第七章线性变换习题答案docx.docx

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第七章线性变换习题答案docx

第七章线性变换

3.在P[x]中,Af（x）=f'（x）,Bf（x）=xf（x）,证明：

AB—BA=E.

『解题提示』直接根据变换的定义验证即可.

证明任取/（x）eP[x\,则有

-BA）f（x）=ABf{x）-BA=A（VW）-B（/Xx））

=（#（x））f-矿（x）=/（%）=Ef（x）,

于是A3—BA=E.

4.设A,B是线性变换，如果A3—BA=E,证明：

AkB-BAk=kAk^,k>l.

『解题提示』利用数学归纳法进行证明.

证明当k=2时，由于AB—BA=E,可得

A-B—BA2=A（AB-BA）+（AB-BA）A=2A,

因此结论成立.

假设当k=s时结论成立，即ASB-BAs=sAs~'.那么，当k=s+1时，有

AS+1B-BAS+1=A（ASB-BAS）+（AB-BA）A，=sA'+A'=（s+l）A',即对k^s+1结论也成立.从而，根据数学归纳法原理，对一切上〉1结论都成立.

『特别提醒』由A°=E可知，结论对上=1也成立.

5.证明：

可逆映射是双射.

『解题提示』只需要说明可逆映射既是单射又是满射即可.

证明设A是线性空间V上的一个可逆变换.对于任意的，如果Aa=AJ3,那么，用

作用左右两边，得到a=A~XAa）=Ax（A/3}=/3,因此A是单射；另外，对于任意的心，存在a=A'^eV,使得Aa=A（A}j3）=]3，即A是满射.于是A是双射.

『特别提醒』由此结论可知线性空间V上的可逆映射A是V到自身的同构.

6.设%是线性空间v的一组基，A是V上的线性变换，证明A可逆当且仅当

A£},Ac2,,AEn线性无关.

证法1若A是可逆的线性变换，设*0曷+似4%++&'句=0，即

A（&+k2e2++kn£n）=0.

而根据上一题结论可知A是单射，故必有化与++kn£n=0,又由于£],&,,是线性无关的,

因此kx=k2==kn=0.从而AevAc2,,Aen线性无关.

反之，若Aq』％是线性无关的，那么AevAe2,,Asn也是V的一组基.于是，根据

教材中的定理1,存在唯一的线性变换3，使得B（Ae,）=与，z=1,2,,n.显然

BA）=£■>AB（A£;）=A£i,z=1,2,,n.

再根据教材中的定理1知，AB=BA=E.所以A是可逆的.

证法2设A在基£[,%下的矩阵为A，即

A01/2，,£„）=（A£},A£2,,A£ii）=（£1,£2,,en）A.

由教材中的定理2可知，A可逆的充要条件是矩阵4可逆.

因此，如果A是可逆的，那么矩阵A可逆，从而A£{,As2,,Aen也是V的一组基，即是线性无关的.反之，如果A£vAe2,,Aen是线性无关，从而是V的一组基，且A是从基号，，&到的过渡矩阵，因此4是可逆的.所以A是可逆的线性变换.

『方法技巧』|方法1利用了上一题的结论及教材中的定理1构造A的逆变换；方法2借助教材中的定理2,将线性变换A可逆转化成了矩阵0可逆.

9.设三维线性空间V上的线性变换A在基£i，&2，&3下的矩阵为

1）求A在基易,&2，£1下的矩阵;

2）求A在基屈2,饥下的矩阵，其中上£尸且上力0;

3）求A在基与+£2，&，与下的矩阵.

『解题提示』可以利用定义直接写出线性变换的矩阵，也可以借助同一个线性变换在两组不同基下的矩阵是相似的进行求解.

解1）由于

A&2=.2*1+。

22&2+%2*3=%0号+。

22曷+四，£[，

A+%]£'2+%]号=%]号+%i晶+%]&].

故A在基易,£2，弓下的矩阵为

2）由于

Aq=%两+。

2而+%£3=。

11旦+-a^k£,+%弓，

k

Ake2=饥2&1+炕2与+炕2&3=饥2与+a22^£2+炕2^3,

A么=知旦+a*+角3与=知与+-ag+a好3.

k

故A在基%屈2,诳下的矩阵为

'«11

kan

%3

尻=

1

1

后⑶

。

22

£。

23

（“31

如32

“33J

3）由于从到£1+£2，£2，易的过渡矩阵为

'100、

X=110

\00b

故A在基q+£2，£2，名下的矩阵为

<1

0

（）、

-1

/

。

11

%2

。

13

'10

（）、

/

“11+"12

“12

。

13

^3=

1

1

0

a21

。

22

。

23

1

1

0

=

%

—。

]]+缶2—“12

^3^22^^12

%—。

13

3

0

b

[%

a33j

<0

0

1/

k

%]+%2

%2

%37

『方法技巧』根据线性变换的矩阵的定义，直接给出了1）和2）所求的矩阵；3）借助了过渡矩阵，利用相似矩阵得到了所求矩阵.事实上，这三个题目都可以分别用两种方法求解.

10.设A是线性空间V上的线性变换，如果尹0，但A*/=0,求证：

Ak~'^（左〉0）线性无关.

证明由于A*g=0,故对于任意的非负整数i,都有A奸g=A'（Ag）=0.当上>0时，设

格+x^A§++x/zA=0,

用Ai作用于上式，得

X0卜黑=0,

但4卜言。

0,因此X]=0.于是

XyA<^++x（!

A=0,

再用A*-2作用上式，同样得到*=0.依此下去，可得而=改==易=0・从而&A&,4卜言线性无关.

16.证明：

九2

与

Q,.

h

12

如

k

2,.

ln/

相似，其中/],z2,•••,/„是1,2,，〃的一个排列.

『解题提示』利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的或直接相似的定义.

证法1设V是一个〃维线性空间，且£],%，与是V的一组基.另外，记

2

Q,.

h

A=

1

如

B=

k

l2

妃

于是，在基£,,£2,，司下,矩阵A对应V的一个线性变换A,即

A（&],—）=0]，&2,,£"）

从而Aej=Aisi,i=1,2,,n.又因为气，与,，，气

A（气,气,’气）=（气,气，'气,）

V

故0与8相似.

证法2设

A=她与

<>

=（弓，£?

，，句）A•

如

也是V的一组基，且

、

A

=（气，气，，气）B.

2.

'»7

2.

1»7

对A交换i,j两行，再交换i,j两列，相当于对A左乘和右乘初等矩阵P（i,沪=P（i,j）和P（i,j）,而

P（i,j）TAP0j）

即为将a中的4.和々交换位置得到的对角矩阵.于是，总可以通过这样的一系列的对调变换，将0的主

对角线上的元素4，为，，片变成4,知,2.,这也相当于存在一系列初等矩阵0,0,，2,使得

Q；1/0/00Q、=B，

令以，则有QAQ=B，即A与8相似.

『方法技巧』证法1利用同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的这一性质；证法2利用了矩阵的相似变换，直接进行了证明.

17.如果4可逆，证明A8与相似.

证明由于A可逆，故4t存在.于是

A"'（AB）A=（A-lA）BA=BA,

因此，根据相似的定义可知A8与BA相似.

19.求复数域上线性变换空间V的线性变换A的特征值与特征向量.已知A在一组基下的矩阵为:

（56-3、

<001、

4、

1）A=

；4）A=

-101

；5）A=

010

[52）

L2-1）

U0oj

解1）设A在给定基也，％下的矩阵为A.由于A的特征多项式为

2-3-4

|2E-A|==22-52-14=（2-7）（2+2）,

—5A—2

故A的特征值为4=7,〃=—2.

当0=7时，方程组（.E—A）X=O,即为

4、i-4%2=0,

<-—5万+5x2=0.

解得它的基础解系为从而A的属于特征值&=7的全部特征向量为

&=ke{+kc2,

其中人为任意非零常数.

当为=—2时，方程组（八E—4）X=0,即为

一5X]一=0,

<一

一5X]_4-Xj=0.

f4）

解得它的基础解系为[从而A的属于特征值兀=-2的全部特征响向量为

矣=4■一5ls2,

其中/为任意非零常数.

4）设A在给定基习，&2，园下的矩阵为A,由于A的特征多项式为

2-5-63

|2E-A|=12-1=（2-2）（2-1-a/3）（2-1+a/3）,

-1-22+1

故A的特征值为4=2,^=1+^3,4=1—J5.

当W=2时，方程组（2lE-A）X=0,即为

-3x{-6x2+3x3=0,

—X]—2x2+3x3—0.

'-2、

求得其基础解系为1,故A的属于特征值2的全部特征向量为

&=-2桔+如2

其中4为任意非零常数.

当％=1+J5时，方程组（A2E-A）X=0,即为

（—4+-6%2+3退=。

X]+（1+a/3）%2—工3=°，

的属于特征值1+J5的全部特征向量为

_X]-2%2+（2+^^）X3—0.

壹=3化2功一*2,2+（2—人2&

求得其基础解系为-1，故A

其中心为任意非零常数.

当^=1-73时，方程组（^E-A）X=0,即为

（—4—[-6x,+3》3=0,

<%!

+（1-a/3）x2-x3=0,

—%1—2x,+（2—-\/3）%3=0.

'3、

求得其基础解系为-1,故A的属于特征值1-右的全部特征向量为

〔2+如

攵=31^8、—+（2+

其中处为任意非零常数.

5）设A在给定基£1，%，£3下的矩阵为A，由于A的特征多项式为

20-1

|AE-A|=02-10=（2-l）2（2+l）,

-102

故A的特征值为&=1（二重），为=—1.

当4=1时，方程组0E—4）X=0,即为

xx-x3=0,

<

-%!

+可=0.

求得其基础解系为0,1,故A的属于特征值1的全部特征向量为

§—k[£\+化2,2+"1，3

其中皿为任意不全为零的常数.

当时，方程组（兀归―A）X=0,即为

_%]—工3=0,

<—2x2=0,

一工]一易=0・

r-n

求得其基础解系为o,故a的属于特征值-1的全部特征向量为

UJ

&——+Is,

其中Z为任意非零常数.

『方法技巧』求解一个线性变换的特征值即求其矩阵的特征多项式的根，再对每个根求得所对应的特

征向量，但一定要注意表达成基向量的线性组合形式.

24.1）设；I】,％是线性变换A的两个不同特征值，司同是分别属于人1，%的特征向量，证明：

£t+£2不是A的特征向量；

2）证明：

如果线性空间V的线性变换A以V中每个非零向量作为它的特征向量，那么A是数乘变换.

证明1）反证法.假设£,+£2是A属于特征值4的特征向量，即

A0]+c2）=+ff2）=+人&2.

而由题设可知As{=,A,且九。

/L,,故

A（&]+g,）=A弓+A=W&]+兀.

比较两个等式，得到

（凡_+（A,一人）&2=0•

再根据旦,&是属于不同特征值的特征向量，从而是线性无关性，因此九-人=人2-人=0,即这与矛盾.所以£\+e2不是A的特征向量.

2）设%%，勺是V的一组基，则它们也是A的"个线性无关的特征向量，不妨设它们分别属于特征值九,々，，凡，即

Aei=A,iei,z=1,2,,n.

根据1）即知W=^==2„=2•否则，若九。

右，那么司+&2尹°，且不是人的特征向量，这与V

中每个非零向量都是它的特征向量矛盾.所以，对于任意的aeV,都有Aa=2a，即A是数乘变换.

25.设V是复数域上的〃维线性空间，A,B是V上的线性变换，且A3=BA.证明：

1）如果&）是人的一个特征值，那么匕0是3的不变子空间；

2）A,B至少有一个公共的特征向量.

证明1）设a则Aa=\}a,于是，由题设知

A（Ba）=（AB）a=（BA）a=B（Aa）=B（扁。

）=a,

因此BaeV,.根据不变子空间的定义即知，咋是B的不变子空间.

4）A）

2）由1）可知*，是B的不变子空间，若记Bk=则3°是复数域上线性空间V%的一个线性变

换，它必有特征值吊及非零向量吮，使得

B°=BqP—/J。

。

即六是8的特征向量，从而0是A和3的公共特征向量.因此，A,B存在公共的特征向量.