第一册反函数高一数学教案模板.docx

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第一册反函数高一数学教案模板

第一册反函数_高一数学教案_模板

教学目标                 

1.使学生了解反函数的概念；

2.使学生会求一些简单函数的反函数；

3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。

教学重点                

1.反函数的概念；

2.反函数的求法。

教学难点                

反函数的概念。

教学方法                

师生共同讨论

教具装备                

幻灯片2张

第一张：

反函数的定义、记法、习惯记法。

（记作A）；

第二张：

本课时作业中的预习内容及提纲。

教学过程              

（I）讲授新课

（检查预习情况）

师：

这节课我们来学习反函数（板书课题）§2.4.1  反函数的概念。

同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法？

生：

（略）

（学生回答之后，打出幻灯片A）。

师：

反函数的定义着重强调两点：

（1）根据y=f（x）中x与y的关系，用y把x表示出来，得到x=φ（y）；

（2）对于y在c中的任一个值，通过x=φ（y），x在A中都有惟一的值和它对应。

师：

应该注意习惯记法是由记法改写过来的。

师：

由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢？

生：

一一映射确定的函数才有反函数。

（学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示）。

师：

在y=f（x）中与y=f-1（y）中的x、y，所表示的量相同。

（前者中的x与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自变量，y是函数值；后者y是自变量，x是函数值。

）

在y=f（x）中与y=f–1（x）中的x都是自变量，y都是函数值，即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y,前者中的y是后者中的x。

）

由此，请同学们谈一下，函数y=f（x）与它的反函数y=f–1（x）两者之间，定义域、值域存在什么关系呢？

生：

（学生作答，教师板书）函数的定义域，值域分别是它的反函数的值域、定义域。

师：

从反函数的概念可知：

函数y=f（x）与y=f–1（x）互为反函数。

从反函数的概念我们还可以知道，求函数的反函数的方法步骤为：

（1）由y=f（x）解出x=f–1（y），即把x用y表示出；

（2）将x=f–1（y）改写成y=f–1（x），即对调x=f–1（y）中的x、y。

（3）指出反函数的定义域。

下面请同学自看例1

（II）课堂练习  课本P68练习1、2、3、4。

（III）课时小结

本节课我们学习了反函数的概念，从中知道了怎样的映射确定的函数才有反函数并求函数的反函数的方法步骤，大家要熟练掌握。

（IV）课后作业

一、课本P69习题2.4  1、2。

二、预习：

互为反函数的函数图象间的关系，亲自动手作题中要求作的图象。

板书设计     

课题：

  求反函数的方法步骤：

定义：

（幻灯片）

注意：

       小结

一一映射确定的

函数才有反函数

函数与它的反函

数定义域、值域的关系。

同角三角函数的基本关系式

教学目标：

　　1．掌握同角三角函数之间的三组常用关系，平方关系、商数关系、倒数关系．

　　2．会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值或化简三角式．

教学重点：

　　理解并掌握同角三角函数关系式．

教学难点：

　　已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时正负号的选择；

教学用具：

　　直尺、投影仪．

教学步骤：

1．设置情境

　　与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．

2．探索研究

（1）复习任意角三角函数定义

　　上节课我们已学习了任意角三角函数定义，如图1所示，任意角的六个三角函数是如何定义的呢？

　　在的终边上任取一点，它与原点的距离是，则角的六个三角函数的值是：

　　；   ；    

　　；   ；    

（2）推导同角三角函数关系式

　　观察及，当时，有何关系？

　　当且时、及有没有商数关系？

　　通过计算发现与互为倒数：

∵．

　　由于，

　　这些三角函数中还存在平方关系，请计算的值．

　　由三角函数定义我们可以看到：

．

　　∴，现在我们将同角三角函数的基本关系式总结如下：

　　①平方关系：

　　②商数关系：

　　③倒数关系：

　　即同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切，同一个角的正切、余切之积等于1（即同一个角的正切、余切互为倒数）．上面这三个关系式，我们称之为恒等式，即当取使关系式两边都有意义的任意值时，关系式两边的值相等，在第二个式中，在第三个式中，的终边不在坐标轴上，这时式中两边都有意义，以后解题时，如果没有特别说明，一般都把关系式看成是意义的．其次，在利用同角三角函数的基本关系式时，要注意其前提“同角”的条件．

（3）同角三角函数关系式的应用

　　同角三角函数关系式十分重要，应用广泛，其中一个重要应用是根据一个角的某一个三角函数，求出这个角的其他三角函数值．

【例1】已知，且是第二象限角，求，，的值．

解：

∵，且，∴是第二或第三象限角．

　　如果是第二象限角，那么

　　如果是第三象限角，那么，

说明：

本题没有具体指出是第几象限的角，则必须由的函数值决定可能是哪几象限的角，再分象限加以讨论．

　　【例2】已知，求的值．

　　解：

，且，是第二或第三象限角．

　　如果是第二象限角，那么

　　如果是第三象限角，那么．

　　说明：

本题没有具体指出是第几象限角，则必须由的函数值决定可能是哪几象限的角，再分象限加以讨论．

　　【例3】已知为非零实数，用表示，．

　　解：

因为，所以

　　又因为，所以

　　于是   ∴

　　由为非零实数，可知角的终边不在坐标轴上，考虑的符号分第一、第四象限及第二、三象限，从而：

　　在三角求值过程中应尽量避免开方运算，在不可避免时，先计算与已知函数有平方关系的三角函数，这样可只进行一次开方运算，并可只进行一次符号说明．

　　同角三角函数关系式还经常用于化简三角函数式，请看例4

　　【例4】化简下列各式：

（1）；

（2）．

　　解：

（1）             

（2）

3．演练反馈（投影）

（1）已知：

，求的其他各三角函数值．

（2）已知，求，．

（3）化简：

解答：

（1）解：

∵，所以是第二、第三象限的角．

　　如果是第二象限的角，则：

　　又    

　　如果是第三象限的角，那么

（2）解：

∵  ∴是第二或第四象限的角

由【例3】的求法可知当是第二象限时

　　当是第四象限时

（3）解：

原式

4．本课小结

（1）同角三角函数的三组关系式的前提是“同角”，因此，……．

（2）诸如，，……它们都是条件等式，即它们成立的前提是表达式有意义．

　　（3）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．

课时作业：

1．已知，，则等于（     ）

　　A．      B．     C．        D．

2．若，则的值是（     ）

　　A．－2       B．2        C．±2           D．

3．化简

4．化简，其中为第二象限角．

5．已知，求的值．

6．已知是三角形的内角，，求值．

参考答案：

1．D；2．B；3．1；4．；5．3；6．

注：

4．略解：

原式

　　∵在第二象限

　　∴

　　∴．

6．略解：

　　由，平方得，，

　　∴　

　　∵是三角形内角

　　∴只有

　　∴，

由

　　及，联立，得：

，，

　　∴

教学目标：

　　1．理解函数的概念，了解函数三要素．

　　2．通过对函数抽象符号的认识与使用，使学生在符号表示方面的能力得以提高．

　　3．通过函数定义由变量观点向映射观点得过渡，使学生能从发展与联系的角度看待数学学习．

教学重点难点：

重点是在映射的基础上理解函数的概念；

 　　　　　　　难点是对函数抽象符号的认识与使用．

教学用具：

投影仪

教学方法：

自学研究与启发讨论式．

教学过程：

一、复习与引入

　　今天我们研究的内容是函数的概念．函数并不象前面学习的集合，映射一样我们一无所知，而是比较熟悉，所以我先找同学说说对函数的认识，如函数是什么?

学过什么函数?

　　（要求学生尽量用自己的话描述初中函数的定义，并试举出各类学过的函数例子）

　　学生举出如等，待学生说完定义后教师打出投影片，给出定义之后教师也举一个例子，问学生．

　　提问1．是函数吗?

　　（由学生讨论，发表各自的意见，有的认为它不是函数，理由是没有两个变量，也有的认为是函数，理由是可以可做．）

　　教师由此指出我们争论的焦点，其实就是函数定义的不完善的地方，这也正是我们今天研究函数定义的必要性，新的定义将在与原定义不相违背的基础上从更高的观点，将它完善与深化．

二、新课

　　现在请同学们打开书翻到第50页，从这开始阅读有关的内容，再回答我的问题．（约2-3分钟或开始提问）

　　提问2．新的函数的定义是什么?

能否用最简单的语言来概括一下．

　　学生的回答往往是把书上的定义念一遍，教师可以板书的形式写出定义，但还要引导形式发现定义的本质．

　　（板书）2．2函数

一、函数的概念

　　1．定义：

如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射就叫做A到B的函数，记作．其中原象集合A称为定义域，象集C称为值域．

　　问题3：

映射与函数有何关系?

（函数一定是映射吗?

映射一定是函数吗?

）

　　引导学生发现，函数是特殊的映射，特殊在集合A，B必是非空的数集．

　　2．本质：

函数是非空数集到非空数集的映射．（板书）

　　然后让学生试回答刚才关于是不是函数的问题，要求从映射的角度解释．

　　此时学生可以清楚的看到满足映射观点下的函数定义，故是一个函数，这样解释就很自然．

　　教师继续把问题引向深入，提出在映射的观点下如何解释是个函数?

　　从映射角度看可以是其中定义域是，值域是．

　　从刚才的分析可以看出，映射观点下的函数定义更具一般性，更能揭示函数的本质．这也是我们后面要对函数进行理论研究的一种需要．所以我们着重从映射角度再来认识函数．

　　3．函数的三要素及其作用（板书）

　　函数是映射，自然是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域．值域和对应法则．当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它．

　　例1以下关系式表示函数吗?

为什么?

（1）；        

（2）．

　　解：

（1）由有意义得，解得．由于定义域是空集，故它不能表示函数．

（2）由有意义得，解得．定义域为，值域为．

　　由以上两题可以看出三要素的作用

（1）判断一个函数关系是否存在．（板书）

　　例2下列各函数中，哪一个函数与是同一个函数．

（1）； 

（2） （3）； （4）．

　　解：

先认清，它是（定义域）到（值域）的映射，其中

　　 ．

　　再看

（1）定义域为且，是不同的；  

（2）定义域为，是不同的；

　　（4），法则是不同的；

　　而（3）定义域是，值域是，法则是乘2减1，与完全相同．

　　求解后要求学生明确判断两个函数是否相同应看定义域和对应法则完全一致，这时三要素的又一作用．

（2）判断两个函数是否相同．（板书）

　　下面我们研究一下如何表示函数，以前我们学习时虽然会表示函数，但没有相系统研究函数的表示法，其实表示法有很多，不过首先应从函数记号说起．

　　4．对函数符号的理解（板书）

　　首先让学生知道与的含义是一样的，它们都表示是的函数，其中是自变量，是函数值，连接的纽带是法则，所以这个符号本身也说明函数是三要素构成的整体．下面我们举例说明．

　　例3已知函数试求（板书）

　　分析：

首先让学生认清的含义，要求学生能从变量观点和映射观点解释，再进行计算．

　　含义1：

当自变量取3时，对应的函数值即；

　　含义2：

定义域中原象3的象，根据求象的方法知．而应表示原象的象，即．

　　计算之后，要求学生了解与的区别，是常量，而是变量，只是中一个特殊值．

　　最后指出在刚才的题目中是用一个具体的解析式表示的，而以后研究的函数不一定能用一个解析式表示，此时我们需要用其他的方法表示，具体的方法下节课再进一步研究．

三、小结

　　1.函数的定义

　　2.对函数三要素的认识

　　3.对函数符号的认识

四、作业：

略

五、板书设计

2．2函数                   例1．　　　　例3．

一.函数的概念

　　1.定义

　　2.本质                 例2．　　小结：

　　3.函数三要素的认识及作用

　　4.对函数符号的理解          

教学目标：

（1）理解交集与并集的概念；

（2）掌握有关集合的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合；

　　（3）能用图示法表示集合之间的关系；

　　（4）掌握两个较简单集合的交集、并集的求法；

　　（5）通过对交集、并集概念的讲解，培养学生观察、比较、分析、概括、等能力，使学生认识由具体到抽象的思维过程；

　　（6）通过对集合符号语言的学习，培养学生符号表达能力，培养严谨的学习作风，养成良好的学习习惯．

教学重点：

交集和并集的概念

教学难点：

交集和并集的概念、符号之间的区别与联系

教学过程设计

一、导入新课

【提问】

试叙述子集、补集的概念？

它们各涉及几个集合？

   补集涉及三个集合，补集是由一个集合及其一个子集而产生的第三个集合．由两个集合产生第三个集合不仅有补集，在实际中还有许多其他情形，我们今天就来学习另外两种．

　　回忆．

　　倾听．集中注意力．激发求知欲．

　　巩固旧知．为导入新课作准备．

　　渗透集合运算的意识．

二、新课

【引入】我们看下面图（用投影仪打出，软片做成左右两向遮启式，便于同学在“动态”中进行观察）．

【设问】

　　1．第一次看到了什么？

　　2．第二次看到了什么

　　3．第三次又看到了什么？

　　4．阴影部分的周界线是一条封闭曲线，它的内部（阴影部分）当然表示一个新的集合，试问这个新集合中的元素与集A、集B元素有何关系？

【介绍】这又是一种由两个集合产生第三个集合的情况，在今后学习中会经常出现，为方便起见，称集A与集B的公共部分为集A与集B的交集．

【设问】请大家从元素与集合的关系试叙述文集的概念．

【助学】“且”的含义是“同时”，“又”．

“所有”的含义是A与B的公共元素一个不能少．

【介绍】集合A与集合B的交集记作．读做“A交B”·

【助学】符号“”形如帽子戴在头

上，产生“交”的感觉，所以开口向下．切记该符号不要与表示子集的符号“”、“”混淆．

【设问】集A与集B的交集除上面看到的用图示法表示交集外，还可以用我们学习过的哪种方法表示？

如何表示？

【设问】与A有何关系？

如何表示？

与B有何关系？

如何表示？

【随练】写出，的交集．

【设问】大家是如何写出的？

我们再看下面的图．

【设问】

　　1．第一次看到了什么？

　　2．第二次除看到集B和外，还看到了什么集合？

　　3．第三次看到了什么？

如何用有关集合的符号表示？

　　4．第四次看到了什么？

这与刚才看到的集合类似，请用有关集合的符号表示．

　　5．第五次同学看出上面看到的集A、集B、集、集、集，它们都可以用我们已经学习过的集合有关符号来表示．除此之外，大家还可以发现什么集合？

　　6．第六次看到了什么？

　　7．阴影部分的周界是一条封闭曲线，它的内部（阴影部分）表示一个新的集合，试问它的元素与集A集B的元素有何关系？

【注】若同学直接观察到，第二、三、四次和第五次部分观察活动可不进行．

【介绍】这又是由两个集合产生第三个集合的情形，在今后学习中也经常出现，它给我们由集A集B并在一起的感觉，称为集A集B的并．

【设问】请大家从元素与集合关系仿照交集概念的叙述方法试叙述并集的概念？

【助学】并集与交集的概念仅一字之差，即将“且”改为“或”．或的含义是集A中的所有元素要取，集B中的所有元素也要取．

【介绍】集A与集B的并集记作（读作A并B）．

【助学】符号“”形如“碰杯”时的杯子，产生并的感觉，所以开口向上．切记，不要与“”混淆，更不能与“”等符号混淆．

　　观察．产生兴趣．

　　答：

图示法表示的集A．

　　答：

图示法表示集B．集A集B的公共部分·

　　答：

公共部分出现阴影．

　　倾听．观察

　　思考．答：

该集合中所有元素属于集合A且属于集合B．

　　倾听．理解．

　思考．答：

由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集．

　　倾听．记忆．

　　倾听．兴趣记忆．

　　思考：

“列举法还是描述法？

”　答：

描述法．

　　思考．议论．

　　口答结合板书．

　　想象交集的图示，或回忆交集的概念．

　　口答结合板书：

是A的子集．A．是

B的子集．

　　口答结合板书．

　　口答：

从一个集合开始，依次用其每个元素与另一个集合中的元素对照，取出相同的元素组成的集合即为所求．

　　答：

图示法表示的集A．

　　答：

集A中子集A交B的补集．

　　答：

上述区域出现阴影．

　　口答结合板书

   　答：

出现阴影．

　　口答结合板书

　　认真、仔细、整体的进行观察、想象．答：

表示集A集B的两条封闭曲线除去表示交集的封闭曲线剩余部分组成一条封闭曲线的内部所表示的集合．

　　答：

出现阴影．

　　思考：

答：

该集合中所有元素属于集合A或属于集合B．

　　倾听，理解．

　　回忆交集概念，思考．答：

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集．

　　倾听．比较．记忆．

　　倾听，记忆．

　　倾听．兴趣记忆．比较记忆，．

　　直观性原则．多媒体助学．

　　用直观、感性的例子为引入交集做铺垫．

　　渗透集合运算意识．

   直观的感知交集．

　　培养从直观、感性到理性的概括抽象能力．

　　解决难点．

　　兴趣激励．比较记忆

　　培养用描述法表示集合的能力．

　　培养想象能力．

  　　以新代旧．

　　突出重点．

　　概念迁移为能力．

　　进一步培养观察能力．

　　培养观察能力

　　以新代旧．

　　培养整体观察能力．

　　培养从直观、感性到理性的概括抽象能力．

　　解决难点．比较记忆．

　　兴趣激励，辩易混．比较记忆．

【设问】集A与集B的并集除上面看到的用图示法表示外，还可以用我们学习过的哪种方法表示？

如何表示？

【设问】与A有何关系？

如何表示？

与B有何关系？

如何表示？

【随练】写出，的并集．

【设问】大家是如何写出的？

【例1】设，，求（以下例题用投影仪打出，随用随启）．

【助练】本例实为解不等式组，用数轴法找出公共部分，写出即可．

【例2】设，

，求

【例3】设，，求

【例4】设，

，求

【助学】数轴法（略）．想象前面集A集B并集的图示法，类似地，将两个不等式区域并到一起，即为所求．其中元素2虽不属于集A倮属于集B，所以要取，元素1虽不属于集B但属于集A，所以要取，因此，只要将集A的左端点，集B的右端点组成新的不等式区域即为所求（两端点取否维持题设条件）．

【助练】以上例题，当理解并较熟练后，且结果可进一步简化时，中间一步或两步可省略．如例4．

【练习】教材第12页练习1～5．

【助练】

　　1．全集与其某个子集的交集是哪个集合？

　　2．全集与其某个子集的并集是哪个集合？

　　3．两个无公共元素的集合的交集是什么集合？

　　4．两个无公共元素的集合A、B，它们的并集如何表示？

　　5．任意集合A与其本身的交集、并集分别是什么集合？

如何表示？

　　6．任意集A与空集的交集、并集分别是什么集合？

如何表示？

　　7．与的关系如何表示？

与的关系如何表示？

【例5】设，，求

【助思】

　　1．集A、集B各是什么集合？

　　2．如何理解

　　3．本例实为求两条直线的交点或解二元一次方程组，只不过是从集合的角度提出问题解决问题．

【例6】已知A为奇数集，B为偶数集，Z为整数集，求，，，，

，

【助学】

　　1．偶数包括哪些数？

任意偶数如何表示？

偶数集（全体偶数的集合）如何表示？

　　2．奇数包括哪些数？

任意奇数如何表示？

奇数集（全体奇数的集合？

如何表示？

）

【例7】设，，，求，，，．

　　思考：

“列举法还是描述法？

”

　　答：

描述法．

　　思考．议论．

　　口答结合板书．

或

　　想象并集的图示，或回忆并集的概念．

　　口答结合板书：

A和B都是的子集．，

　　口答结合板书：

　　口答：

综合考虑两个集合，从最小数开始，哪个集合的元素都取，一个不能丢，相同元素由集合中元素的互异性只取一次．

　　审清题意．笔练结合板书．

　　解：

　　倾听．理解．

　　审清题意．口答结合板书．

　　解：

是直角三角形，且是直角三角形是等腰三角形．

　　审清题意．口答结合板书．

　　解：

是锐角三角形是钝角三角形是锐角三角形，或是钝角三角形是斜三角形．

　　审清题意．

　　画数轴．画出不等式区域．倾听．解：

 　　倾听．理解．

　　口答结合笔练和板演．

　　思考．答：

子集．

　　思考．答：

全集．

　　思考．答：

空集

　　思考．议论．答：

，或

　　思考．答：

A．，

　　思考．答：

分别是空集和A．

 　　，