（a）看跌期权多头
（b）看跌期权空头
图5.2看跌期权盈亏分布图
第二节期权价格的特性
一、内在价值和时间价值
期权价格（或者说价值）等于期权的内在价值加上时间价值。
（一）期权的内在价值
期权的内在价值（IntrinsicValue）是指多方行使期权时可以获得的收益的现值。
对于欧式看涨期权来说，因多方只能在期权到期时行使，因此其内在价值为（ST-X）的现值。
由于对于无收益资产而言，ST的现值就是当前的市价（S），而对于支付现金收益的资产来说，ST的现值为S-D，其中D表示在期权有效期内标的资产现金收益的现值。
因此，无收益资产欧式看涨期权的内在价值等于S-Xe-r（T-t）,而有收益资产欧式看涨期权的内在价值等于S-D-Xe-r（T-t）。
对于无收益资产美式看涨期权而言，虽然多方可以随时行使期权，但我们在本节即将证明,在期权到期前提前行使无收益美式期权是不明智的,因此无收益资产美式看涨期权价格等于欧式看涨期权价格,其内在价值也就等于S-Xe-r（T-t）。
有收益资产美式看涨期权的内在价值也等于S-D-Xe-r（T-t）。
同样道理，无收益资产欧式看跌期权的内在价值都为Xe-r（T-t）-S，有收益资产欧式看跌期权的内在价值都为Xe-r（T-t）+D-S。
美式看跌期权由于提前执行有可能是合理的，因此其内在价值与欧式看跌期权不同。
其中，无收益资产美式期权的内在价值等于X-S，有收益资产美式期权的内在价值等于X+D-S。
当然，当标的资产市价低于协议价格时，期权多方是不会行使期权的，因此期权的内在价值应大于等于0。
（二）期权的时间价值
期权的时间价值（TimeValue）是指在期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。
显然，标的资产价格的波动率越高，期权的时间价值就越大。
时间价值
Xe-r（T-t）S
图5.3无收益资产看涨期权时间价值与（S-Xe-r（T-t））的关系
此外，期权的时间价值还受期权内在价值的影响。
以无收益资产看涨期权为例，当S=Xe-r（T-t）时，期权的时间价值最大。
当S-Xe-r（T-t）的绝对值增大时，期权的时间价值是递减的，如图5.3所示。
我们举个例子来说明期权内在价值与时间价值之间的关系。
假设A股票（无红利）的市价为9.05元，A股票有两种看涨期权，其协议价格分别为X1=10元，X2=8元，它们的有效期都是1年，1年期无风险利率为10%（连续复利）。
这两种期权的内在价值分别为0和1.81元。
那么这两种期权的时间价值谁高呢？
假设这两种期权的时间价值相等，都等于2元，则第一种期权的价格为2元，第二种期权的价格为3.81元。
那么让读者从中挑一种期权，你们愿意挑哪一种呢？
为了比较这两种期权，我们假定1年后出现如下三种情况：
情况一：
ST=14元。
则期权持有者可从期权1中获利（14-10-2e0.1）=1.79元，可从期权2中获利（14-8-3.81e0.1）=1.79元。
期权1获利金额等于期权2。
情况二：
ST=10元。
则期权1亏2e0.1=2.21元，期权2也亏3.81e0.1-2=2.21元。
期权1亏损等于期权2。
情况三：
ST=8元。
则期权1亏2e0.1=2.21元，而期权2亏3.81e0.1=4.21元。
期权1亏损少于期权2。
由此可见，无论未来A股票价格是涨是跌还是平，期权1均优于或等于期权2。
显然，期权1的时间价值不应等于而应高于期权2。
我们再来比较如下两种期权。
X1=10元，X3=12元。
其它条件与上例相同。
显然，期权1的内在价值为0，期权3的内在价值虽然也等于0，但S-Xe-r（T-t）却等于-1.81元。
通过同样的分析，我们也可以得出期权1的时间价值应高于期权3的结论。
综合这三种期权，我们就可以得出无收益资产看涨期权的时间价值在S=Xe-r（T-t）点最大的结论。
通过同样的分析，我们还可以得出如下结论：
有收益资产看涨期权的时间价值在S=D+Xe-r（T-t）点最大，而无收益资产欧式看跌期权的时间价值在S=Xe-r（T-t）点最大，有收益资产欧式看跌期权的时间价值在S=Xe-r（T-t）-D点最大,无收益资产美式看跌期权的时间价值在S=X点最大，有收益资产美式看跌期权的时间价值在S=X-D点最大。
弄清时间价值与内在价值的上述关系对于组建和分析期权的差期组合和对角组合是很重要的。
二、期权价格的影响因素
期权价格的影响因素主要有六个，他们通过影响期权的内在价值和时间价值来影响期权的价格。
（一）标的资产的市场价格与期权的协议价格
由于看涨期权在执行时，其收益等于标的资产当时的市价与协议价格之差。
因此，标的资产的价格越高、协议价格越低，看涨期权的价格就越高。
对于看跌期权而言，由于执行时其收益等于协议价格与标的资产市价的差额，因此，标的资产的价格越低、协议价格越高，看跌期权的价格就越高。
（二）期权的有效期
对于美式期权而言，由于它可以在有效期内任何时间执行，有效期越长，多头获利机会就越大，而且有效期长的期权包含了有效期短的期权的所有执行机会，因此有效期越长，期权价格越高。
对于欧式期权而言，由于它只能在期末执行，有效期长的期权就不一定包含有效期短的期权的所有执行机会。
这就使欧式期权的有效期与期权价格之间的关系显得较为复杂。
例如，同一股票的两份欧式看涨期权，一个有效期1个月，另一个2个月，假定在6周后标的股票将有大量红利支付，由于支付红利会使股价下降，在这种情况下，有效期短的期权价格甚至会大于有效期长的期权。
但在一般情况下（即剔除标的资产支付大量收益这一特殊情况），由于有效期越长，标的资产的风险就越大，空头亏损的风险也越大，因此即使是欧式期权，有效期越长，其期权价格也越高，即期权的边际时间价值（MarginalTimeValue）为正值。
我们应注意到，随着时间的延长，期权时间价值的增幅是递减的。
这就是期权的边际时间价值递减规律。
换句话说，对于到期日确定的期权来说，在其它条件不变时，随着时间的流逝，其时间价值的减小是递增的。
这意味着，当时间流逝同样长度，期限长的期权的时间价值减小幅度将小于期限短的期权时间价值的减小幅度。
这一点对组建和分析第五章中的期权差期组合和对角组合是很重要的。
（三）标的资产价格的波动率
简单地说，标的资产价格的波动率是用来衡量标的资产未来价格变动不确定性的指标，其确切定义将在本章第二节给出。
由于期权多头的最大亏损额仅限于期权价格，而最大盈利额则取决于执行期权时标的资产市场价格与协议价格的差额，因此波动率越大，对期权多头越有利，期权价格也应越高。
（四）无风险利率
无风险利率对期权价格的影响我们可从两个角度来考察。
首先我们可以从比较静态的角度考察，即比较不同利率水平下的两种均衡状态。
如果状态1的无风险利率较高，则标的资产的预期收益率也应较高，这意味着对应于标的资产现在特定的市价（So），未来预期价格[E（ST）]较高。
同时由于贴现率较高，未来同样预期盈利的现值就较低。
这两种效应都将减少看跌期权的价值。
但对于看涨期权来说，前者将使期权价格上升，而后者将使期权价格下降。
由于前者的效应大于后者，因此对应于较高的无风险利率，看涨期权的价格也较高。
其次我们可从动态的角度考察，即考察一个均衡被打破到另一个均衡的过程。
在标的资产价格与利率呈负相关时（如股票、债券等），当无风险利率提高时，原有均衡被打破，为了使标的资产预期收益率提高，均衡过程通常是通过同时降低标的资产的期初价格和预期未来价格，只是前者的降幅更大来实现的。
同是贴现率也随之上升。
对于看涨期权来说，两种效应都将使期权价格下降，而对于看跌期权来说，前者效应为正，后者为负，由于前者效应通常大于后者，因此其净效应是看跌期权价格上升。
大家应注意到，从两个角度得到的结论刚好相反。
因此我们在具体运用时要注意区别分析的角度。
（五）标的资产的收益
由于标的资产分红付息等将减少标的资产的价格，而协议价格并未进行相应调整，因此在期权有效期内标的资产产生收益将使看涨期权价格下降，而使看跌期权价格上升。
三、期权价格的上、下限
为了推导出期权定价的精确公式，我们先得找出期权价格的上、下限。
（一）期权价格的上限
1．看涨期权价格的上限
在任何情况下，期权的价值都不会超过标的资产的价格。
否则的话，套利者就可以通过买入标的资产并卖出期权来获取无风险利润。
因此，对于美式和欧式看跌期权来说，标的资产价格都是看涨期权价格的上限：
（5.1）
其中，c代表欧式看涨期权价格，C代表美式看涨期权价格，S代表标的资产价格。
2．看跌期权价格的上限
由于美式看跌期权的多头执行期权的最高价值为协议价格（X），因此，美式看跌期权价格（P）的上限为X：
（5.2）
由于欧式看跌期权只能在到期日（T时刻）执行，在T时刻，其最高价值为X，因此，欧式看跌期权价格（p）不能超过X的现值：
（5.3）
其中，r代表T时刻到期的无风险利率，t代表现在时刻。
（二）期权价格的下限
由于确定期权价格的下限较为复杂，我们这里先给出欧式期权价格的下限，并区分无收益与有收益标的资产两种情况。
1．欧式看涨期权价格的下限
（1）无收益资产欧式看涨期权价格的下限
为了推导出期权价格下限，我们考虑如下两个组合：
组合A：
一份欧式看涨期权加上金额为
的现金
组合B：
一单位标的资产
在组合A中，如果现金按无风险利率投资则在T时刻将变为X，即等于协议价格。
此时多头要不要执行看涨期权，取决于T时刻标的资产价格（ST）是否大于X。
若ST>X，则执行看涨期权，组合A的价值为ST；若ST≤X，则不执行看涨期权，组合A的价值为X。
因此，在T时刻，组合A的价值为：
而在T时刻，组合B的价值为ST。
由于
，因此，在t时刻组合A的价值也应大于等于组合B，即:
c+Xe-r（T-t）≥S
c≥S-Xe-r（T-t）
由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为：
（5.4）
（2）有收益资产欧式看涨期权价格的下限
我们只要将上述组合A的现金改为
，其中D为期权有效期内资产收益的现值，并经过类似的推导，就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的下限为：
（5.5）
2．欧式看跌期权价格的下限
（1）无收益资产欧式看跌期权价格的下限
考虑以下两种组合：
组合C：
一份欧式看跌期权加上一单位标的资产
组合D：
金额为
的现金
在T时刻，如果STX，期权将不被执行，组合C价值为ST，即在组合C的价值为：
max（ST，X）
假定组合D的现金以无风险利率投资，则在T时刻组合D的价值为X。
由于组合C的价值在T时刻大于等于组合D，因此组合C的价值在t时刻也应大于等于组合D，即：
由于期权价值一定为正，因此无收益资产欧式看跌期权价格下限为：
（5.6）
（2）有收益资产欧式看跌期权价格的下限
我们只要将上述组合D的现金改为
就可得到有收益资产欧式看跌期权价格的下限为：
（5.7）
从以上分析可以看出，欧式期权的下限实际上就是其内在价值。
四、提前执行美式期权的合理性
美式期权与欧式期权的区别在于能否提前执行，因此如果我们可以证明提前执行美式期权是不合理的，那么在定价时，美式期权就等同于欧式期权，从而大大降低定价的难度。
（一）提前执行无收益资产美式期权的合理性
1．看涨期权
由于现金会产生收益，而提前执行看涨期权得到的标的资产无收益，再加上美式期权的时间价值总是为正的，因此我们可以直观地判断提前执行无收益资产的美式看涨期权是不明智的。
为了精确地推导这个结论，我们考虑如下两个组合：
组合A：
一份美式看涨期权加上金额为
的现金
组合B：
一单位标的资产
在T时刻，组合A的现金变为X，组合A的价值为max（ST，X）。
而组合B的价值为ST，可见，组合A在T时刻的价值一定大于等于组合B。
这意味着，如果不提前执行，组合A的价值一定大于等于组合B。
我们再来看一下提前执行美式期权的情况。
若在
时刻提前执行，则提前执行看涨期权所得盈利等于S
-X，其中S
表示
时刻标的资产的市价，而此时现金金额变为
，其中
表示T-
时段的远期利率。
因此，若提前执行的话，在
时刻组合A的价值为：
，而组合B的价值为
。
由于
因此
。
这就是说,若提前执行美式期权的话，组合A的价值将小于组合B。
比较两种情况我们可以得出结论：
提前执行无收益资产美式看涨期权是不明智的。
因此，同一种无收益标的资产的美式看涨期权和欧式看涨期权的价值是相同的，即：
C=c（5.8）
根据（5.4），我们可以得到无收益资产美式看涨期权价格的下限：
（5.9）
2．看跌期权
为考察提前执行无收益资产美式看跌期权是否合理，我们考察如下两种组合：
组合A：
一份美式看跌期权加上一单位标的资产
组合B：
金额为
的现金
若不提前执行，则到T时刻，组合A的价值为max（X，ST），组合B的价值为X，因此组合A的价值大于等于组合B。
若在
时刻提前执行，则组合A的价值为X，组合B的价值为
，因此组合A的价值也高于组合B。
比较这两种结果我们可以得出结论：
是否提前执行无收益资产的美式看跌期权，主要取决于期权的实值额（X-S）、无风险利率水平等因素。
一般来说，只有当S相对于X来说较低，或者r较高时，提前执行无收益资产美式看跌期权才可能是有利的。
由于美式期权可提前执行，因此其下限比（5.6）更严格：
（5.10）
（二）提前执行有收益资产美式期权的合理性
1．看涨期权
由于提前执行有收益资产的美式期权可较早获得标的资产，从而获得现金收益，而现金收益可以派生利息，因此在一定条件下，提前执行有收益资产的美式看涨期权有可能是合理的。
我们假设在期权到期前，标的资产有n个除权日，t1，t2……，tn为除权前的瞬时时刻，在这些时刻之后的收益分别为D1，D2，……，Dn，在这些时刻的标的资产价格分别为S1，S2，……Sn。
由于在无收益的情况下，不应提前执行美式看涨期权，我们可以据此得到一个推论：
在有收益情况下，只有在除权前的瞬时时刻提前执行美式看涨期权方有可能是最优的。
因此我们只需推导在每个除权日前提前执行的可能性。
我们先来考察在最后一个除权日（tn）提前执行的条件。
如果在tn时刻提前执行期权，则期权多方获得Sn-X的收益。
若不提前执行，则标的资产价格将由于除权降到Sn-Dn。
根据式（5.5），在tn时刻期权的价值（Cn）
因此，如果：
即：
（5.11）
则在tn提前执行是不明智的。
相反，如果
（5.12）
则在tn提前执行有可能是合理的。
实际上，只有当tn时刻标的资产价格足够大时，提前执行美式看涨期权才是合理的。
同样，对于任意
在ti时刻不能提前执行有收益资产的美式看涨期权条件是：
（5.13）
由于存在提前执行更有利的可能性，有收益资产的美式看涨期权价值大于等于欧式看涨期权，其下限为：
（5.14）
2．看跌期权
由于提前执行有收益资产的美式期权意味着自己放弃收益权，因此收益使美式看跌期权提前执行的可能性变小，但还不能排除提前执行的可能性。
通过同样的分析，我们可以得出美式看跌期权不能提前执行的条件是：
由于美式看跌期权有提前执行的可能性，因此其下限为：
（5.15）
五、期权价格曲线的形状
弄清了期权价
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