与名师对话文 平面向量的概念及线性运算.docx

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与名师对话文平面向量的概念及线性运算

第一节　平面向量的概念及线性运算

高考概览：

1.平面向量的实际背景及基本概念：

（1）了解向量的实际背景；

（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；（3）理解向量的几何表示；2.向量的线性运算：

（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；

（2）掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义；（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义．

[知识梳理]

1．向量的有关概念

（1）向量：

既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）．

（2）零向量：

长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．

（3）单位向量：

长度等于1个单位的向量．

（4）平行向量：

方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量，任一组平行向量都可以移到同一条直线上．

规定：

0与任一向量平行．

（5）相等向量：

长度相等且方向相同的向量．

（6）相反向量：

长度相等且方向相反的向量．

2．向量的线性运算

3.两个向量共线定理

向量b与a（a≠0）共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.

[辨识巧记]

1．两个要点

理解向量相关概念时，抓住两个要点：

大小、方向．

2．两种特殊向量

（1）零向量的方向可任意．

（2）任意方向上都有单位向量．

[双基自测]

1．判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）零向量与任意向量平行．（　　）

（2）若a∥b，b∥c，则a∥c.（　　）

（3）向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．（　　）

（4）当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．（　　）

[答案]　

（1）√　

（2）×　（3）×　（4）√

2．若A、B、C、D是平面内任意四点，给出下列式子：

①＋＝＋；②＋＝＋；③－＝＋.其中正确的有（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

[解析]　①式的等价式是－＝－，左边＝＋，右边＝＋，不一定相等；②式的等价式是－＝－，＋＝＋＝成立；③式的等价式是－＝＋，＝成立．故选C.

[答案]　C

3．在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝（　　）

A.b＋cB.c－b

C.b－cD.b＋c

[解析]　如图所示，可知＝＋（－）＝c＋（b－c）＝b＋c.故选A.

[答案]　A

4．（必修4P92A组T11改编）在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为（　　）

A．平行四边形B．矩形

C．梯形D．菱形

[解析]　∵＝＋＋＝（a＋2b）＋（－4a－b）＋（－5a－3b）＝－8a－2b＝2，

∴∥且||＝2||.

∴四边形ABCD为梯形．故选C.

[答案]　C

5．（必修4P78A组T5改编）已知三角形ABC，用与表示BC边上的中线向量，则＝________.

[解析]　＝＋＝＋＝＋（－）＝（＋）．

[答案]　（＋）

考点一　平面向量的基本概念

【例1】　给出下列命题：

①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④“a＝b”的充要条件是“|a|＝|b|且a∥b”．

其中真命题的序号是________．

[解析]　①不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．

②正确，因为＝，所以||＝||且∥，又因为A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形．反之，若四边形ABCD为平行四边形，则∥且||＝||，因此，＝.故“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件．

③正确，因为a＝b，所以a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，所以b，c的长度相等且方向相同，所以a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.

④不正确，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要条件，而是必要不充分条件．

综上所述，真命题的序号是②③.

[答案]　②③

向量概念的注意点

（1）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．

（2）共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．

（3）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．

（4）非零向量a与的关系是：

是a方向上的单位向量．

[对点训练]

1．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k（　　）

A．共线B．不共线

C．共线且同向D．不一定共线

[解析]　若n≠0，则m与k共线；若n＝0，则m与k不一定共线．故选D.

[答案]　D

2．给出下列命题：

①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量与相等．则所有真命题的序号是（　　）

A．①B．③C．①③D．①②

[解析]　根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量与互为相反向量，故③错误．故选A.

[答案]　A

考点二　平面向量的线性运算

【例2】　

（1）（2018·全国卷Ⅰ）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（　　）

A.－B.－

C.＋D.＋

（2）（2019·河北保定定州中学期中）如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝（　　）

A.B.

C.D．2

[解析]　

（1）∵E是AD的中点，∴＝－，∴＝＋＝－＋，又知D为BC的中点，∴＝（＋），因此＝－（＋）＋＝－，故选A.

（2）＝＋，

＝＋＝＋，＝－.

∴＝λ＋μ＝λ＋μ（－）＝（λ－μ）＋，

∴解得λ＝，μ＝.

∴λ＋μ＝，故选B.

[答案]　

（1）A　

（2）B

向量的线性运算规律

（1）在向量线性运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．

（2）结合图形的几何性质，利用向量加、减法的运算法则进行向量的分解与合成运算，且要有目标意识，逐步向已知向量转化，最终达到目标．

[对点训练]

1．（2019·云南曲靖一中月考）在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且＝2，＝3，若＝a，＝b，则＝（　　）

A.a＋bB.a－b

C．－a－bD．－a＋b

[解析]　

＝＋

＝＋

＝（－）－

＝－－＝－a－b，故选C.

[答案]　C

2．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝（　　）

A．－a＋bB．－a＋b

C．a＋bD．－a＋b

[解析]　由＝3得4＝3＝3（a＋b），

又＝a＋b，

所以＝－＝（a＋b）－＝－a＋b.故选A.

[答案]　A

考点三　共线向量定理及应用

【例3】　设两个非零向量a与b不共线．

（1）若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b）．

求证：

A，B，D三点共线；

（2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

[思路引导]　

（1）→

（2）→→

[解]　

（1）证明：

∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b）．

∴＝＋＝2a＋8b＋3（a－b）＝5（a＋b）＝5.

∴，共线，又它们有公共点，∴A，B，D三点共线．

（2）∵ka＋b与a＋kb共线，

∴存在实数λ，使ka＋b＝λ（a＋kb），

即（k－λ）a＝（λk－1）b.

又a，b是两不共线的非零向量，

∴k－λ＝λk－1＝0.∴k2－1＝0，∴k＝±1.

（1）向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．

（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

[对点训练]

1．已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则（　　）

A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线

C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线

[解析]　∵＝＋＝2a＋6b＝2，∴与共线，由于与有公共点B，因此A，B，D三点共线，故选B.

[答案]　B

2.如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．

[解析]　∵＝

∴＝m＋

＝m＋

∵B、P、N三点共线，∴m＋＝1.

m＝.

[答案]　

课后跟踪训练（二十七）

基础巩固练

一、选择题

1．给出下列命题：

①向量的长度与向量的长度相等；

②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；

③|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同；

④若非零向量a与非零向量b的方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同．

其中叙述错误的命题的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

[解析]　对于②：

当a＝0时，不成立；

对于③：

当a，b之一为零向量时，不成立；

对于④：

当a＋b＝0时，a＋b的方向是任意的，它可以与a，b的方向都不相同．故选C.

[答案]　C

2．在矩形ABCD中，AB＝2AD，M，N分别为AB与CD的中点，则在以A，B，C，D，M，N为起点与终点的所有向量中，相等向量的对数为（　　）

A．9B．11C．18D．24

[解析]　由题意可得，＝＝，有3对相等向量；＝＝＝，有6对相等向量，＝，有1对相等向量；＝，有1对相等向量，＝，有1对相等向量，总共12对．同理，与它们的方向相反的相等向量也有12对，总共24对，故选D.

[答案]　D

3．在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝（　　）

A.＋B.＋

C.＋D.＋

[解析]　因为＝－2，所以＝2.又M是BC的中点，所以＝（＋）＝（＋＋）＝（＋＋）＝＋，故选B.

[答案]　B

4．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于（　　）

A.a＋bB.a＋b

C.a＋bD.a＋b

[解析]　如图所示，＝＋，由题意知，＝a＋b，＝a－b，DE∶BE＝1∶3＝DF∶AB，所以＝.所以＝＋＝a＋b＋＝a＋b.故选B.

[答案]　B

5．（2019·河北三市联考）已知e1，e2是不共线向量，a＝me1＋2e2，b＝ne1－e2，且mn≠0，若a∥b，则等于（　　）

A．－B.C．－2D．2

[解析]　∵a∥b，∴a＝λb，即me1＋2e2＝λ（ne1－e2），则故＝－2.故选C.

[答案]　C

二、填空题

6．（2019·河北邯郸模拟）设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.

[解析]　由于λa＋b与a＋2b平行，所以存在μ∈R，使得λa＋b＝μ（a＋2b），即（λ－μ）a＋（1－2μ）b＝0，因为向量a，b不平行，所以λ－μ＝0,1－2μ＝0，解得λ＝μ＝.

[答案]　

7．（2018·四川成都期中）在△ABC中，＝a，＝b，M是CB的中点，N是AB的中点，且CN、AM交于点P，则＝________（用a，b表示）．

[解析]　如图所示，＝＋

＝－＋

＝－＋×（＋）

＝－＋＋

＝－＋

＝－a＋b.

[答案]　－a＋b

8．在△ABC中，＝2，＝＋λ，则λ＝________.

[解析]　∵A、D、B共线，∴＋λ＝1，∴λ＝.

[答案]　

三、解答题

9．如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，求2r＋3s的值．

[解]　解法一：

根据图形，由题意可得＝＋＝＋＝＋（＋＋）＝＋（＋）＝＋（＋）＝＋.

∵＝r＋s，

∴r＝，s＝，2r＋3s＝3.

解法二：

如图，延长AD，BC交于点P，则由＝得DC∥AB，且AB＝4DC，

又＝2，所以E为PB的中点，且＝.

于是，＝（＋）＝（＋）＝＋.

∵＝r＋s，

∴r＝，s＝，2r＋3s＝3.

10．设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.

（1）求证：

A，B，D三点共线；

（2）若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．

[解]　

（1）证明：

由已知得＝－＝（2e1－e2）－（e1＋3e2）＝e1－4e2.

因为＝2e1－8e2，所以＝2.

又有公共点B，所以A，B，D三点共线．

（2）由

（1）可知＝e1－4e2，且＝3e1－ke2，

由B，D，F三点共线得＝λ，

即3e1－ke2＝λe1－4λe2，

得解得k＝12.

能力提升练

11．（2018·辽宁沈阳二中月考）已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝（　　）

A．2B．3C．4D．5

[解析]　由＋＋＝0知，点M为△ABC的重心，设D为边BC的中点，则＝＝×（＋）＝（＋），所以有＋＝3，故m＝3.故选B.

[答案]　B

12．（2019·山东潍坊一模）若M是△ABC内一点，且满足＋＝4，则△ABM与△ACM的面积之比为（　　）

A.B.C.D．2

[解析]　设AC的中点为D，则＋＝2，于是2＝4，从而＝2，即M为BD的中点，于是＝＝＝.故选A.

[答案]　A

13．（2019·江西南昌调研）设e1，e2是平面内两个不共线的向量，＝（a－1）e1＋e2，＝be1－2e2（a>0，b>0），若A，B，C三点共线，则ab的最大值是________．

[解析]　若A，B，C三点共线，则存在一个实数λ，

使得＝λ，∴（a－1）e1＋e2＝λ（be1－2e2），

即∴b＝2－2a.

∴ab＝a（2－2a）＝2a－2a2＝－22＋，

当a＝，b＝1时，ab有最大值，最大值为.

[答案]　

14.设，不共线，求证：

点P，A，B共线的充要条件是：

＝λ＋μ且λ＋μ＝1，λ，μ∈R.

[证明]　“充分性”：

由＝λ＋μ，且λ＋μ＝1

得＝λ＋（1－λ）

＝＋λ（－）

∴－＝λ

即：

＝λ，∴P、A、B三点共线

“必要性”：

由P、A、B三点共线，有＝λ，

∴－＝λ（－）

整理得＝λ＋（1－λ），令μ＝1－λ，则＝λ＋μ且λ＋μ＝1，λ，μ∈R，

综上，P，A，B共线的充要条件是＝λ＋μ且λ＋μ＝1，λ，μ∈R.

拓展延伸练

15．（2019·陕西铜川质检）已知P为△ABC所在平面内一点，＋＋＝0，||＝||＝||＝2，则△ABC的面积等于（　　）

A.B．2C．3D．4

[解析]　因为＋＋＝0，所以＝－（＋）．

由平行四边形法则可知，以，为边组成的平行四边形的一条对角线与反向，且长度相等．因为||＝||＝||＝2，所以以，为边的平行四边形为菱形，且除BC外的对角线长为2，所以BC＝2，∠ABC＝90°，

所以S△ABC＝AB·BC＝×2×2＝2，故选B.

[答案]　B

16．（2019·辽宁丹东五校协作体联考）P是△ABC所在平面上的一点，满足＋＋＝2，若S△ABC＝6，则△PAB的面积为________．

[解析]　∵＋＋＝2＝2（－），

∴3＝－＝.∴∥，且方向相同，

∴＝＝＝3，∴S△PAB＝＝2.

[答案]　2