高考辽宁卷理科数学试题及解答.docx
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高考辽宁卷理科数学试题及解答
普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数学（供理科考生使用）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ
卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题共60分）
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么球的表面积公式
P（A+B）=P（A）+P（B）S=4πR2
如果事件A，B相互独立，那么其中R表示球的半径
P（AB）=P（A）P（B）
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么
球的体积公式
V=4πR33
n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径
nn
P（k）=Ckpk（1-p）n-k（n=0，1，2，，n）
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，B={2，3，4}，则（CUA）⋂（CUB）=（）
A．{1}B．{2}C．{2，4}D．{1，2，3，4}
2．若函数y=f（x）的反函数图象过点（1，5），则函数y=f（x）的图象必过点（）
A．（1，1）
B．（1，5）
C．（5，1）
D．（5，5）
3．若向量a与b不共线，ab≠0，且c=a-⎛aa⎫b，则向量a与c的夹角为（）
⎝⎭
π
A．0B．
6
ππ
C．D．
32
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）
A．63B．45C．36D．27
5．若θ∈⎛3π5π⎫，则复数（cosθ+sinθ）+（sinθ-cosθ）i在复平面内所对应的点在（）
，⎪
⎝4⎭
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．若函数y=f（x）的图象按向量a平移后，得到函数y=f（x+1）-2的图象，则向量a=（）
A．（-1，-2）
B．（1，-2）
C．（-1，2）
D．（1，2）
7．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）
A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α
C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β
B．若αγ=mβγ=n，m∥n，则α∥β
D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
⎧x-y+2≤0
8．已知变量x，y满足约束条件⎪x≥1，
⎪x+y-7≤0
y
则的取值范围是（）
x
A．⎛9，6⎫
B．⎛-∞9⎤[6，+∞）
ç5⎪
ç，⎥
⎝⎭
C．（-∞，3][6，+∞）
⎝5⎦
D．[3，6]
11
A．B．
2211
32
C．D．
2211
10．设p，q是两个命题：
p:
log（|x|-3）>0，q:
x2-5x+1>0，则p是q的（）
2
166
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2y2
11．设P为双曲线x-12=1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|:
|PF2|=3:
2，则
△PF1F2的面积为（）
A．6
B．12C．12
D．24
12．已知f（x）与g（x）是定义在R上的连续函数，如果f（x）与g（x）仅当x=0时的函数值为0，且
f（x）≥g（x），那么下列情形不．可．能．出现的是（）
A．0是f（x）的极大值，也是g（x）的极大值B．0是f（x）的极小值，也是g（x）的极小值
C．0是f（x）的极大值，但不是g（x）的极值D．0是f（x）的极小值，但不是g（x）的极值
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题4分，共16分．
⎧acosx（x≥0），
⎩
13．已知函数f（x）=⎨x2-1（x<0）在点x=0处连续，则a=．
x2
14．设椭圆
y2
1上一点P到左准线的距离为10，F是该椭圆的左焦点，若点M满足
OM=
2516
1
（OP+DF），则|OM|=．
2
15．若一个底面边长为为．
，棱长为
2
的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积
16．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i个数为ai（i=1，2，，6），若a1≠1，a3≠3，a5≠5，
a1
三、解答题：
本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数f（x）=sin⎛ωx+π⎫+sin⎛ωx-π⎫-2cos2ωx，x∈R（其中ω>0）
ç6⎪ç6⎪2
⎝⎭⎝⎭
（I）求函数f（x）的值域；
（II）若对任意的a∈R，函数y=f（x），x∈（a，a+π]的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数y=f（x），x∈R的单调增区间．
18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1
中，∠ACB=90，AC=BC=a，D，E
1
分别为棱AB，BC的中点，M为棱AA上的点，二面角M-DE-A为30．
（I）证明：
A1B1⊥C1D；
（II）求MA的长，并求点C到平面MDE的距离．
A1C1
M
AC
19．（本小题满分12分）某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C与产量q的函
q32
数关系式为C=-3q
3
+20q+10（q>0）
该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格p与产量q的函数关系式如下表所示：
市场情形概率价格p与产量q的函数关系式
好0.4
中0.4
差0.2
p=164-3qp=101-3qp=70-4q
设L1，L2，L3分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量ξk，表示当产量为q，而市场前景无法确定的利润．
（I）分别求利润L1，L2，L3与产量q的函数关系式；
（II）当产量q确定时，求期望Eξk；
（III）试问产量q取何值时，Eξk取得最大值．
20．（本小题满分14分）已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2=2x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的内接圆（点C为圆心）
（I）求圆C的方程；
（II）设圆M的方程为（x-4-7cosθ）2+（y-7cosθ）2=1，过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F，求CE，CF的最大值和最小值．
21．（本小题满分12分）已知数列{an}，{bn}与函数f（x），g（x），x∈R满足条件：
an=bn，f（bn）=g（bn+1）（n∈N*）.
n
（I）若f（x）≥tx+1，t≠0，t≠2，g（x）=2x，f（b）≠g（b），lima存在，求x的取值范围；
n→∞
（II）若函数y=f（x）为R上的增函数，g（x）=f-1（x），b=1，f
（1）<1，证明对任意n∈N*，lima
n→∞n
（用t表示）．
22．（本小题满分12分）已知函数f（x）=x2t-2t（x2+x）+x2+2t2+1，g（x）=1f（x）．
2
（I）证明：
当t<2
时，g（x）在R上是增函数；
（II）对于给定的闭区间[a，b]，试说明存在实数k，当t>k时，g（x）在闭区间[a，b]上是减函数；
3
（III）证明：
f（x）≥．
2
绝密★启用前
2007年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）
数学（供理科考生使用）试题答案与评分参考
说明:
一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一、选择题：
本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分60分.
（1）B
（2）C（3）D（4）B（5）B（6）A
（7）C（8）A（9）D（10）A（11）B（12）C
二、填空题：
本题考查基本知识和基本运算.每小题4分，满分16分.
（13）-1（14）2（15）4
三、解答题
π（16）30
（17）本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关知识的能力.满分12分.
（Ⅰ）解：
f（x）=
3sinωx+1cosωx+3sinωx-1cosωx-（cosωx+1）
2222
=2（
3sinωx-1cosωx）-1
22
=2sin（ωx-π）-1·····························································5分
6
由-1≤sin（ωx-
π）≤,得-3≤2sin（ωx-
6
π）-1≤1.
6
可知函数f（x）的值域为[-3,1].················································7分
（Ⅱ）解：
由题设条件及三角函数图象和性质可知，y=
即得
f（x）的周期为π,又由ω＞0，得2π=π，
2
ω=2.···········································································9分
于是有f（x）=2sin（2x-
π）-1，再由2kπ-2
π≤2x-
2
π≤2kπ+π62
（k∈Z），解得
kπ-π≤x≤kπ+π（k∈Z）.
63
所以y=f（x）的单调增区间为[kπ-
π，kπ+
6
π]（k∈Z）.········12分
3
（18）本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维满分
12分.
（Ⅰ）证明：
连结CD.
∵三棱柱ABC-A，BC是直三棱柱.
∴CC1⊥平面ABC.
∴CD为C1D在平面ABC内的射影.
∵△ABC中，AC=BC，D为AB中点.
∴AB⊥CD,
∴AB⊥C1D,
∵A1B1//AB,
∴A1B1⊥C1D.
（Ⅱ）解法一：
过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF.
∵D、E分别为AB、BC的中点.
∵DE//AC,
又AF//CE,CE⊥AC,
∴AF⊥DE,
∵AF为MF在平面ABC内的射影，
∴MF⊥DE,
∴∠MFA为二面角M-DE-A的平面角，∠MFA=30︒.
在Rt△MAF中,AF=1BC=a,
∠MFA=30︒,
22
∴AM=a.
6
作AG⊥MF，垂足为G.
∵MF⊥DE,AF⊥DE,
∴DE⊥平面AMF.
∴平面MDE⊥平面AMF.
∴AG⊥平面MDE.
a
在Rt△GAF中,
a
∠MFA=30︒，AF=,
2
a
∴AG=，即A到平面MDE的距离为.
44
∵CA//DE,∴CA//平面MDE,
a
∴C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等,为，
4
解法二：
过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连结MF.
∵D、E分别为AB、CB的中点，
∴DE//AC,
又∵AF//CE,CE⊥AC,
∴AF⊥DE,
∵MA⊥平面ABC,
∴AF为MF在平面ABC内的射影，
∴MF⊥DE,
∴∠MFA为二面角M-DE-A的平面角，∠MFA=30︒.
1a
在Rt△MAF中,AF=
BC=,
22
∠MFA=30︒,
∴AM=a.
6
设C到平面MDE的距离为h.
∵VM-CNE=VC-MDE,
11
∴3S∆CDE·MA=3S∆MDE·h.
S∆CDE
=1CE·DE=
2
a,MA=a,86
S=1CE·MF=1DE,AF=3a2,
∆MDE2
1a2
2cos30︒6
2
∴⨯⨯a
3812
a
⨯
h,
a
∴h=,即C到平面MDE的距离相等,为
44
（19）本小题主要考查数学期望,利用导数求多项式函数最值等基础知识,考查运用概率和函数知识建模解决实际问题的能力.满分12分.
（Ⅰ）解:
由题意可得
q2
L1=（164-3q）·q-（
3
-3q2
+20q+10）
=-q3+
3
144q
-10
q3
（q＞0）.
同理可得L2=-3+81q-10（q＞0）
q3
L3=-3+50q-10（q＞0）·················································4分
（Ⅱ）解:
由期望定义可知
Eξ=0.4L1+0.4L2+0.2L3
=0.4⨯（-q
3
+144q-10）+0.4⨯（-q
3
+81q-10）+0.2⨯（-q
3
+50q-10）
=-q3+
3
100q
-10.
（Ⅲ）解:
由（Ⅱ）可知Eξ是产量q的函数,设
q3
f（q）=Eξ=-
3
+100q-10（q＞0）
得f'（q）=-q2+100.令f'（q）=0解得
q=10,q=-10（舍去）.
由题意及问题的实际意义（或当0＜q＜10时,f′（q）＞0;当q＞10时,f（q）＜0＝可知,当q=10时,f（q）取得最大值,即Eξ最大时的产量q为10.
（20）本小题主要考查平面向量,圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识,考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.满分14分.
y2
（Ⅰ）解法一:
设A、B两点坐标分别为（1
y2
y）,（2,y
），由题设知
2122
y2y2
==（1-2）2+（y-y）2.解得
2212
y2=y2=12,
12
所以A（6,23）,B（6,-23）或A（6,-2
2
3）,B（6,23）.
设圆心C的坐标为（r,0），则r=
⨯
6=4.因此圆C的方程为
3
（x-4）2+y2=16.·····························································4分解法二：
设A、B两点坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2）,由题设知
x2+y2=x2+y2.
1122
又因为y2=2x,y2=2x,可得x2+2x=x2+2x,即
11221122
（x1-x2）（x1+x2+2）=0.
由x1＞0，x2＞0，可知x1=x2，故A、B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上.
3
设C点的坐标为（r,0），则A点坐标为（r,
3
r），于是有（
3r）2=2⨯3r，解得r=4,所以
圆C的方程为
2222
（x-4）2+y2=16.·····························································4分
（Ⅱ）解：
设∠ECF=2a,则
CE·CF=|CE|·|CF|·cos2a=16cos2a=32cos2a-16.········8分
在Rt△PCE中,cosa=
r
|PC|
=4
|PC|
.由圆的几何性质得
|PC|≤|MC|+1=7+1=8,|PC|≥|MC|-1=7-1=6,······10分
所以1≤cosα≤2
23
，由此可得
-8≤CE·CF≤-.
9
故CE·CF的最大值为-16，最小值为-8.·····························14分
9
（21）本小题主要考查数列的定义，数列的递推公式，等比数列，函数，不等式等基础知识，考查数学归纳法解法问题的能力.满分12分.
⎧an+1=tbn+1+1t
（Ⅰ）解法一：
由题设知⎨
⎩
an=2bn+1,
得an+1=2an+1，又已知t≠2,可得
an+1
+2
t-2
=t（a
2n
+2）.
t-2
由f（b）≠g（b）,t≠2,t≠0,可知a+2
=tb+t
≠0,t
≠0,所以⎧a+
2⎫是等比
其首项为tb+
t
t-2
公比为t
2
.于是
1t-2
t-22
⎨nt-2⎬
an+
2
t-2
=（tb+
t
t-2
）（t
2
t
）n-1,即a
+
（tb+
t）（
t-2
t）n-1-
2
t.
t-2
又liman存在，可得0＜|
|＜1,所以-2＜t＜2且t≠0.
2
lima
n→∞
=2.
2-t
解法二.由题设知tbn+1=2bn+1,且t≠2.可得
bn+1
+1
t-2
=t（b
2n
+1）.
t-2
由f（b）≠g（b）,t≠2,t≠0,可知b+1
≠0,t
≠0,所以⎧b+
1⎫是首项为b+1,公
t
的等比数列.
2
t-22
⎨nt-2⎬
t-2
bn+
1
t-2
=（b+
1）（
t-2
t）n-1,即b
2n
=（b+
1）（
t-2
t）n-1-
2
1.
t-2
t
由an+2bn+1可知，若liman存在，则limbn存在.于是可得0＜|
|＜1,所以-1＜t≠0.
liman=2limbn=
n→∞
2.
n→∞2
n→∞
n→∞
2-t
解法三:
由题设知tbn+1=2bn+1,即
t1
bn+1=2bn+2,①于是有
t1
bn+2=2bn+1+2,②
t
②-①得bn+2-bn+1=2（bn+1-bn）,令cn=bn+1-bn,得
c=tc.
n+12n
（t-2）b+1t
由f（b）≠g（b）,t≠2,t≠0可知c1=b2-b1=
t
为的等比数列，于是
2
≠0,
22
≠0，所以{cn}是首项为b公比
1-（t）n
bn+1
=（c1
+c2
+⋯⋯+cn
）+b1
=2（b
2
1-t
-b1）+b.
2
4[1-（t）n]
an=2b
n+1
=2（b2-b1）+2b.
2-t
又lima
n→∞
存在，可得0＜
t＜1,所以-2＜t＜2且t≠0.
2
lima
n→∞
=4
2-t
（b2
-b1）+2b=
2.
2-t
说明：
数列{an}通项公式的求法和结果的表达形式均不唯一，其他过程和结果参照以标准.
（Ⅱ）证明：
因为g（x）=
f-1（x）,所以a=g（b）=
f-1（b）,即b=
f（an）.
下面用数学归纳法证明an+1＜an（n∈N*）.
（1）当n=1时，由f（x）为增函数
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