初中数学中考数学考点总动员系列专题42份 人教版9.docx
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初中数学中考数学考点总动员系列专题42份人教版9
考点十：
方程（组）的应用
聚
焦考点☆温习理解
1．
列方程（组）解应用题的一般步骤
（1）审题；
（2）设未知数；
（3）找出包含未知数的等量关系式；
（4）列出方程（组；
（5）求出方程（组）的解；
（6）检验并作答．
2．各类应用题的等量关系
（1）行程问题：
路程＝速度×时间；
相遇问题：
两者路程之和＝全程；
追及问题：
快者路程＝慢者先走路程（或相距路程）＋慢者后走路程．
（2）工程问题：
工作量＝工作效率×工作时间．
（3）几何图形问题
面积问题：
体积问题还有其他几何图形问题：
如线段、周长等
（4）增长率问题：
如果基数用a表示，末数用A表示，x表示增长率，时间间隔用n表示，那么增长率问题的数量关系表示为：
a（1±x）n=A
（5）利润问题
利润=销售价-进货价
利润率=
销售价=（1+利润率）×进货价
（6）利息问题
利息=本金×利率×期数
本息和=本金+利息
名师点睛☆典例分类
考点典例一、一元一次方程的应用
【例1】（2017湖南岳阳）我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的
，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包，那么这批书共有多少本？
【答案】这批书共有1500本．
【解析】
考点：
一元一次方程的应用．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用．解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出等量（不等量）关系，列方程（不等式）求解．
（1）列方程解应用题，要抓住关键性词语，如共、多、少、倍、几分之几等，顺着题意来理清等量关系，可采用直接设未知数，也可以采用间接设未知数的方法，要根据实际情况灵活运用．
（2）当要求的未知量有两个时，可以用字母x表示其中一个，再根据两个未知量之间的关系，用含x的式子表示另一个量，解方程后，再代入求出另一个未知量的值．
【举一反三】
（2017广东深圳宝安区学二模）中国CBA篮球常规赛比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，今年某队在全部38场比赛中最少得到70分，那么这个队今年胜的场次是（ ）
A.6场B.31场C.32场D.35场
【答案】C.
【解
析】
试题分析：
设胜了x场，由题意得：
2x+（38﹣x）=70，
解得x=32．
答：
这个队今年胜的场次是32场．
故选C
考点：
一元一次方程的应用.
考点典例二、二元一次方程组的应用
【例2】（2017新疆乌鲁木齐第18题）我国古代数学名著《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：
“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何”，意思是：
鸡和兔关在一个笼子里，从上面看有
个头，从下面看有
条腿，问笼中鸡或兔各有多少只？
【答案】笼中鸡有23只，兔有12只．
【解析】
考点：
二元一次方程组的应用．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
【举一反三】
（2017浙江宁波第23题）2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“
一带一路”沿线国家和地区，已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元.
（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？
（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？
【答案】
（1）甲种商品的销售单价是900元，乙种商品的单价为600元；
（2）2.
【解析】
试题分析：
（1）设甲种商品的销售单价是x元，乙
种商品的单价为y元，根据题意建立方程求出其解即可；
（2）根据销售总收入不低于5400万元，列出一元一次不等式求解即可.
试题分析：
（1）设甲种商品的销售单价是x元，乙种商品的单价为y元.
根据题意得：
解得：
答：
甲种商品的销售单价是900元，乙种商品的单价为600元
（2）设销售甲产品a万件，则销售乙产品（8-a）万件.
根据题意得：
900a+600（8-a）≥5400
解得：
a≥2
答：
至少销售甲产品2万件.
考
点：
1.二元一次方程组的应用；2.一元一次不等式的应用.
考点典例三、分式方程的应用
【例3】（2017辽宁大连第21题）某工厂现在平均每天比原计划多生产25个零件，现在生产600个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同，原计划每天生产多少个零件？
【答案】75.
【解析】
试题分析：
设原计划平均每天生产x个零件，现在平均每天生产（x+25）个零件，根据现在生产600
个零件所需时间与原计划生产450个零件所需时间相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
试题解析：
设原计划平均每天生产x个零件，现在平均每天生产（x+25）个零件，
根据题意得：
，
解得：
x=75，
经检验，x=75是原方程的解．
答：
原计划平均每天生产75个零件．
考点：
分式方程的应用.
【点睛】此题考查了分式方程的应用，关键是读懂题意，找出题目中的数量关系，根据数量关系列出方程，分式方程解应用题．注意双重检验，先检验是否有增根，再检验是否符合题意．
【举一反三】
（2017青海西宁第9题）西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！
某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾.设乙车单独清理全部垃圾的时间为
小时，根据题意可列出方程为（）
A．
B．
C.
D．
【答案】B
【解析】
试题分析：
由题意可得，
，故选B．
考点：
分式方程的应用．
考点典例四、一元二次方程的应用
【例4】（2017广东省广州市白云区一模）我国水资源比较缺乏，人均水量约为世界人均水量的四分之一，其中西北地区缺水尤为严重．一村民为了蓄水，他把一块矩形白铁皮四个角各切去一个同样大小的小正方形后制作一个无盖水箱用于接雨水．已知白铁皮的长为280cm，宽为160cm（如图）．
（1）若水箱的底面积为16000cm2，请求出切去的小正方形边长；
（2）对
（1）中的水箱，若盛满水，这时水量是多少升？
（注：
1升水=1000cm3水）
【答案】
（1）切去的小正方形边长为40cm；
（2）这时水量为640升．
【解析】试题分析：
（1）设切去的小正方形的边长为xcm，然后用含x的式子表示水箱底面的长和宽，然后依据矩形的面积公式列方程求解即可；
（2）依据正方体的体积=底面积×高求得水的体积，然后再依据1升水=1000cm3水求解即可．
（2）在
（1）的条件下，水箱的容积=16000×40=640000cm3，
640000÷1000=640（升），
答：
这时水量为640升．
考点：
1．一元二次方程的应用；2．几何图形问题．
【点睛】
（1）现实生活中存在大量的实际应用问题，需要用一元二次方程的知识去解决，解决这类问题的关键是在充分理解题意的基础上，寻求问题中的等量关系，从而建立方程．
（2）解出方程的根要结合方程和具体实际选择合适的根，舍去不合题意的根．所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件．
【举一反三】
（2017江苏省扬州市邵樊片月考）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施.假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件.如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？
【答案】衬衫的单价降了15元．
【解析】
试题分析：
设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：
降价后的销量×每件的利润=1250，根据等量关系列出方程即可．
试题解析：
设衬衫的单价降了x元．根据题意，得
（20+2x）（40﹣x）=1250，
解得：
x1=x2=15，
答：
衬衫的单价降了15元．
考点：
一元二次方程的应用．
课时作业☆能力提升
1.（2017新疆乌鲁木齐第7题）2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木
万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多
，结果提前
天完成任务，设原计划每天植树
万棵，可列方程是（）
A．
B．
C.
D．
【答案】A.
考点：
由实际问题抽象出分式方程．
2.（2017甘肃庆阳第9题）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）
A．（32-2x）（20-x）=570B．32x+2×20x=32×20-570
C．（32-x）（20-x）=32×20-570D．32x+2×20x-2x2=570
【答案】A．
【解析】
试题解析：
设道路的宽为xm，根据题意得：
（32-2x）（20-x）=570，
故选A．
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．
3.（2017湖南省衡阳市一模）施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米。
设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】设原计划每天施工x米，则实际每天施工（x+50）米，
由题意可得：
故选A.
考点：
由实际问题抽象出分式方程．
4.（2017重庆市兼善教育集团联考）某厂改进工艺,降了产品成本,两个月内从每件产品成本250元降低到每件160元,问平均每月降低率是（）
A.20﹪B.15﹪C.10﹪D.25﹪.
【答案】A
【解析】
试题解析：
如果设平均每月降低率为x%，根据题意可得
250（1-x）2=160，
∴x1=0.2，x2=1.8（不合题意，舍去）．
故平均每月降低率为20%．
故选A.
考点：
一元二次方程的应用．
5..（2017安徽省皖东南初中联考）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A.（20﹣x）（32﹣x）=540B.（20﹣x）（32﹣x）=100
C.（20+x）（32﹣x）=540D.（20+x）（32﹣x）=100
【答案】A
【解析】试题解析：
由题意，得
种草部分的长为（32-x）m，宽为（20-x）m，
∴由题意建立等量关系，得
（20-x）（32-x）=540．
故A答案正确，
故选A．
考点：
由实际问题抽象出一元一次方程．
6.（2017江苏无锡第7题）某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（ ）
A．20%B．25%C．50%D．62.5%
【答案】C．
【解析】
考点：
一元二次方程的应用．
7.（2017甘肃兰州第10题）王叔叔从市场上买一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱，如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长
的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为
的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（）
A.
B.
C.
D
.
【答案】C
【解析】
试题解析：
由题意可得，
（80﹣2x）（70﹣2x）=3000，
故选C．
考点：
由实际问题抽象出一元二次方程．
8.（2017新疆建设兵团第8题）某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x台机
器，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B.
考点：
由实际问题抽象出分式方程．
9.（2017辽宁大连第14题）某班学生去看演出，甲种票每张30元，乙种票每张2
0元.如果36名学生购票恰好用去860元.设甲种票买了
张，乙种票买了
张，依据题意，可列方程组为.
【答案】
.
【解析】
试题分析：
设甲种票买了x张，乙种票买了y张，根据“36名学生购票恰好用去860元”作为相等关系列方程组．
设甲种票买了x张，乙种票买了y张，根据题意，得：
，故答案为
．
考点：
由实际问题抽象出二元一次方程组.
10.（2017江苏省无锡市江阴市一模）某商场将一款品牌时装按标价打九折出售，可获利80%，若按标价打七折出售，可获利______%。
【答案】40
【解析】设按标价打七折出售，设可获利x，再设成本为a元，根据题意，得
，
解得：
x=0.4=40%，
即按标价打七折出售，可获利40%；
故答案是40。
考点：
一元一次方程的应用．
11．（2017浙江省瑞安市五校联考二模）在“校园文化”建设中，某校用8000元购进一批
绿色植物，种植在礼堂前的空地处．根据建设方案的要求，该校又用7500元购进第二批绿植植物．若两次所买植物的盆数相同，且第二批每盆的价格比第一批的少10元．则第二批绿植每盆的价格为__________元．
【答案】150
【解析】
试题解
析：
设第二批绿植每盆的价格为x元，依题意有
解得：
x=150
经检验：
x=150是原方程的根.
答：
第二批绿植每盆的价格为150元.
考点：
分式方程的应用.
12.（2017四川自贡第15题）我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：
“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？
”意思是：
有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？
设大、小和尚
各有x，y人，则可以列方程组 ．
【答案】
【解析】
试题解析：
设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组：
．
考点：
由实际问题抽象出二元一次方程组.
13.（山东滨州第18题，4分）某服装厂专门安排210名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个衣袖、1个衣身、1个衣领组成.如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身15个，或衣领12个，那么应该安排名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套.
【答案】120
【解析】
试题分析：
根据题意可设x缝制衣袖，y人缝制衣身，z人缝制衣领，则x+y+z=210，
，解由它们构成的方程组可求得x=120人.
考点：
三元一次方程组的应用
14.（2017贵州遵义第25题）为厉行节能减排，倡导绿色出行，今年3月以来．“共享单车”（俗称“小黄车”）公益活动登陆我市中心城区，某公司拟在甲、乙两个街道社区投放一批“小黄车”，这批自行车包括A、B两种不同款型，请回答下列问题：
问题1：
单价
该公司早期在甲街区进行了试点投放，共投放A、B两型自行车各50辆，投放成本共计7500元，其中B型车的成本单价比A型车高10元，A、B两型自行车的单价各是多少？
问题2：
投放方式
该公司决定采取如下投放方式：
甲街区每1000人投放a辆“小黄车”，乙街区每1000人投放
辆“小黄车”，按照这种投放方式，甲街区共投放1500辆，乙街区共投放1200辆，如果两个街区共有15万人，试求a的值．
【答案】问题1：
A、B两型自行车的单价分别是70元和80元；问题2：
a的值为15．
【解析】
试题分析：
问题1：
设A型车的成本单价为x元，则B型车的成本单价为（x+10）元，根据成本共计7500元，列方程求解即可；问题2：
根据两个街区共有15万人，列出分式方程进行求解并检验即可．
试题解析：
问题1
设A型车的成本单价为x元，则B型车的成本单价为（x+10）元，依题意得
50x+50（x+10）=7500，
解得x=70，
∴x+10=80，
答：
A、B两型自行车的单价分别是70元和80元；
问题2
由题可得，
×1000+
×1000=150000，
解得a=15，
经检验：
a=15是所列方程的解，
故a的值为15．
考点：
分式方程的应用；二元一次方程组的应用．
15.（2017广西百色第24题）某校九年级10个班师生举行毕业文艺汇演，每班2个节目，有歌唱与舞蹈两类节目，年级统计后发现歌唱类节目数比舞蹈类节目数的2倍少4个.
（1）九年级师生表演的歌唱与舞蹈类节目数各有多少个？
（2）该校七、八年级师生有小品节目参与，在歌唱、舞蹈、小品三类节目中，每个节目的演出平均用时分别是5分钟、6分钟、8分钟，预计所有演出节目交接用时共花15分钟.若从20：
00开始，22：
30之前演出结束，问参与的小品类节目最多能有多少个？
【答案】
（1）九年级师生表演的歌唱类节目有12个，舞蹈类节目有8个；
（2）参与的小品类节目最多能有3个．
【解析】
（2）设参与的小品类节目有a个，
根据题意，得：
12×5+8×6+8a+15＜150，
解得：
a＜
，
由于a为整数，
∴a=3，
答：
参与的小品类节目最多能有3个．
考点：
1.一元一次不等式的应用；2.二元一次方程组的应用．
16.（2017浙江衢州第20题）根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数据如图1所示，2016年国民生产总值中第一产业、第二产业、第三产业所占比例如图2所示。
请根据图中信息，
解答下列问题：
（1）求2016年第一产业生产总值（精确到1亿元）；
（2）2016年比2015年的国民生产总值增加了百分之几（精确到1%）？
（3）若要使2018年的国民生产总值达到1573亿元，求2016年
至2018年我市国民生产总值平均年增长率
（精确到1%）。
【答案】
（1）92亿元；
（2）8%；（3）10%.
【解析】
试题分析：
（1）2016年第一产业生产总值=2016年国民生产总值×2016年第一产业国民生产总值所占百分率列式计算即可求解；
（2）先求出2016年比2015年的国民生产总值增加了多少，再除以2015年的国民生产总值即可求解；
（3）设2016年至2018年我市国民生产总值的平均增长率为x，那么2017年我市国民生产总值为1300（1+x）亿元，2018年我市国民生产总值为1300（1+x）（1+x）亿元，然后根据2018年的国民生产总值要达到1573亿元即可列出方程，解方程求解即可.
试题解析：
（1）1300×7.1%≈92（亿元）．
答：
2016年第一产业生产总值大约是92亿元；
（2）（1300﹣1204）÷1204×100%
=96÷1204×100%
≈8%．
答：
2016年比2015年的国民生产总值大约增加了8%；
（3）设2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率为x，
依题意得1300（1+x）2=1573，
∴1+x=±1.21，
∴x=10%或x=﹣2.1（不符合题意，故舍去）．
答：
2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率约为10%．
考点：
1.一元二次方程的应用；2.扇形统计图；3.条形统计图.
17.（2017重庆A卷第23题）某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．
（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？
（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额比他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．
【答案】
（1）果农今年收获樱桃至少50千克；
（2）12.5
【解析】
试题分析：
（1）利用枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，表示出两种水果的质量，进而得出不等式求出答案；
（2）根据果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额比他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同得出等式，进而得出答案.
试题解析：
（1）设该果农今年收获樱桃x千克，
根据题意得：
400﹣x≤7x，
解得：
x≥50，
答：
该果农今年收获樱桃至少50千克；
考点：
1.一元二次方程的应用；2.一元一次不等式的应用.
18.（2017江苏盐城第23题）某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．
（1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？
（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？
【答案】
（1）2014年这种礼盒的进价是35元/盒．
（2）年增长率为20%．
【解析】
试题分析：
（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x-11）元/盒，根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设年增长率为m，根据数量=总价÷单价求出2014年的购进数量，再根据2014年的销售利润×（1+增长率）2=2016年的销售利润，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
试题解析：
（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x-11）元/盒，
根据题意得：
，
解得：
x=35，
经检验，x=35是原方程的解．
答：
2014年这种礼盒的进价是35元/盒．
（2）设年增长率为m，
2014年的销售数量为3500÷35=100（盒）．
根据题意得：
（60-35）×100（1+a）2=（60-35+11）×100，
解得：
a=0.2=20%或a=-2.2（不合题意，舍去）．
答：
年增长率为20%．
考点：
一元二次方程的应用；分式方程的应用．
19.（2017安徽省淮南市潘集区联考）汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设．某汽车销售公司2015年盈利1500万元，到2017年盈利2160万元，且从2015年到2017年，每年盈利的年增长率相同．
（1）该公司2016年盈利多少万元？
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2018年盈利多少万元？
【答案】
（1）2016年该公司盈利1800万元
（2）预计2008年该公司盈利2592万元
【解析】试题分析：
（1）设每年盈利的年增长率为x，根据相等关系是“2017年盈利=2015年盈利×（1+每年盈利的年增长率）2”，列出方程并解方程求得增长率，再由“2016年盈利=2015年盈利×每年盈利的年增长率”计算出2016年盈利即可；
（2）由“2018年盈利=2017年盈利×每年盈利的年增长率”计算出2018年盈利即可．
试题解析：
（1）设每年盈利的年增
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