最优化方法用Lingo对线性规划进行灵敏度分析.docx
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最优化方法用Lingo对线性规划进行灵敏度分析
最优化方法——用Lingo对线性规划进行灵敏度分析
lingo软件求解线性规划及灵敏度分析注:
以目标函数最大化为例进行讨论，对求最小的问题，有类似的分析方法～所有程序运行环境为lingo10。
一、用lingo软件求解线性规划
例1:
max23zxy,，
stxy..4310，,3512xy，,
xy,0,
在模型窗口输入:
model:
max=2*x+3*y;
4*x+3*y<=10;
3*x+5*y<12;
!
theoptimalvalueis:
7.454545;
End
如图所示:
运行结果如下（点击工具栏上的‘solve’或点击菜单‘lingo’下的‘solve’即可）:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
7.454545（最优解函数值）
Totalsolveriterations:
2（迭代次数）
1
Variable（最优解）ValueReducedCost
X1.2727270.000000
Y1.6363640.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
17.4545451.000000
20.0000000.9090909E-01
30.0000000.5454545例2:
max54zxx,，12
stxxx..390，，,123
280xxx，，,124
xxx，，,45125
x,0
在模型窗口输入:
model:
max=5*x1+4*x2;
x1+3*x2+x3=90;
2*x1+x2+x4=80;
x1+x2+x5=45;
end
运行（solve）结果如下:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
215.0000
Totalsolveriterations:
3
VariableValueReducedCost
X135.000000.000000
X210.000000.000000
X325.000000.000000
X40.0000001.000000
X50.0000003.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
1215.00001.000000
20.0000000.000000
30.0000001.000000
40.0000003.000000
例3
2
min2zxx,,，23
stxxx..22,，,123
xxx,，,31234
xxx,，,2235
x,0
在模型窗口输入:
model:
min=-x2+2*x3;
x1-2*x2+x3=2;
x2-3*x3+x4=1;
x2-x3+x5=2;
end
运行结果如下:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
-1.500000
Totalsolveriterations:
2
VariableValueReducedCost
X22.5000000.000000
X30.50000000.000000
X16.5000000.000000
X40.0000000.5000000
X50.0000000.5000000
RowSlackorSurplusDualPrice
1-1.500000-1.000000
20.0000000.000000
30.0000000.5000000
40.0000000.5000000例4:
minxyz，，
stxy..1，,
24xz，,
在模型窗口输入:
model:
min=@abs（x）+@abs（y）+@abs（z）;
x+y<1;
2*x+z=4;
@free（x）;
@free（y）;
@free（z）;
3
End
求解器状态如下:
（可看出是非线性模型～）
运行结果为:
Linearizationcomponentsadded:
Constraints:
12
Variables:
12
Integers:
3
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
3.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
4
VariableValueReducedCost
X2.0000000.000000
Y-1.0000000.000000
Z0.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
13.000000-1.000000
20.0000001.000000
30.000000-1.000000二、用lingo软件进行灵敏度分析实例
例5:
4
max603020Sxyz,，，
8648xyz，，,
421.520xyz，，,21.50.58xyz，，,
y,5
xyz,,0,
在模型窗口输入:
Lingo模型:
model:
max=60*x+30*y+20*z;
8*x+6*y+z<48;
4*x+2*y+1.5*z<20;
2*x+1.5*y+0.5*z<8;
y<5;
end
（一）求解报告（solutionreport）
通过菜单Lingo?
Solve可以得到求解报告（solutionreport）如下:
Globaloptimalsolutionfoundatiteration:
0
Objectivevalue:
280.0000
VariableValueReducedCost
X2.0000000.000000
Y0.0000005.000000
Z8.0000000.000000
RowSlackorSurplusDualPrice
1280.00001.000000
224.000000.000000
30.00000010.00000
40.00000010.00000
55.0000000.000000分析Value,ReducedCost，SlackorSurplus，DualPrice的意义如下:
1、最优解和基变量的确定
Value所在列给出了问题的最优解。
由于基变量取值非零，因此Value所在列取值非零的决策变量x,z是基变量。
2、差额成本
ReducedCost（或opportunitycost）所在列的三个数值表示当决策变量取值增加一个单位时，目标函数值的减少量。
例如:
第2个数5表示当变量y增加一个单位时，最优目标函数值减少的量。
例如:
当y=1时，最优目标函数值为280-5=275。
可通过如下模型可检验:
model:
max=60*x+30*y+20*z;
8*x+6*y+z<48;
4*x+2*y+1.5*z<20;
5
2*x+1.5*y+0.5*z<8;
y<5;
y=1;
end
注:
（1）换一个角度说，就是目标函数中变量y的系数增加5，那么生产y才会有利～
（2）基变量的ReducedCost值为0，只有非基变量的ReducedCost值才可能不为0;故由value,和ReducedCost值分析可知y为非基变量。
3、松弛变量取值
SlackorSurplus所在列的各数表示各行的松弛变量的取值。
目标函数行的SlackorSurplus值没啥意义，不用考虑。
可通过如下模型检验:
model:
max=60*x+30*y+20*z;
8*x+6*y+z+s1=48;
4*x+2*y+1.5*z+s2=20;
2*x+1.5*y+0.5*z+s3=8;
y+s4=5;
end
4、对偶价格（影子价格）
DualPrice所在列的各数表示相应约束条件的右端常数增加一个单位时，最优目标函数值的增加量。
注，只有紧约束行的DualPrice值不为0。
例如:
要检验第二行约束，可通过如下模型:
model:
max=60*x+30*y+20*z;
8*x+6*y+z<48;
4*x+2*y+1.5*z<21;
2*x+1.5*y+0.5*z<8;
y<5;
end
（二）灵敏度分析报告
首先设置:
Lingo?
Options?
Generalsolver?
Dualcomputations?
PricesandRange。
当求解完成后，最小化求解报告窗口，然后点击菜单Lingo?
Range，可得灵敏度分析报告:
Rangesinwhichthebasisisunchanged:
ObjectiveCoefficientRanges
CurrentAllowableAllowable
VariableCoefficientIncreaseDecrease
X60.0000020.00000
4.000000
Y30.000005.000000INFINITY
Z20.000002.5000005.000000
RighthandSideRanges
RowCurrentAllowableAllowable
RHSIncrease
6
Decrease
248.00000INFINITY24.00000
320.000004.0000004.000000
48.0000002.0000001.333333
55.000000INFINITY5.000000
分析ObjectiveCoefficientRanges，RighthandSideRanges的意义如下:
1、目标函数中系数的变化对最优基的影响
ObjectiveCoefficientRanges表示目标函数行各系数在某个范围内变化时，最优基保持不变。
以变量x的系数为例:
当x的系数在内取值时，最优6046020,，，，
基保持不变。
此时，最优解不变，最优目标函数值变了。
例如:
可通过如下模型检验:
model:
max=56.0001*x+30*y+20*z;
8*x+6*y+z<48;
4*x+2*y+1.5*z<20;
2*x+1.5*y+0.5*z<8;
y<5;
end
2、约束条件右端常数变化对最优基的影响
RighthandSideRanges表示约束右端项各数在某个范围内变化时，最优基保持不
482448,，,变。
以第一个约束行为例:
当右端项在内取值时，最优基保持不变。
此，，
时，最优解，目标函数的最优值变化了。
例如:
可通过如下模型检验:
model:
max=60*x+30*y+20*z;
8*x+6*y+z<4800;
4*x+2*y+1.5*z<20;
2*x+1.5*y+0.5*z<8;
y<5;
end
注:
关于lingo软件的更广泛的应用见相关参考书或者lingo软件的帮助文档～～
lingo常用约束函数
定义x为0-1变量@bin（x）
定义x为整数变量@gin（x）
X无限制（lingo模型里面，变量被默认为非负，即任意变量x>=0）@free（x）
@bnd（a,x,b）A练习:
1、建立线性规划模型并求解
1t10t5tAB
（1）某工厂生产甲、乙两种产品。
已知生产甲种产品需耗种矿石、种矿石、4t1t4t4t9t1tAB煤;生产乙种产品需耗种矿石、种矿石、煤。
每甲种产品的利润是6001t1000A元，每乙种产品的利润是元。
工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗种
7
300t200t360t矿石不超过、种矿石不超过、煤不超过。
甲、乙两种产品应各生产多少，B
能使利润总额达到最大,
（2）设有A，A2两个香蕉基地，产量分别为60吨和80吨，联合供应B1B，，B3三个销地12的销售量经预测分别为50吨、50吨和40吨。
两个产地到三个销地的单位运价如下表所示:
表1（单位运费:
元/吨）
问每个产地向每个销地各发货多少，才能使总的运费最少,
2、用Lingo软件对下列线性规划问题进行灵敏度分析。
（1）
min33,，，xxx123
stxxx..25,，,123
2316xxx,，,123
xx，,1212
xxx,,0,123
（2）
max2xx，12
stxxx..5，，,123
，，,xxx0124
6221xxx，，,125
xx,,0？
15
（3）
max30354045xxxx，，，1234
stxxxx..346470，，，,1234436580xxxx，，，,1234
xi,,01,2,3,4，，i
3、综合题
某工厂用甲，乙两种原料生产A,B,C,D四种产品，每种产品的利润、现有原料数量及每种
产品消耗原料定额如下表:
每万件产品所耗原料（千克）现有原料（千克）ABCD甲3210418乙0022.53每万件产品利润（万元）985019问题:
8
（1）怎样组织生产才能使总利润最大,
（2）如果产品A的利润有波动，波动范围应限制在什么范围内，才能使得原生产计划不变,
（3）若原料甲的数量发生变化，在什么范围内变化时才能使得原生产计划不变,（4）若工厂引进新产品E，已知生产1万件E消耗原料甲3千克，材料乙1千克，问E的利润为至少为多少时，投资才有利,（提示:
利用差额成本分析～）
要求:
建立相应的数学模型，用Lingo进行分析。
model:
model:
max=9*x1+8*x2+50*x3+19*x4;max=9*x1+8*x2+50*x3+19*x4+x5;3*x1+2*x2+10*x3+4*x4<=18;3*x1+2*x2+10*x3+4*x4+3*x5<=18;2*x3+2.5*x4<=3;2*x3+2.5*x4+x5<=3;endend
9
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