小学五年级奥数讲义之精讲精练第13讲 长方体和正方体一含答案.docx
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小学五年级奥数讲义之精讲精练第13讲长方体和正方体一含答案
第13讲长方体和正方体
(一)
一、知识要点
在数学竞赛中,有许多有关长方体、正方体的问题。
解答稍复杂的立体图形问题要注意几点:
1.必须以基本概念和方法为基础,同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来;
2.依赖已经积累的空间观念,观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化;
3.求一些不规则的物体体积时,可以通过变形的方法来解决。
二、精讲精练
【例题1】一个零件形状大小如下图:
算一算,它的体积是多少立方厘米?
表面积是多少平方厘米?
(单位:
厘米)
练习1:
1.一个长5厘米,宽1厘米,高3厘米的长方体,被切去一块后(如下左图),剩下部分的表面积和体积各是多少?
2.有一个长8厘米,宽1厘米,高3厘米的长方体木块,在它的左右两角各切掉一个正方体(如上右图),求切掉正方体后的表面积和体积各是多少?
【例题2】有一个长方体形状的零件,中间挖去一个正方体的孔(如图),你能算出它的体积和表面积吗?
(单位:
厘米)
练习2:
1.有一个形状如下图的零件,求它的体积和表面积。
(单位:
厘米)。
第1题第2题第3题
2.有一个棱长是4厘米的正方体,从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后,剩下物体的体积和表面积各是多少?
3.如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上(如图),那么得到的物体的体积和表面积各是多少?
【例题3】一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体,拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。
原正方体的表面积是多少平方厘米?
练习3:
1.把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体,这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米,而长是原来长方体的2倍。
如果拼成的长方体的长是24厘米,那么它的体积是多少立方厘米?
2.一根长80厘米,宽和高都是12厘米的长方体钢材,从钢材的一端锯下一个最大的正方体后,它的表面积减少了多少平方厘米?
【例题4】把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。
已知每块砖的体积是288立方厘米,求大长方体的表面积。
练习4:
1.一块小正方体的表面积是6平方厘米,那么,由1000个这样的小正方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米?
2.一个长方体的体积是385立方厘米,且长、宽、高都是质数,求这个长方体的表面积。
【例题5】一个长方体,前面和上面的面积之和是209平方厘米,这个长方体的长、宽、高以厘米为单位的数都是质数。
这个长方体的体积和表面积各是多少?
练习5:
1.有一个长方体,它的前面和上面的面积和是88平方厘米,且长、宽、高都是质数,那么这个长方体的体积是多少?
2.一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数,体积是192立方厘米,求它的表面积。
三、课后作业
1.把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段,表面积增加了2平方分米,求这根木料原来的体积。
2.把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体,它们的表面积最多会减少多少平方分米?
3.有24个正方体,每个正方体的体积都是1立方厘米,用这些正方体可以拼成几种不同的长方体?
4.一个长方体和一个正方体的棱长之和相等,已知长方体长、宽、高分别是16分米、4分米、25分米,求正方体体积。
第13讲长方体和正方体
(一)
一、知识要点
在数学竞赛中,有许多有关长方体、正方体的问题。
解答稍复杂的立体图形问题要注意几点:
1.必须以基本概念和方法为基础,同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来;
2.依赖已经积累的空间观念,观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化;
3.求一些不规则的物体体积时,可以通过变形的方法来解决。
二、精讲精练
【例题1】一个零件形状大小如下图:
算一算,它的体积是多少立方厘米?
表面积是多少平方厘米?
(单位:
厘米)
【思路导航】
(1)可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积,左边的长方体体积是10×4×2=80(立方厘米),右边的长方体的体积是10×(6-2)×2=80(立方厘米),整个零件的体积是80×2=160(立方厘米);
(2)求这个零件的表面积,看起来比较复杂,其实,朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等;朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。
因此,此零件的表面积就是(10×6+10×4+2×2)×2=232(平方厘米)。
想一想:
你还能用别的方法来计算它的体积吗?
练习1:
1.一个长5厘米,宽1厘米,高3厘米的长方体,被切去一块后(如图),剩下部分的表面积和体积各是多少?
2.把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段,表面积增加了2平方分米,求这根木料原来的体积。
3.有一个长8厘米,宽1厘米,高3厘米的长方体木块,在它的左右两角各切掉一个正方体(如图),求切掉正方体后的表面积和体积各是多少?
【答案】1.表面积=(5×1+5×3+3×1)×2-1×1×3+1×1×3=46(平方厘米)
体积=5×1×3-1×1×1=14(立方厘米)
2.底面积2÷2=1(平方分米)2米=20分米,则这个长方体木料体积为1×20=20(立方分米)
3.表面积=(8×1+8×3+1×3)×2-1×1×4=66(平方厘米)
体积=8×1×3-1×1×1×2=22(立方厘米)
【例题2】有一个长方体形状的零件,中间挖去一个正方体的孔(如图),你能算出它的体积和表面积吗?
(单位:
厘米)
【思路导航】
(1)先求出长方体的体积,8×5×6=240(立方厘米),由于挖去了一个孔,所以体积减少了2×2×2=8(立方厘米),这个零件的体积是240-8=232(立方厘米);
(2)长方体完整的表面积是(8×5+8×6+6×5)×2=236(平方厘米),但由于挖去了一个孔,它的表面积减少了一个(2×2)平方厘米的面,同时又增加了凹进去的5个(2×2)平方厘米的面,因此,这个零件的表面积是236+2×2×4=252(平方厘米)。
练习2:
1.有一个形状如下图的零件,求它的体积和表面积。
(单位:
厘米)。
2.有一个棱长是4厘米的正方体,从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后,剩下物体的体积和表面积各是多少?
3.如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上(如图),那么得到的物体的体积和表面积各是多少?
【答案】1.长方体表面积=(6×4+6×2+4×2)×2=88(平方厘米)
零件表面积=88+2×2×4=104(平方厘米)
零件体积=6×4×2+2×2×2=56(立方厘米)
2.表面积=4×4×6=96(平方厘米)
体积=4×4×4-1×1×1=63(立方厘米)
3.表面积=4×4×6+1×1×5-1×1×1=100(平方厘米)
体积=4×4×4=64(立方厘米)
【例题3】一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体,拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。
原正方体的表面积是多少平方厘米?
【思路导航】一个正方体和一个长方体拼成新的长方体,其表面积比原来的长方体增加了4块正方形的面积,每块正方形的面积是50÷4=12.5(平方厘米)。
正方体有6个这样的面,所以,原来正方体的表面积是12.5×6=75(平方厘米)。
练习3:
1.把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体,这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米,而长是原来长方体的2倍。
如果拼成的长方体的长是24厘米,那么它的体积是多少立方厘米?
2.一根长80厘米,宽和高都是12厘米的长方体钢材,从钢材的一端锯下一个最大的正方体后,它的表面积减少了多少平方厘米?
3.把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体,它们的表面积最多会减少多少平方分米?
【答案】1.46÷2×24=552(立方厘米)
2.12×12×4=576(平方厘米)
3.2×2×8=32(平方分米)
【例题4】把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。
已知每块砖的体积是288立方厘米,求大长方体的表面积。
【思路导航】要求大长方体的表面积,必须知道它的长、宽和高。
我们用a、b、h分别表示小长方体的长、宽、高,显然,a=4h,即h=1/4a,2a=3b即b=2/3a,砖的体积是a*2/3a*1/4a=1/6a3。
由1/6a3=288可知,a=12.b=2/3*12=8,h=1/4*12=3。
大长方体的长是12×2=24厘米,宽12厘米,高是8+3=11厘米,表面积就不难求了。
练习4:
1.一块小正方体的表面积是6平方厘米,那么,由1000个这样的小正方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米?
2.一个长方体的体积是385立方厘米,且长、宽、高都是质数,求这个长方体的表面积。
3.有24个正方体,每个正方体的体积都是1立方厘米,用这些正方体可以拼成几种不同的长方体?
用图画出来。
【答案】1.6÷6×100×6=600(平方厘米)
2.385=5×7×11表面积=(5×7+5×11+7×11)×2=334(平方厘米)
3.1×1×24、1×2×12、2×4×3、2×2×6、1×3×8、1×4×6
【例题5】一个长方体,前面和上面的面积之和是209平方厘米,这个长方体的长、宽、高以厘为为单位的数都是质数。
这个长方体的体积和表面积各是多少?
【思路导航】长方体的前面和上面的面积是长×宽+长×高=长×(宽+高),由于此长方体的长、宽、高用厘米为单位的数都是质数,所以有209=11×19=11×(17+2),即长、宽、高分别为11、17、2厘米。
知道了长、宽、高求体积和表面积就容易了。
练习5:
1.有一个长方体,它的前面和上面的面积和是88平方厘米,且长、宽、高都是质数,那么这个长方体的体积是多少?
2.一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数,体积是960立方厘米,求它的表面积。
3.一个长方体和一个正方体的棱长之长相等,已知长方体长、宽、高分别是6分米、4分米、2分米,求正方体体积。
【答案】1.11×5×3=165(立方厘米)
2.2×(12×10+12×8+10×8)=592(平方厘米)
3.长方体棱长=4×(6+4+2)=48(分米)
正方体棱长=48÷12=4(分米)
正方体体积=4×4×4=64(立方分米)