第3讲统计.docx

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第3讲统计

第3讲　统　计

考情解读

（1）该部分常考内容：

样本数字特征的计算、各种统计图表；有时也会在知识交汇点处命题，如概率与统计交汇等．

（2）从考查形式上来看，大部分为填空题，重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，也会出现解答题，都属于中、低档题．

1．随机抽样

（1）简单随机抽样特点是从总体中逐个抽取．适用范围：

总体中的个体较少．

（2）系统抽样特点是将总体均分成几部分，按事先确定的规则在各部分中抽取．适用范围：

总体中的个体数较多．

（3）分层抽样特点是将总体分成几层，分层进行抽取．适用范围：

总体由差异明显的几部分组成．

2．常用的统计图表

（1）频率分布直方图

①小长方形的面积＝组距×

＝频率；

②各小长方形的面积之和等于1；

③小长方形的高＝

，所有小长方形的高的和为

.

（2）茎叶图

在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好．

3．用样本的数字特征估计总体的数字特征

（1）众数、中位数、平均数

数字特征

样本数据

频率分布直方图

众数

出现次数最多的数据

取最高的小长方形底边中点的横坐标

中位数

将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）

把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与x轴交点的横坐标

平均数

样本数据的算术平均数

每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和

（2）方差：

s2＝

[（x1－

）2＋（x2－

）2＋…＋（xn－

）2]．

标准差：

s＝

.

热点一　抽样方法

例1

（1）（2013·陕西）某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为________．

（2）某学校共有师生3200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________．

思维启迪　

（1）系统抽样时需要抽取几个个体，样本就分成几组，且抽取号码的间隔相同；

（2）分层抽样最重要的是各层的比例．

答案　

（1）12　

（2）200

解析　

（1）由

＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为

＝

＝12.

（2）本题属于分层抽样，设该学校的教师人数为x，所以

＝

，所以x＝200.

思维升华　

（1）随机抽样各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的；

（2）系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同；分层抽样满足：

各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例．

（1）某校高一、高二、高三分别有学生人数为495,493,482，现采用系统抽样方法，抽取49人做问卷调查，将高一、高二、高三学生依次随机按1,2,3，…，1470编号，若第1组有简单随机抽样方法抽取的号码为23，则高二应抽取的学生人数为________．

（2）（2014·广东）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________．

答案　

（1）17　

（2）200,20

解析　

（1）由系统抽样方法，知按编号依次每30个编号作为一组，共分49组，高二学生的编号为496到988，在第17组到第33组内，第17组抽取的编号为16×30＋23＝503，为高二学生，第33组抽取的编号为32×30＋23＝983，为高二学生，故共抽取高二学生人数为33－16＝17.

（2）该地区中、小学生总人数为

3500＋2000＋4500＝10000，

则样本容量为10000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2000×2%×50%＝20.

热点二　用样本估计总体

例2

（1）（2014·山东）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：

kPa）的分组区间为[12,13），[13,14），[14,15），[15,16），[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为___________________________________________________________________．

（2）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是根据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据（单位：

毫克/每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是________.

甲

乙

2

0.04

1

2

3

6

9

3

0.05

9

6

2

1

0.06

2

9

3

3

1

0.07

9

6

4

0.08

7

7

0.09

2

4

6

思维启迪　

（1）根据第一组与第二组的人数和对应频率估计样本总数，然后利用第三组的频率和无疗效人数计算；

（2）直接根据公式计算方差．

答案　

（1）12　

（2）甲

解析　

（1）志愿者的总人数为

＝50，

所以第三组人数为50×0.36＝18，

有疗效的人数为18－6＝12.

（2）

＝（0.042＋0.053＋0.059＋0.061＋0.062＋0.066＋0.071＋0.073＋0.073＋0.084＋0.086＋0.097）÷12≈0.0689，

＝（0.041＋0.042＋0.043＋0.046＋0.059＋0.062＋0.069＋0.079＋0.087＋0.092＋0.094＋0.096）÷12≈0.0675，

s2＝

[（0.042－0.0689）2＋（0.053－0.0689）2＋…＋（0.097－0.0689）2]≈0.000212.

s2＝

[（0.041－0.0675）2＋（0.042－0.0675）2＋…＋（0.096－0.0675）2]≈0.000429.

所以甲、乙两地浓度的方差较小的是甲地．

思维升华　

（1）反映样本数据分布的主要方式：

频率分布表、频率分布直方图、茎叶图．关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的大小，高考中常常考查频率分布直方图的基本知识，同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数，具体问题中要能够根据公式求解数据的均值、众数和中位数、方差等．

（2）由样本数据估计总体时，样本方差越小，数据越稳定，波动越小．

（1）某商场在庆元宵促销活动中，对元宵节9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为________万元．

（2）（2014·陕西）设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a（a为非零常数，i＝1,2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为________．

答案　

（1）10　

（2）1＋a,4

解析　

（1）由频率分布直方图可知：

＝

，所以x＝10.

（2）

＝1，yi＝xi＋a，

所以y1，y2，…，y10的均值为1＋a，方差不变仍为4.

热点三　概率与统计的综合应用

例3

　某高校组织自主招生考试，共有2000名优秀同学参加笔试，成绩均介于195分到275分之间，从中随机抽取50名同学的成绩进行统计，将统计结果按如下方式分成8组：

第1组[195,205），第2组[205,215），……，第8组[265,275]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，且笔试成绩在260分（含260分）以上的同学进入面试．

（1）估计所有参加笔试的2000名同学中，参加面试的同学人数；

（2）面试时，每位同学抽取两个问题，若两个问题全答错，则不能取得该校的自主招生资格；若两个问题均回答正确且笔试成绩在270分以上，则获A类资格；其他情况下获B类资格．现已知某中学有两人获得面试资格，且仅有一人笔试成绩为270分以上，在回答两个面试问题时，两人对每一个问题正确回答的概率均为

，求恰有一名同学获得该高校B类资格的概率．

思维启迪　

（1）据频率分布直方图，先计算成绩在260分以上的同学的概率，再确定面试方面的人数；

（2）列举两名同学的所有答题情况．

解　

（1）设第i（i＝1,2，…，8）组的频率为fi，则由频率分布直方图知f7＝1－（0.004＋0.01＋0.01＋0.02＋0.02＋0.016＋0.008）×10＝0.12.

所以成绩在260分以上的同学的概率P≈

＋f8＝0.14，2000×0.14＝280，

故这2000名同学中，取得面试资格的约为280人．

（2）不妨设两名同学分别为M、N，且M的笔试成绩在270分以上，则对于M，答题的可能有M11，M10，M01，M00，对于N，答题的可能有N11，N10，N01，N00，其中角标中的1表示正确，0表示错误，如N10表示N同学第一题正确，第二题错误．

将两名同学的答题情况列表如下：

M11

M10

M01

M00

N11

AB

BB

BB

CB

N10

AB

BB

BB

CB

N01

AB

BB

BB

CB

N00

AC

BC

BC

CC

表中AB表示M获A类资格，N获B类资格；

BC表示M获B类资格，N没有获得资格．

所以恰有一名同学获得该高校B类资格的概率为

＝

.

思维升华　解概率统计的综合问题的关键是从文字语言中提取数学信息，找出概率问题中的基本事件，列举基本事件总数，再利用古典概型的解法求解概率．

某企业为了增强自身竞争力，计划对职工进行技术培训，以提高产品的质量，为了解某车间对技术培训的态度与性别的关系，对该车间所有职工进行了问卷调查得到了如下的列联表：

赞成

不赞成

合计

男职工

22

8

30

女职工

8

12

20

合计

30

20

50

（1）用分层抽样的方法在不赞成的职工中抽5人进行调查，其中男职工、女职工各抽取多少人？

（2）在上述抽取的5人中选2人，求至少有一名男职工的概率．

解　

（1）在不赞成的职工中抽5人，

则抽取比例为

＝

，

所以男职工应该抽取8×

＝2（人），女职工应该抽取12×

＝3（人）．

（2）上述抽取的5人中，男职工2人记为a，b，女职工3人记为c，d，e，则从5人中选2人的所有情况为（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），共10种情况．

其中至少有一名男职工的情况有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），共7种情况．

故从上述抽取的5人中选2人，至少有一名男职工的概率为P＝

.

1．随机抽样的方法有三种，其中简单随机抽样适用于总体中的个体数量不多的情况，当总体中的个体数量明显较多时要使用系统抽样，当总体中的个体具有明显的层次时使用分层抽样．系统抽样最重要的特征是“等距”，分层抽样最重要的是各层的“比例”．

2．用样本估计总体

（1）在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应的频率，各小长方形的面积的和为1.

（2）众数、中位数及平均数的异同：

众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．

（3）当总体的个体数较少时，可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布；当总体容量很大时，通常从总体中抽取一个样本，分析它的频率分布，以此估计总体分布．

①总体期望的估计，计算样本平均值

＝

xi.②总体方差（标准差）的估计：

方差＝

（xi－

）2，标准差＝

，方差（标准差）较小者较稳定.

真题感悟

1．（2014·江苏）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：

cm），所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100cm.

答案　24

解析　底部周长在[80,90）的频率为0.015×10＝0.15，

底部周长在[90,100）的频率为0.025×10＝0.25，

样本容量为60，所以树木的底部周长小于100cm的株数为（0.15＋0.25）×60＝24.

2．（2014·重庆）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：

分）

甲组

乙组

9

0

9

x

2

1

5

y

8

7

4

2

4

已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为________．

答案　5,8

解析　由于甲组中有5个数，比中位数小的有两个数为9,12，比中位数大的也有两个数24,27，所以10＋x＝15，x＝5.又因

＝16.8，所以y＝8.

押题精练

1．某教育出版社在高三期末考试结束后，从某市参与考试的考生中选取600名学生对在此期间购买教辅资料的情况进行调研，得到如下数据：

购买图

书情况

只买试题类

只买讲解类

试题类和讲解类都买

人数

240

200

160

若该教育出版社计划用分层抽样的方法从这600人中随机抽取60人进行座谈，则只买试题类的学生应抽取的人数为________．

答案　24

解析　只买试题类的学生应抽取的人数为60×

＝24.

2．某地区对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从中抽取50辆汽车进行测速分析，得到如图所示的时速的频率分布直方图，根据该图，时速在70km/h以下的汽车有________辆．

答案　20

解析　时速在70km/h以下的汽车所占的频率为0.01×10＋0.03×10＝0.4，共有0.4×50＝20（辆）．

3．如图是一次选秀节目上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数为85，则a2＋b2的最小值是________．

答案　32

解析　方法一　根据题意，得

＝5，得a＋b＝8，则b＝8－a，a2＋b2＝a2＋（8－a）2＝2a2－16a＋64，其中a，b满足0≤a≤9,0≤b≤9，所以0≤a≤9,0≤8－a≤9，即0≤a≤8且a是整数．设函数f（a）＝2a2－16a＋64，分析知当a＝4时，f（a）取得最小值32，所以a2＋b2的最小值是32.

方法二　由a＋b＝8，且a，b≥0，得8≥2

，故ab≤16，则a2＋b2＝（a＋b）2－2ab≥64－32＝32，当且仅当a＝b＝4时等号成立，所以a2＋b2的最小值是32.

（推荐时间：

50分钟）

一、填空题

1．（2014·湖南）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则p1，p2，p3的大小关系是________．

答案　p1＝p2＝p3

解析　由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p1＝p2＝p3.

2．某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为________．

答案　64

解析　由已知，得样本容量为400＋320＋280＝1000，

所以，高中二年级被抽取的人数为

×320＝64.

3．（2013·江西）总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为________.

7816

6572

0802

6314

0702

4369

9728

0198

3204

9234

4935

8200

3623

4869

6938

7481

答案　01

解析　从第1行第5列、第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为：

08,02,14,07,01，所以第5个个体编号为01.

4．为了了解某城市今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1∶2∶3，第2小组的频数为120，则抽取的学生人数是_____________________________________________．

答案　480

解析　由频率分布直方图知：

学生的体重在65～75kg的频率为（0.0125＋0.0375）×5＝0.25，

则学生的体重在50～65kg的频率为1－0.25＝0.75.

从左到右第2个小组的频率为0.75×

＝0.25.

所以抽取的学生人数是120÷0.25＝480.

5．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：

学生

1号

2号

3号

4号

5号

甲班

6

7

7

8

7

乙班

6

7

6

7

9

以上两组数据的方差中较小的一个为s2，则s2＝______________________________________

__________________________________.

答案　

解析　

甲＝7，s2甲＝

×[（6－7）2＋（7－7）2＋（7－7）2＋（8－7）2＋（7－7）2]＝

，

乙＝7，s

＝

×[（6－7）2＋（7－7）2＋（6－7）2＋（7－7）2＋（9－7）2]＝

，

所以s

.

由两组数据中方差较小的一个为s2，即s2＝

.

6．超速行驶已成为马路上最大杀手之一，已知某路段属于限速路段，规定通过该路段的汽车时速不超过70km/h，否则视为违规．某天，有1000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时速的频率分布直方图如图所示，则违规的汽车大约有________辆．

答案　110

解析　由题意，知时速超过70km/h的为违规汽车，由频率分布直方图可以得出超过70km/h的频率为0.011×10＝0.11，所以违规的汽车大约有1000×0.11＝110（辆）．

7.某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，并用茎叶图表示出了两组数据，对两块地抽取树苗的高度的平均数

甲，

乙和中位数y甲，y乙进行比较，结论是____________________．

答案　

甲<

乙，y甲

8.从某中学高一年级中随机抽取100名同学，将他们的成绩（单位：

分）数据绘制成频率分布直方图（如图）．则这100名学生成绩的平均数、中位数分别为________．

答案　125,124

解析　由图可知（a＋a－0.005）×10＝1－（0.010＋0.015＋0.030）×10，解得a＝0.025，则

＝105×0.1＋115×0.3＋125×0.25＋135×0.2＋145×0.15＝125.中位数在120～130之间，设为x，则0.01×10＋0.03×10＋0.025×（x－120）＝0.5，解得x＝124.

9.某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字x应该是__________．

答案　1

解析　当x≥4时，

＝

≠91，

∴x<4，∴

＝91，

∴x＝1.

10．（2013·辽宁）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据，已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________．

答案　10

解析　设5个班级中参加的人数分别为x1，x2，x3，x4，x5，则由题意知

＝7，

（x1－7）2＋（x2－7）2＋（x3－7）2＋（x4－7）2＋（x5－7）2＝20，

五个整数的平方和为20，则必为0＋1＋1＋9＋9＝20，

由|x－7|＝3可得x＝10或x＝4.

由|x－7|＝1可得x＝8或x＝6.

由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10，

故最大值为10.

二、解答题

11．为了了解2014年某校高三学生的视力情况，随机抽查了一部分学生的视力，将调查结果分组，分组区间为（3.9,4.2]，（4.2,4.5]，…，（5.1,5.4]．经过数据处理，得到如下频率分布表：

分组

频数

频率

（3.9,4.2]

3

0.06

（4.2,4.5]

6

0.12

（4.5,4.8]

25

x

（4.8,5.1]

y

z

（5.1,5.4]

2

0.04

合计

n

1.00

（1）求频率分布表中未知量n，x，y，z的值；

（2）从样本中视力在（3.9,4.2]和（5.1,5.4]的学生中随机抽取2人，求2人的视力差的绝对值低于0.5的概率．

解　

（1）由表，可知样本容量为n，由

＝0.04，得n＝50.

所以x＝

＝0.5，y＝50－3－6－25－2＝14，z＝

＝

＝0.28.

（2）设样本中视力在（3.9,4.2]的3人为a，b，c，

样本视力在（5.1,5.4]的2人为d，e.

由题意得从5人任取2人的所有基本事件有：

（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（a，b），（a，c），（b，c），（d，e）共10个．

设事件A表示“抽取的2人视力差的绝对值低于0.5”，则事件A包括4个基本事件．

（a，b），（a，c），（b，c），（d，e）．所以P（A）＝

＝

.

故抽取的2人的视力差的绝对值低于0.5的概率为

.

12．某驾校在招收新学员时，从一批报名者中随机抽取了10名，用对数视力表检查得到每个学员视力状况的茎叶图（小数点前一位的数字为茎，小数点后一位的数字为叶），如图所示．若视力不低于5.0，则称该学员“视力过关”．

（1）若该组数据的平均数为4.82，求其中位数；

（2）若从这10人中随机选取2人，求至少有1人视力过关的概率．

解　

（1）由茎叶图，知该组数据的平均数为

＝

＝4.82.解得x＝9.

所以该组数据的中位数为

＝4.85.

（2）记视力不过关的人为1,2,3,4,5,6，视力过关的人为a，b，c，d.则事件的总体结果为

（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（1，a），（1，b），（1，c），（1，d），共9种（其中至少一人过关的有4种）；

（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（2，a），（2，b），（2，c），（2，d），共8种（其中至少一人过关的