正切函数教案.docx

正切函数教案.docx

《正切函数教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《正切函数教案.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

正切函数教案

正切函数教案

【篇一：

正切函数教案】

1.4.2正弦函数余弦函数的性质教案

吴平原

【教材分析】

《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的性质。

【教学目标】

1.会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数和函数

的值域

2.在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．

3.在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦．

【教学重点难点】

教学重点：

正弦函数和余弦函数的性质。

教学难点：

应用正、余弦的定义域、值域来求含有的函数的值域

【学情分析】

知识结构：

在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。

心理特征：

高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式，并了解了三角函数的周期性，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。

但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。

【教学方法】

1．学案导学：

见后面的学案。

2．新授课教学基本环节：

预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习

【课前准备】

1．学生的学习准备：

预习“正弦函数和余弦函数的性质”，初步把握性质的推导。

2．教师的教学准备：

课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。

【课时安排】1课时

【教学过程】

一、预习检查、总结疑惑

检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

二、复习导入、展示目标。

（一）问题情境

复习：

如何作出正弦函数、余弦函数的图象？

生：

描点法（几何法、五点法），图象变换法。

并要求学生回忆哪五个关键点

引入：

研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？

生：

定义域、值域、单调性、周期性、对称性等

提出本节课学习目标——定义域与值域

（二）探索研究

给出正弦、余弦函数的图象，让学生观察，并思考下列问题：

1.定义域

正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集（或）.

2.值域

（1）值域

因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度,

所以,

即

也就是说,正弦函数、余弦函数的值域都是.

（2）最值

正弦函数

①当且仅当时,取得最大值

②当且仅当时,取得最小值

余弦函数

①当且仅当时,取得最大值

②当且仅当时,取得最小值

3.周期性

由知:

正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.

定义：

对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的每一个值时,

都有,那么函数就叫做周期函数,非零常数叫做这个函数的周期.

由此可知,都是这两个函数的周期.

对于一个周期函数,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.

根据上述定义,可知：

正弦函数、余弦函数都是周期函数,都是它的周期,最小正周期是.

4.奇偶性

由

可知:

（）为奇函数,其图象关于原点对称

（）为偶函数,其图象关于轴对称

5.对称性

正弦函数的对称中心是,

对称轴是直线;

余弦函数的对称中心是,

对称轴是直线

（正（余）弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于轴的直线，对称中心为图象与轴（中轴线）的交点）.

6.单调性

从的图象上可看出:

当时,曲线逐渐上升,的值由增大到

当时,曲线逐渐下降,的值由减小到

结合上述周期性可知:

正弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增大到;在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.

余弦函数在每一个闭区间上都是增函数,其值从增加到;余弦函数在每一个闭区间上都是减函数,其值从减小到.

三、例题分析

例1、求函数y=sin（2x+）的单调增区间．

解析：

求函数的单调增区间时，应把三角函数符号后面的角看成一个整体，采用换元的方法，化归到正、余弦函数的单调性．

解：

令z=2x+，函数y=sinz的单调增区间为[，]．

由≤2x+≤得≤x≤

故函数y=sinz的单调增区间为[，]（ｋ∈Ｚ）

点评：

“整体思想”解题

变式训练1.求函数y=sin（-2x+）的单调增区间

解：

令z=-2x+，函数y=sinz的单调减区间为[，]

故函数sin（-2x+）的单调增区间为[，]（ｋ∈Ｚ）．

例2：

判断函数的奇偶性

解析：

判断函数的奇偶性，首先要看定义域是否关于原点对称，然后再看与的关系，对

（1）用诱导公式化简后，更便于判断．

解：

∵=，

∴

所以函数为偶函数．

点评：

判断函数的奇偶性时，判断“定义域是否关于原点对称”是必须的步骤．变式训练2.）

解：

函数的定义域为r，

=

===

所以函数）为奇函数．

00例3.比较sin250、sin260的大小

解析：

通过诱导公式把角度化为同一单调区间，利用正弦函数单调性比较大小

解：

∵y=sinx在[，]（k∈z），上是单调减函数，

点评：

比较同名的三角函数值的大小，找到单调区间，运用单调性即可，若比较复杂，先化间；比较不同名的三角函数值的大小，应先化为同名的三角函数值，再进行比较．

变式训练3.cos

解：

cos

由学生分析，得到结论，其他学生帮助补充、纠正完成。

五、反思总结，当堂检测。

教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。

课堂小结：

1、数学知识：

正、余弦函数的图象性质，并会运用性质解决有关问题

2、数学思想方法：

数形结合、整体思想。

七、板书设计

正弦函数和余弦函数的性质

一、正弦函数的性

质例1

二、余弦函数的性

质例2定义域、值域、单调、奇偶、周期对称例3

八、教学反思

（1）根据学生学习知识的发展过程，在推导性质的过程中让学生自己先独思考，然后小组交流，再来纠正学生错误结论，充分体现了学生的主体性，让学生活起来。

（2）关注学生的表达，表现，学生的情感需求，课堂明显就活跃，学生的积极性完全被调动起来，很多学生想表达自己的想法。

这对这些学生的后续学习的积极性是非常有帮助的。

（3）判断题、例题的选择都是根据我们以往对学生的了解而设置的，帮助学生辨析，缩短认识这些知识的时间，减少再出现类似错误的人数，在学生学习困惑时给与帮助。

【篇二：

《正切函数的图像和性质》教学设计】

《正切函数的图像和性质》教学设计

教学目标

1.知识与技能:

结合正弦函数和余弦函数的学习，能根据任意角的正切值和正切线分析得出正切函数图像的画法，理解和掌握正切函数的有关性质，并能运用图像和性质解决有关的简单问题。

2.过程与方法：

在探究正切函数基本性质和图像的过程中，逐步渗透数形结合的思想，继续培养学生的作图、读图、识图的能力和良好的数学学习习惯．3.情感态度价值观:

在教学中使学生了解问题的来龙去脉,体会事物间相互联系的原理，能在合情推理中得出结论,强调解决问题方法的落实以及数形结合思想的渗透。

教学重点：

正切函数的图像及其主要性质

教学难点

（1）利用正切线画出函数y=tanx,x∈（-

）的图像；

（k∈z）

重点难点的突破方法

由于图像能直观形象的反映出函数的性质，根据性质能够完善和理解图像，所以在本节课中可以通过数形结合的强调使用，降低学生的理解难度，从而达到对正切函数的图像和性质的理解和使用。

课前学情分析与教学用具

本节课是在学习了正弦、余弦函数的图像与性质后，继续学习又一种具体的三角函数——正切函数。

学生已经掌握了任意角的正切、正切线和与正切有关的诱导公式，这为本节课的学习提供了一定的知识保障，在此基础上，本节课将类比研究正弦和余弦函数的图像和性质的方法进一步研究正切函数的图像和性质，这也是为后面学习解析几何中，直线的斜率与它的倾斜角之间的关系等内容做好知识储备的课．

为了让学生能更加直观、形象地理解正切函数的图像、定义域、值域和它的周期性变化，将采用多媒体课件进行演示，以提高学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。

教学过程设计

【篇三：

正切教学设计】

“24.1锐角的三角函数---正切”教学设计

安徽省淮北市海宫学校牛新荣

一、教学内容解析

教学内容

上海科学技术出版社教材九年级上册24.1锐角的三角函数第1课时教学内容的地位和作用

本节课内容是有关“正切”的概念课，与以前学过的一次函数、二次函数及反比例函数有所不同，它揭示的是角度与数值（线段比值）的对应关系，且首次用符号来表示一种函数.锐角三角函数是函数知识的推广和延伸，也是对直角三角形各元素之间关系的进一步探究，是三角学的起点.正切函数概念的建立是这节课的重点和难点，在形成概念和应用概念的过程中，学生通过自主学习、合作交流解决问题，积累数学活动经验，培养抽象、建模等数学思想.锐角三角函数与勾股定理一样都是解直角三角形很重要的知识内容之一，它揭示了直角三角形中边与角之间的关系，被广泛应用于测量、建筑、工程技术和物理学中，主要是计算距离、高度和角度.正确认识锐角三角函数，是学好解直角三角形的关键，也将为以后继续学习三角函数奠定必要的基础.

对于渗透数学思想方法而言，本节课在引入概念、计算化简、解决实际问题时，都要求学生通过画图帮助分析，由图形找出直角三角形中边、角的关系，加深对锐角三角函数概念的理解和应用，是诠释数形结合的理想材料.而数与形的结合不仅是数学自身发展的需要，也是辅助概念性教学、增强元认知策略的需要，对加深理解数学知识、发展数学能力有不可替代的作用.

二、教学目标设置

1.知识与技能

（1）理解正切、坡度的概念，正切与坡度的关系；

（2）掌握正切的表示方法，并能运用正切、坡度解决问题.

2.过程与方法

让学生经历多次猜想、验证，在不断的否定与肯定的过程中，探究如何描述坡面的倾斜程度，培养学生思维的批判性、深刻性．

3.情感、态度与价值观

经历正切概念的探索过程，体会从生活中的问题抽象出数学模型的建模思想、数形结合的重要性、体验角度和数值一一对应的函数思想，培养学生的符号意识.体会正切在生活中的应用.

教学重点：

正切概念的探究

教学难点：

1.在正切概念的探究过程中，如何想到利用直角三角形的对边与邻边的比来描述坡面的倾斜程度以及把比值和角度联系起来；

2.理解正切的概念.

三、学生学情分析

在此之前学生已经学习过函数的定义和相似三角形，具备了学习锐角三角函数的知识基础；九年级上学期的学生已经具有一定的空间观念、想象力、几何语言表达能力以及逻辑推理能力.学生已有的知识、经验、能力和思想方法为新的认知活动提供了必要的基础和条件.

在研究如何描述坡面的倾斜程度的过程中，学生对所构建的直角三角形的单一元素的研究中得出：

直角三角形的锐角可以用来描述坡面的倾斜程度，而三边中的任何一条边都不可以.学生可能会想到两条边而如何又会想到两边的比值呢？

这种变换思考问题的角度对学生来说还是有困难的.另外，学生虽然学习了一些函数的知识，但是学生对角度与数值之间的对应还是第一次接触，所以对锐角三角函数概念的理解仍显抽象和困难.

基于以上原因，我将本节课的教学难点确定为：

1.在正切概念的探究过程中，如何想到利用直角三角形的对边与邻边的比来描述坡面的倾斜程度以及把比值和角度联系起来；2.理解正切的概念.

突破难点一的策略：

既然坡角可以用来描述坡面的倾斜程度，我们就想办法利用这个结论.两个锐角一样大的直角三角形（画出图形，结合图形说明）对应的坡面的倾斜程度是一样的，而这两个直角三角形相似，相似三角形的对应边成比例，这样就沟通了直角三角形中的边、角关系，从而变换角度继续探讨：

能不能利用直角三角形两边的比来描述坡面的倾斜程度呢？

突破难点二的策略：

借助几何画板，从运动的角度来实施动态化、形象化、直观化教学，进行图形的动画演示、验证，揭示了∠a的对边与∠a的邻边的比和∠a这两个变量之间一一的对应关系，因此学生会大胆地得出结论：

正切就是反应直角三角形中锐角的对边与邻边的比值和∠a之间的一种函数.从而确信正切概念建立的科学性.

四、教学策略分析

依据教学内容、教学目标以及学情分析，本节课的教学策略采用启发式与自主探究相结合的模式.教师的教法突出探究活动的组织设计与方法的引导，学生的学法突出自主、合作、探究的学习理念.整节课的探究活动采用问题引导下的自主探究，在探究中发现并掌握相关知识．具体做法如下：

以生活中的实际场景为背景创设情境，设计问题1：

怎样描述坡面的坡度（倾斜程度）呢？

因为学生对亲身经历的爬山坡有体验，所以对此展开探究.设计问题2：

爬这两段山坡会有什么不同的感受？

哪个坡面更陡？

你是如何判断的？

利用坡角的大小作出判断，这是绝大多数学生首先想到的办法，这个机会可以留给程度较差的学生，结合构建的图形口头叙述即可.而对于边的探讨，不少学生想不到，要引导学生将实际问题抽象成数学问题，构建直角三角形，利用构建的直角三角形通过举反例不断地否定.这里不光让学生体会建模的思想，还要让学生知道：

在数学中说明一个结论不成立要举反例.从而得出从单一的元素考虑：

锐角可以描述坡面的倾斜程度，而三边中的任何一条边都不可以.既然只用一边不行，我们综合考虑两条边.引出问题3：

如何改进呢？

此时给学生留时间思考、交流.突然变换角度思考问题，大多数学生都很茫然，只有少数学生有不太清晰的思路，这部分学生可以在老师的适当帮助下独立解决问题.对于多数学生，这时教师不只是引导，还要做必要的讲解.

学生在得到可以用直角三角形锐角的对边与邻边的比来描述坡面的倾斜程度的同时，还得到：

锐角和锐角的对边与邻边的比的关系：

锐角固定，锐角的对边与邻边的比也固定.此时学生可能会想到问题4：

如果角度变化了呢？

这个比值会怎样呢？

对于角度和比值之间的一一对应的函数关系，多数学生理解起来还存在思维障碍.这时教师通过几何画板的动态演示，从运动的角度直观化教学，使∠a的对边与∠a的邻边的比和∠a这两个变量之间的一一对应关系形象化，

从而让学生深刻理解了正切就是反应直角三角形中锐角的对边与邻边的比值和∠a之间的一种函数.此处教师用“几何画板”的演示起到了媒介特殊的作用----突破难点.同时“几何画板”的运用，为课堂教学注入了生命的活力，进一步增强了学生学习的积极性和求知欲望.

整个教学过程大致可以分为“提出问题---探索问题---解决问题”三个阶段.问题解决的过程，正是学生情感态度、价值观及学习能力全面发展的过程.在这样的课堂上，学生不仅学会了有条理地表述自己的观点想法，还学会了相互接纳、赞赏与互助，并不断对自己和别人的想法进行批判和反思.通过学生间的多向交流，可以使他们从多角度看到解决问题的途径.学生探索数学新知的学习过程是一个以学生已有的知识和经验为基础的主动构建的过程，要靠学生在活动中去领会.所以我将学习知识的过程和探究知识的过程统一到“尝试---探究”的全过程中来.尽可能做到让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中交流，在“探究”中创新.本节课就是这样依据知识的发生发展过程和学生的思维规律，围绕教学重点设计问题，引导学生的数学思维活动的.

五、教与学互动设计

（一）创设情境、引入新知

倾斜程度

人们在行走的过程中，自行车、汽车在行驶的过程中免不了爬坡.你有没有想过：

怎样描述坡面的坡度（倾斜程度）呢？

下面我们一起来探究.

【设计说明】通过实际问题，创设情境，引发学生产生认知盲点，激发学生学习的兴趣和探究的欲望.

（二）合作交流、探究新知

1.探究是不是可以用“坡角”来描述坡面的倾斜程度

1.探究是不是可以用“坡角”来描述坡面的倾斜程度

爬这两段山坡会有什么不同的感受？

哪个坡面更陡？

你是如何判断的？

针对学生的回答教师点评并总结：

坡角可以用来描述坡面的倾斜程度.

【设计说明】学生对亲身经历的事情有体验，更愿意积极投入去探究新知.

除此之外，你还有其它办法来比较哪个坡面更陡吗？

【设计说明】引导学生通过多种途径去探讨问题

2.探究是不是可以用“直角三角形的一边”来描述坡面的倾斜程度

预案一:

（预案二、三、四在最后）

学生可能会说出：

比较坡面的铅直高度（学生可能会说出山高，这时老师注意引导其正确表述出是坡面的铅直高度）你是怎样用坡面的铅直高度来比较哪个坡面更陡的？

学生可能会说出：

坡面的铅直高度高的更陡.大家同意他的看法吗？

请不同意的同学举反例说明（可以在黑板上画图说明，画图说明会更直观、更形象.

师总结：

回答的好极了！

这位同学值得表扬的有两点：

一是解决生活中的问题时，从中抽象出数学模型，构建直角三角形.把问题放到直角三角形中去研究，这是解决生活中问题的常用方法.二是具有批判精神，知道通过举反例的方法来说明一个结论不成立，这是解决数学问题的常用方法.这位同学不仅抽象出了数学模型，而且给出了解决问题的方法.教师板书得到的结论：

只用坡面的铅直高