浅谈初中数学建模教学.docx

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浅谈初中数学建模教学

浅谈初中数学建模教学

20世纪下半叶以来，数学最大的变化和发展是应用，数学几乎渗透到了所有学科领域。

为了适应数学发展的潮流和未来社会人才培养的需要，美国、德国、日本等发达国家都十分重视数学建模教学。

增加数学和其他科学，以及日常生活的联系是世界数学教育的总趋势。

我们在开展数学建模教学活动中很重视选用与物理、化学、生物、美学等知识相结合的跨学科问题以及大量与日常生活相联系（如投资买卖、银行储蓄、测量、乘车、运动等方面）的数学问题，参加数学建模小组的学生都认为用数学知识解决实际问题比做纯数学题更有兴趣，他们认为学科之间是不分界的，数学就是生活，生活离不开数学，数学也不能和生活分离。

“时时有数学，事事有数学”。

一、什么是数学建模？

所谓数学建模就是把所要研究的实验问题，通过数学抽象构造出相应的数学模型，再通过数学模型的研究，使原问题获得解决的过程。

其基本思路是：

实际问题数学模型数学问题的解

新世纪数学课程改革中加强应用性、创新性，重视联系学生生活实际和社会实践的要求，我们开展了中学数学建模教学与应用的研究和实践，目的是培养学生的创造能力和应用能力，把学生从纯理论解题的题海中解放出来，把学生应用数学的意识的培养贯穿于教学的始终，让学生学得生动活泼，使数学素质教育跃上一个新的高度。

二、初中数学建模教学的基本理念和教学环节

1、初中数学建模教学的基本理念

使学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，体会数学的应用价值，培养数学的应用意识，增进对数学的理解和应用数学的信心。

学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中的问题，进而形成勇于探索、勇于创新的科学精神。

以数学建模为手段，激发学生学习数学的积极性，学会团结协作，建立良好人际关系、相互合作的工作能力。

以数学建模方法为载体，使学生获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学事实（包括数学知识、数学活动经验）以及基本的思想方法和必要的应用技能。

2、贯彻应用意识的课堂数学环节

   数学素质教育的主战场是课堂，如何围绕课堂教学选取典型素材激发学生兴趣，以润物细无声的形式渗透数学建模思想，提高建模能力呢？

根据我们的实践，采用知识的发生、形成过程与应用相渗透的教学模式可以实现这个目标，以“问题情景----建立模型----解释、应用与拓展”的基本叙述方式，使学生在朴素的问题情景中，通过观察、操作、思考、交流和运用中，掌握重要的现代数学观念和数学的思想方法，逐步形成良好的数学思维习惯，强化运用意识。

这种教学模式要求教师以建模的视角来对待和处理教学内容，把基础数学知识学习与应用结合起来，使之符合“具体----抽象----具体”的认识规律。

其五个基本环节是：

创设问题情景，激发求知欲

   根据具体的教学内容，从学生的生活经验和已有的知识背景出发，选编合适的实际应用题，让学生带着问题在迫切要求下学习，为知识的形成做好情感上的准备，并提供给学生充分进行数学实践活动和交流的机会。

抽象概括，建立模型，导入学习课题

   通过学生的实践、交流，发表见解，搜集、整理、描述，抽象其本质，概括为我们需要学习的课题，渗透建模意识，介绍建模方法，学生应是这一过程的主体，教师适时启发，介绍观察、实验、猜测、矫正与调控等合情推理模式，成为学生学习数学的组织者、引导者、合作者与共同研究者。

研究模型，形成数学知识

   对所建立的模型，灵活运用启发式、尝试指导法等教学方法，以教师为主导，学生为主体完成课题学习，形成数学知识、思想和方法，并获得新的数学活动经验。

解决实际应用问题，享受成功喜悦

   用课题学习中形成的数学知识解答开始提出的实际应用题。

问题得以解决，学生能体会到数学在解决问题时的实际应用价值，体验到所学知识的用途和益处，成功的喜悦油然而生。

归纳总结，深化目标

根据教学目标，指导学生归纳总结，拓展知识的一般结论，指出这些知识和技能在整体中的相互关系和结构上的统一性，使学生认识新问题，同化新知识，并构建自己的智力系统。

同时体会和掌握构建数学模型的方法，深化教学目标。

此外，通过解决我国当前亟待解决的紧迫问题，引导学生关心社会发展，有利于培养学生的主体意识与参与意识，发挥数学的社会化功能。

、

三、选择适当的数学问题，渗透数学建模思想

　　教师要建立以人为本的学生主体观，要为学生提供一个学数学、做数学、用数学的环境和表达自己想法的机会，在教学中注意对原始问题进行数学加工。

教师要为学生提供充足的自学时间，使学生在亲历的过程中展开思维，收集、处理各种信息，不断追求新知，发现、提出、分析并创造性地解决问题。

数学建模学习应该成为再发现、再创造的过程，教学过程必须由以教为主转变为以学为主，要支持学生大胆提出各种打破常规的想法，充分肯定学生正确的、独特的见解，珍惜学生的创新成果和失败教训，使他们保持尝试的热情。

1.从课本中的数学出发，注重对课本原题的改变

　　对课本中出现的应用问题，可以改变设问方式、变换题设条件，互换条件结论，形成新的数学建模应用问题；对课本中的纯数学问题，可以依照科学性、现实性、新颖性、趣味性、可行性等原则，编拟出有实际背景或有一定应用价值的建模应用问题。

按照这种方式开展教学活动，可使学生接受将实际问题抽象为数学问题的训练。

例1：

如图，三个相同的正方形，求证：

∠1＋∠2＋∠3＝90°。

　此问题多次出现在课本上（初中《几何》第二册P.67的复习参考题21），其重要性可见一斑。

以此问题为原型，可编拟如下一道应用问题：

在距电视塔底部100米，200米，300米的三处，观察电视塔顶，测得的仰角之和为90°，那么电视塔高为多少？

只要有课本题的基础，就一定得出电视塔高为100米，否则三个仰角之和要么大于90°，要么小于90°。

只要教师做有心人，精心设计，课本中的数学问题大都可挖掘出生活模型，选择紧贴社会实际的典型问题深入分析，逐渐渗透这方面的训练，使学生养成自觉地把数学作为工具来用的意识。

例2：

几何模型：

条件：

如图7，A、B是直线

同旁的两个定点。

问题：

在直线

上确定一点P，使PA+PB的值最小。

方法是：

作点A关于直线

的对称点A′，连结A′B交

于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）。

模型应用：

（1）如图8，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点。

连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称。

连结ED交AC于P，则PB+PE的最小值是。

（2）如图9，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；

（3）如图10，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值。

考法评析：

从知识上来看，本题是考查“利用轴对称的性质和三角形三边关系”求一定条件下的两条线段和的最小值。

从过程来看，本题却是考查在掌握一种模型或模式之后能否善于在变形中应用，而这种将变式或变形划归为已有模型或模式的做法和能力，正是数学学习最为需要的能力。

综合这两方面看，本题有较好的效度、可推广性和教育性。

变式：

某课题组在探究“泵站问题“时抽象出数学模型：

直线

同旁有两个定点A、B，则在直线

上存在点P，使PA+PB的值最小。

解法：

作点A关于直线

的对称点A′，连续A′B，则A′B与直线

的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B。

请利用上述模型解决下列问题：

（1）几何应用：

如图1，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是边AC上的一动点，则PB+PE的最小值为；

（2）几何拓展：

如图2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小，求这个最小值；

（3）代数应用：

求代数式

（0≤

≤4）的最小值。

解：

（1）

（2）作点B关于直线AC的对称点B′

作B′N⊥AB于N，交AC于M，连结BM，则BM+MN=B′M+MN=B′N的值最小

∵B、B′关于AC对称且∠CAB=30°

∴△AB′B是等边三角形

则BN=1，B′B=2

∴B′N=

∴BM+MN=B′M+MN=B′N=

（3）如图作AB=4，AC⊥AB，DB⊥AB且CA=1，DB=2

作C关于AB的对称点C′，连结C′D交于AB于P点，设AP=

则CP=

DP=

作C′E⊥DB于E

则C′E=AB=4，BE=AC′=AC=1

∴DE=3

C′D=

∴代数式

的最小值为5

数学建模中的实际问题背景更加复杂，解答具有更大的综合性和多样性，而结论还需要进行检验和优化，带有更大的挑战性和创造性。

数学建模的教学使学生走出课本，走出传统的习题演练；使他们进入生活、生产的实际中，进入一个更加开放的天地；使学生体会到数学的由来、数学的应用，体验到一个充满生命活力的教学，这对于培养学生应用意识和创造精神显然是一个很好的途径。

2.从生活中的数学问题出发，强化应用意识

　　日常生活是应用问题的源泉之一，现实生活中有许多问题可通过建立数学教学模型加以解决，如合理负担出租车资、家庭日用电量的计算、红绿灯管制的设计、登楼方案、住房问题、投掷问题等，都可用基础数学知识建立初等教学模型，加以解决。

学生很喜欢解决这样的实际问题，只要结合数学课程内容，适时引导学生考虑生活中的数学，就会加深学生对数学知识的理解，增强应用数学的信心，获得必要的应用技能。

例3：

某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆。

由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动车的安装，工厂决定招聘一些新工厂，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装。

生产开始后，调研部门发现：

1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车。

（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？

（2）如果工厂招聘

（0<

<10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？

（3）在

（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资，给每名新工人每月发1200元的工资，那么工厂招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能的少？

分析：

本题以新式电动汽车的安装为背景，以招聘新工人为素材，以人员的搭配组合使用为条件的载体，以完成一定任务为确定招聘方案的标准，自然和谐地设计了前两问。

整题的问题模型为：

结果=

（招聘方案的情景，新工人，条件，决策性要求）。

本题的设置意在考查学生建立方程组、一次函数模型来分析解决问题的能力，以及求解方程组等技能的掌握状况，使用解答题形式逐问呈现，较好地发掘了问题模型所蕴含的考试价值，有利于达到试卷预设的考查目标。

例4、分油的问题

在山西民间，有一个人们常提的问题，说的是：

3斤的葫7斤的罐,10斤的油篓分一半。

实际上是：

有一个能装10斤油的油篓装满了油，另外只有两个容器,即:

能装3斤油的葫芦和能装7斤油的罐。

现在要把两个容器即能装3斤油的葫芦和能装7斤的罐.现在要把10斤油分出一半来。

问：

该怎么分?

解:

要把10斤油分出一半来,

必须把7斤的罐的油倒出2斤到3斤的葫中，

而3斤的葫中油的另外一斤油可由7-3×2=1得来

例5、真和假

很久以前，在很远的地方，住着两个种族的人：

阿纳尼阿斯人——他们都是积习很深的说谎者；迪昂根尼斯人——他们无例外地都是诚实者。

一次，一个外来者来访这块土地，遇见三个居民，问他们各属于什么种族。

第一个人回答声音很低，外来者没听清楚他说了什么。

第二个人指着第一个人说：

他说他是阿纳尼阿斯人”。

第三个人指着第二个人说：

“你说谎”。

请你想一想：

他们各是什么种族的人。

解:

每一个居民必定说自己是迪昂根尼斯人.迪昂根尼斯人这么说,因为他们说真话,阿纳尼阿斯人这么说,因为他们说慌话.因此,第二个人说的话必定是假的,因而,第三个人说的话是真的,他是迪昂根尼斯人.

于是,可以判断第二个人和第三个人属于什么种族.第一个人属于什么种族,尚难确定

例6：

（日用电量的计算）

我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内日平均风速不小于3米/秒的时间共约160天，其中日平均风速不小于6米/秒的时间约占60天。

为了充分利用“风能”这种“绿色能源”，该地拟建一个小型风力发电厂，决定选用A、B两种型号的风力发电机。

根据产品说明，这两种风力发电机在各种风速下的日发电量（即一天的发电量）如下表：

日平均风均v（米/秒）

v<3

3≤v<6

v≥6

日发电量

（千瓦·时）

A型发电机

0

≥36

≥150

B型发电机

0

≥24

≥90

根据上面数据回答：

（1）若这个发电厂购x台A型风力发电机，则预计这些A型风力发电机一年的发电量至少为千瓦·时。

（2）已知A型风力发电机每台0.3万元，B型风力发电机每台0.2万元，该发电厂拟购置风力发电机共10台，希望购机的费用不超过2.6万元，而建成的发电厂每年发电总量不少于102000千瓦·时，请你提供符合条件的购机方案。

解：

（1）12600x。

（2）设购A型发电机x台，则购B型发电机（10－x）台，

由题意：

解得5≤x≤6

∴可购A型发电机5台，B型发电机5台；

或购A型发电机6台，B型发电机4台。

本题的基本思想是已知常量之间的不等关系，建立不等式模型。

例7：

（住房问题）

某房屋开发公司用100万元购得一块土地，该地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）的每平方米平均建筑费用与建筑高度有关。

楼房每升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用提高5%，已知建筑5层楼房时，每平方米的建筑费用为400元，为了使该楼每平方米的平均综合费用最省（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼建成几层？

分析本题是属于综合费用最省的优化问题，问题解决的关键是寻找楼层的层数与综合费用的函数关系式，将问题转化为求函数的最值问题。

解设楼房应建成x层，

则每平方米的购地费用为=

（元）。

每平方米建筑费用为400+400（x－5）×5%（元），

∴每平方米的综合费用为

=

=

当

即该楼房每平方米的平均综合费用最少，此时

解得x≈7，因此应把楼建成7层。

总之，对于某些实际问题，可以通过建立合理的数学模型作为桥梁来解决，对于相同类型的问题，采用相同的数学模型，使学生的思维过程形象化、公式化。

这样，学生学起来不感到抽象、难懂，并能增强记忆和理解，容易被学生所接受。

。

一个学生是否具有数学的创造能力的一个重要标志是他是否有建立并应用数学模型的能力。

因此在数学教学中应充分重视培养这种能力，鼓励他们独立思考、勇于探索，发现前人尚未发现问题的新结论、新方法。

3.以社会热点问题出发，介绍建模方法

　　国家大事、社会热点、市场经济等，是初中数学建模教学的好素材，适当地选取，融入教学活动中，使学生掌握相关类型的建模方法，不但可以使学生树立正确的商品经济观念，而且还为日后能主动以数学的意识、方法、手段处理问题提供了条件。

例8：

为了防范“甲流”病毒入侵校园，根据上级疾病控制中心的要求：

每平方米的教室地面，需用质量分数为0.2%的过氧乙酸溶液200克在进行喷洒消毒。

（1）请估算：

你所在班级的教师地面面积约为平方米（精确到1平方米）；

（2）请计算：

需要用质量分数为20%的过氧乙酸溶液多少克加水稀释，才能按疾病控制中心的要求，对你所在班级的教师地面消毒一次？

分析：

设教室面积为a平方米，需用x克的水将质量分数为20%的过氧乙酸溶液进行稀释

稀释前溶质质量=稀释后溶质质量

（200a-x）•20%=200a•0.2%

X=198a

学生通过阅读本题，自然而然地想到2003年上半年那场可歌可泣的、没有硝烟的抗“非典”战争。

这是一个列方程类的应用题。

第一小题考查了学生应初步具有的估算能力，第二小题把浓度问题巧妙地融合于其中，既解决实际问题，又简单易解。

不仅使学生从中学到数学建模的方法，也让学生受到德育教育，体现了数学的社会化功能。

例9、2008年国际金融危机使我国的电子产品出口受到严重影响，在这种情况下有两个电子仪器厂仍然保持着良好的增长势头。

（1）下面的两幅统计图（图5）反映了一厂、二厂各类人员数量及工业值情况，根据统计图（图5）填空：

①一厂、二厂的技术员占厂内总人数的百分比分别是和（结果精确到1%）

②一厂、二厂2008年的产量比2007年的产值分别增长了万元和

万元。

（2）仅从以上情况分析，你认为哪个厂生产经营得好？

为什么？

分析：

本题由两幅统计图和一张统计表，分层展现了不同方面的问题，或由统计图直接得出结论，或通过简单计算得出结论，或由表到图，或基于以上分析，得出判断，问题紧密相连，设计合理，它的问题模型可分别表述为：

百分比=

（统计情景，人数，产值，两幅统计图），一厂销售情况扇形统计图=

（一厂、二厂销售情况统计表），判断结果=

（百分比，扇形统计图，判断要求）。

这里，第

（1）问重在考查识图、简单的列方程计算技能，简单易于求解，设计成了填空题；第

（2）问既要判断又要说量，使用解答题。

这样的设计是恰当的。

例10、随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加。

据统计，某小区2006年底拥有家庭轿车64辆，2008年底家庭轿车的拥有量达到100辆。

（1）若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率相同，求该小区到2009年底家庭轿车将达到多少辆？

（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位。

据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？

试写出所有可能的方案。

分析：

本题的基本对象是车位，条件有“露天车位的数量不少于室内车位的2倍”等，方案由设定的条件自然确定，从数学上说，这里的设计其实是两种不同车位数量的确定。

其问题模型可简略地表述为：

方案=

（车位，数值条件，关系条件）。

其中，第

（1）问是增长率问题，第

（2）问涉及到的数据较多，为考查学生建立不等式模型解决实际问题的应用能力，两问相连，使用解答题型，是适当的选择。

例11：

荆门火车货运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往某市。

这列货车可挂A、B两种不同规格的货厢共50节。

已知用一节A型货厢的运费是0.5万元，用一节B型资厢的运费是0.8万元。

（1）设运输这批货物的总运费为

（万元），用A型货厢的节数为

（节），试写出

与

的函数关系式；

（2）如果甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢。

按此要求安排A、B两种货厢的节数，有哪几种运输方案？

请你设计出来。

 （3）利用函数的性质说明，在这些方案中，哪种方案总运费最少？

最少运费是多少万元？

纵观近年来全国各地中考试题中考查学生解决实际问题能力的试题，需经抽象、转化建模的可谓五彩缤纷，争奇斗艳。

在市场经济大潮中，人们更加注重对普遍存在的诸如造价成本最低，产出、利润最大，风险决策、股市、期货、开源节流，扭亏增盈、最优化等问题的研究，可透过实际问题的背景，抓住本质，挖掘隐含的数量关系，抽象成函数的（区间）极值（目标）模型等。

学生通过建模求解，体会到了科学、正确决策的意义和作用，也体会到了正确的决策离不开数学。

虽然数学建模的目的是为了解决实际问题，但对于中学生来说，进行数学建模教学的主要目的并不是要他们去解决生产、生活中的实际问题，而是要培养他们的数学应用意识，掌握数学建模的方法，为将来的工作打下坚实的基础.因此，在教学时，授之以渔，尤其注重培养学生从初看起来杂乱无章的现象中抽象出恰当的数学问题的能力，即培养学生把客观事物的原型与抽象的数学模型联系起的能力。

4.以活动为手段，培养建模能力

　　利用课外活动时间开展综合实践活动课，把它作为建模教学不可分割的部分。

为了改变过去以教师为中心、以课堂讲授为主的传统教学模式，数学建模课程指导思想是：

以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。

通过教学使学生了解利用数学理论和方法去解决实际问题的全过程，提高他们学习数学的兴趣和应用数学的能力，使他们在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题。

比如为了改变过去以教师为中心、以课堂讲授为主的传统教学模式，数学建模课程指导思想是：

以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。

通过教学使学生了解利用数学理论和方法去解决实际问题的全过程，提高他们学习数学的兴趣和应用数学的能力，使他们在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题。

例12、一头大象和一只蚊子

一头大象的重量和一只蚊子的重量相等吗?

设

为一头大象的重量，

为一只蚊子的重量。

两者重量的和为

，则

。

由此方程，我们能进一步得：

;

两式等号左右分别相乘，得：

加上

：

或

取平方根：

．

这么一来，这头大象的重量（

）等于这只蚊子的重量（

）。

错在何处?

例13：

我曾以一道开放题----“王老吉易拉罐的尺寸为什么是这样的”为例进行教学：

先让学生测量出听装345ml王老吉易拉罐的高和底面直径（高约为12.3cm，底面直径为6.6cm）.然后围绕厂家为什么采用这样的尺寸，同学们展开了热烈的讨论.有的同学从审美角度去考虑（是否满足“黄金分割率”）；有的同学从经济效益的角度去考虑（是否用料最省，工时最省）；有的同学从生理学的角度去考虑（是否手感最好，饮用最方便）……虽然最后没有得到一个一致的、十分完美的结论，但这节课对于培养学生的数学应用能力和发散性思维能力起着十分重要的作用.

引导学生通过对日常生活的观察，自己选择实际问题进行建模练习，从而让学生尝到数学建模成功的“甜”和难于解决的“苦”，能拓宽视野、增长知识、积累经验.这亦符合玻利亚的“主动学习原则”，也正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之深固也”。

.

比起学习抽象的数学理论，学习与实际紧密相连的数学建模对学生更有吸引力，能够引起学生兴趣并且能用他们熟悉的数学解决的问题还有很多，在教学中改编的有：

20世纪是世界人口增长率最快的一段时期，联合国人口基金组织把1999年10月12日定为世界60亿人口日并预测到2013年将达到70亿，2028年将达到80亿，2054年将达到90亿.请对未来约半个世纪的世界人口增长率做出分析，并制出图表说明，等等。

学生对这些问题的研究，无疑会激发其学习数学的主动性，且能开拓学生创造性思维能力，养成善于发现问题，独立思考的习惯.。

例14、题目1问题解决

如图11，将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C、D重合），压平后得到折痕MN。

当

时，求

的值。

类比归纳

在图11中，若

，则

的值等于；若

，则

的值等于；若

（

为整数），则

的值等于。

（用含

的式子表示）

联系拓广

如图12，将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C、D重合），压平后得到折痕MN，设

，

，则

的值等于____________。

（用含

，

的式子表示）

考法评析：

题目1的问题是首先