=0,解得:
x1=10,x2=-9(不符合题意舍去),故参加这次聚会的同学共有10人.
6.20 【解析】设每次倒出xL液体,根据题意列方程得40-x-
x=10,解得x1=20,x2=60(舍去).故每次倒出20L液体.
7.
+1 【解析】∵相似三角形对应边成比例,∴
=
,∵y=2,∴x2-2x-4=0.解得:
x1=1-
(舍去),x2=
+1,故答案为:
+1.
8.解:
(1)A品牌产销线2018年的销售量为9.5-(2018-2015)×0.5=8(万份);
(2)设A品牌产销线平均每份获利的年递减百分比为x,B品牌产销线的年销售量递增相同的份数为k万份,
依题意可列:
,
解得:
或
(舍去),
∴
,
∴2x=10%,
答:
B品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数为10%.
9.解:
(1)解①得,x=
.
依题意,有
,
即
,
∵②为一元二次方程,
∴k≠2,
解得k≥-1且k≠1,k≠2.
综上所述,k的取值范围是k≥-1,k≠1且k≠2;
(2)∵k=m+2,n=1,
∴方程可变为mx2-3mx+m-1=0.
若m=0,即-1=0,不合题意,所以m≠0.
∵方程有两个根,
∴b2-4ac≥0,
即(-3m)2-4m(m-1)≥0,
解得:
m≥0或m≤-
,
由根与系数的关系,得x1+x2=3,x1x2=1-
.
∵k为整数,k=m+2,
∴m也为整数.
∵方程②有两个整数根x1、x2,
∴m=±1.
由
(1)得m≠-1,
∴m=1.此时b2-4ac=9>0.
当m=1时,原方程为x2-3x=0.
解得x1=0,x2=3.
(3)成立.理由:
∵k为负整数,而k≥-1,k≠1且k≠2,
∴k=-1.
当k=-1时,有x1(x1+1)+x2(x2+1)=(x1+1)(x2+1),
∴(x1+x2)2-3x1x2-1=0.
当k=-1时,方程变形为3x2+3mx+4n=0.
∴(-m)2-3·
-1=0,
即m2=4n+1.
依题意,方程3x2+3mx+4n=0的Δ≥0.
即9m2-4×3×4n≥0.
∴m2≥
.
∴4n+1≥
.
解得n≤
,
∴m2≤4.
∴|m|≤2成立.