人教版高一数学上册《函数的基本性质要点精讲》优秀教学设计.docx
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人教版高一数学上册《函数的基本性质要点精讲》优秀教学设计
函数的基本性质要点精讲
1.奇偶性
（1）定义：
如果对于函数f（x）定义域内的任意x都有f（—x）=—f（x），则称f（x）为奇函数；如果对于函数
f（x）定义域内的任意x都有f（—x）=f（x），则称f（x）为偶函数。
b5E2RGbCAp
如果函数f（x）不具有上述性质，则f（x）不具有奇偶性•如果函数同时具有上述两条性质，贝yf（x）既是奇函
数，又是偶函数。
plEanqFDPw
1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；DXDiTa9E3d
2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个X,则—x
也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
RTCrpUDGiT
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
2确定f（—x）与f（x）的关系；
3作出相应结论：
若f（—x）=f（x）或f（—x）—f（x）=0,贝Uf（x）是偶函数；
若f（—x）=—f（x）或f（—x）+f（x）=0,贝yf（x）是奇函数。
（3）简单性质：
1图象的对称性质：
一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；5PCzVD7HxA
2设f（x）,g（x）的定义域分别是D,,D2，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇
2.单调性
（1）定义：
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自
变量X—X2,当X!
）f（x2））,那么就说f（x）在区间D上是增函数（减函数）;jLBHrnAILg
1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
2必须是对于区间D内的任意两个自变量X1,X2；当X1（2）如果函数y=f（x）在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f（X）的单调区间。
LDAYtRyKfE
（3）设复合函数y=f[g（x）]，其中u=g（x）,A是y=f[g（x）]定义域的某个区间，B是映射g:
x^u=g（x）的象集：
Zzz6ZB2Ltk
1若u=g（x）在A上是增（或减）函数，y=f（u）在B上也是增（或减）函数，则函数y=f[g（x）]在A上是增函数；dvzfvkwMI1
2若u=g（x）在A上是增（或减）函数，而y=f（u）在B上是减（或增）函数，则函数y=f[g（x）]在A上是
减函数。
rqyn14ZNXI
（4）判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
1任取x1,X2€D，且x12作差f（X1）—f（X2）；
3变形（通常是因式分解和配方）；
⑷定号（即判断差f（X1）—f（X2）的正负）；
⑤下结论（即指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）。
（5）简单性质
1奇函数在其对称区间上的单调性相同；
2偶函数在其对称区间上的单调性相反；
3在公共定义域内：
增函数f（x）增函数g（x）是增函数；
减函数f（x）•减函数g（x）是减函数;增函数f（x）一减函数g（x）是增函数;减函数f（x）一增函数g（x）是减函数。
3.最值
（1）定义：
最大值：
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x€I，都有f（x）w
M；②存在Xo€I，使得f（X°）=M。
那么，称M是函数y=f（x）的最大值。
EmxvxOtOco
最小值：
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x€I，都有f（x）>
M；②存在Xo€I，使得f（Xo）=M。
那么，称M是函数y=f（x）的最大值。
SixE2yXPq5
CD函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在xo€I，使得f（xo）=M;6ewMyirQFL
②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x€I，都有f（x）WM（f（x）>M）。
kavU42VRUs
（2）禾U用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法：
1禾U用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；
2利用图象求函数的最大（小）值；
3禾U用函数单调性的判断函数的最大（小）值：
如果函数y=f（x）在区间［a,b］上单调递增，在区间［b,c］上单调递减则函数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）;
y6v3ALoS89
如果函数y=f（x）在区间［a,b］上单调递减，在区间［b,c］上单调递增则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）；
M2ub6vSTnP
4.周期性
（1）定义：
如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有f（x+T）=f（x）,则称f（x）
为周期函数；OYujCfmUCw
（2）性质：
①f（x+T）=f（x）常常写作f（x=f（X-T）,若f（x）的周期中，存在一个最小的正数，则称它
22
为f（x）的最小正周期；②若周期函数f（x）的周期为T,则f（3X）（3工0）是周期函数，且周期为—°eUts8ZQVRd
住|
四.典例解析
题型一：
判断函数的奇偶性
例1.讨论下述函数的奇偶性：
.—x——x1n（Ux十1+7X）（x>0）
\16+1+2
（1）f（x）=x——;
（2）f（x）=<0（x=0）;
2;—
Jn（*1-x+丿-x）（xc0）
⑶f（x）=1og2（-1-x2：
x2-11）;
再解决要容易得多。
（2）须要分两段讨论:
①设
x.0,.-x:
:
:
0,
.f（-x）=1n（、..1x•、x）
②设
x：
：
Q-x■0,
.f（_x）=1n（._x1--x）=1n.1n（.1_xJx）=-f（x）
Ji—X+确—X
3当x=0时f（x）=0，也满足f（—x）=—f（x）;
由①、②、③知，对x€R有f（—x）=—f（x）,•••f（x）为奇函数；
1-X2K02彳
（3）丁」2nX=1，•函数的定义域为x=±1,
x—1K0
•f（x）=log21=0（x=±1），即f（x）的图象由两个点A（—1,0）与B（1,0）组成，这两点既关于y轴对称，又关于原点对称，•f（x）既是奇函数，又是偶函数；sQsAEJkW5T
22
（4）vxwa,•要分a>0与a<0两类讨论，
"―avxva
①当a>0时，丿一一二函数的定义域为[（-a,0）U（0,a）],
」x+a博a
22a-x
|xa|：
：
0,f（x）=
取定义域内关于原称对两点=?
X2
-x-2a2
厂厂
f（a）—f（-a）-0r当a：
：
：
0时,f（X）既不是奇函数，也不是偶函数
2253
点评：
判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数
的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）。
GMslasNXkA
例2.（2002天津文.16）设函数f（x）在（一汽+8）内有定义，下列函数：
①y=—|f（x）|;②y=xf（x2）;
3y=—f（—X）；④y=f（X）—f（—X）。
TIrRGchYzg
必为奇函数的有（要求填写正确答案的序号）
答案：
②④；解析：
y=（—x）f[（—X）2]=—xf（X2）=—y；y=f（—x）—f（x）=—y。
7EqZcWLZNX点评：
该题考察了判断抽象函数奇偶性的问题。
对学生逻辑思维能力有较高的要求。
题型二：
奇偶性的应用
例3.（2002上海春，4）设f（x）是定义在R上的奇函数，若当x>0时，f（x）=log3（1+x）,则f（—
2）=。
lzq7IGf02E
答案：
一1;解：
因为x>0时，f（x）=log3（1+x），又f（x）为奇函数，所以f（—x）=—f（x）,设xv0，所以f（x）=—f（—x）=—f（1—x）,所以f（—2）=—log33=一1。
zvpgeqJ1hk
点评：
该题考察函数奇偶性的应用。
解题思路是利用函数的奇偶性得到函数在对称区域上函数的取值。
例4.已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（2+x）=f（2—x），且f（x）是偶函数，当x€[0,2]时，f（x）=2x—1，求x€[—4,0]时f（x）的表达式。
NrpoJac3v1
解：
由条件可以看出，应将区间[—4,0]分成两段考虑：
①若x€[—2,0]，—x€[0,2],
tf（x）为偶函数，
•••当x€[—2,0]时，f（x）=f（—x）=—2x—1,
②若x€[—4,—2）,
•4+x€[0,2）,
•/f（2+x）+f（2—x）,
•f（x）=f（4—x）,
•f（x）=f（—x）=f[4—（—x）]=f（4+x）=2（x+4）—1=2x+7；
•
■4aex^£。
aeae
x
ea
例5.（2001天津，19）设a0,f（x）x是R上的偶函数。
ae
（1）求a的值；
（2）证明f（x）在（0,•：
：
）上为增函数。
解：
（1）依题意，对一切x•R，有f（_x）二f（x），即
-F（X2）>F（X1）；
综上，F（x）在（—8,5）为减函数，在（5,+8）为增函数。
点评：
该题属于判断抽象函数的单调性。
抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点。
fjnFLDa5Zo
题型四：
函数的单调区间
x+■a
例7.（2001春季北京、安徽，12）设函数f（x）=（a>b>0）,求f（x）的单调区间，并证明
x+b
f（X）在其单调区间上的单调性。
tfnNhnE6e5
.解：
在定义域内任取X1X1aX2a（x「a）（X2b）-（x「b）（X2a）
--f（X1）—f（X2）=——
X2+bX2+b（%+b）（X2+b）
_（b-a）（X1F
（X1b）（x2b）'
a>b>0,.°.b—av0,X1—X2v0,
只有当x1vx2v—b或一bvx1vx2时函数才单调.
当X1vX2<—b或一bvX1vX2时f（X1）—f（X2）>0.
•••f（x）在（—b,+8）上是单调减函数，在（—8,—b）上是单调减函数.
点评：
本小题主要考查了函数单调性的基本知识。
对于含参数的函数应用函数单调性的定义求函数的单调区间。
例8.
（1）求函数y=log°.7（x2—3x+2）的单调区间；
（2）已知f（x）=8•2x-x2,若g（x）二f（2-x2）试确定g（x）的单调区间和单调性。
解：
（1）函数的定义域为（-：
：
1）一（2,•：
：
）,
分解基本函数为y=log0.7t、t=x2—3x+2
显然y=log°.7t在（0,+处）上是单调递减的，而t=x-3x+2在（-°°,1）,（2，址）上分别是单调递减和单调递增的。
根据复合函数的单调性的规则：
所以函数y=log0.7（x2—3x+2）在（一°°,1）,（2，畑）上分别单调递增、单调递减。
（2）解法一：
函数的定义域为R,
分解基本函数为g=f（t）=-t2■2x■8和t=2-12。
显然g-f（t^-t22x8在（1,v）上是单调递减的，（-：
：
1）上单调递增；
22
而t=2-x在（-：
：
0）,（0「：
）上分别是单调递增和单调递减的。
且2-x=1=x=「1,
根据复合函数的单调性的规则：
所以函数的单调增区间为（-：
：
，-1）,（0,1）;单调减区间为（1,•：
：
）,（-1,0）。
解法二：
g（x）=82（2-x2）-（2-x2）2二-x42x28,
g（x）--4x34x,
令g（x）0,得x：
：
-1或0：
：
x：
：
1,令g（x）=0,x1或T：
：
x:
:
0
•单调增区间为（-：
：
，-1）,（0,1）;单调减区间为（1,：
：
）,（-1,0）。
点评：
该题考察了复合函数的单调性。
要记住“同向增、异向减”的规则。
题型五：
单调性的应用
例9.已知偶函数f（x）在（0,+8）上为增函数，且f
（2）=0,解不等式f[log2（X2+5x+4）]A0。
HbmVN777sL解：
•••f
（2）=0,•原不等式可化为f[log2（x2+5x+4）]Af
（2）。
又•••f（x）为偶函数，且f（x）在（0,+8）上为增函数，
•f（x）在（一8,0）上为减函数且f（—2）=f
（2）=0。
•不等式可化为log2（x2+5x+4）>2①
或log2（x+5x+4）W—2②
2
由①得x+5x+4>4,xW—5或x>0
由②得0vx2+5x+4W1得
4
-5-、、105J0
Wxv—4或一1vxW
22
由③④得原不等式的解集为
{x|xw—5或-5-10wxW—4或—1vXW_510或x>0}。
22
例10.已知奇函数f（x）的定义域为R，且f（x）在］0,+上是增函数，是否存在实数m,使f（cos2B
—3）+f（4m—2mcos0）>f（0）对所有B€［0/］都成立？
若存在，求出符合条件的所有实数m的范围，若不
2
存在，说明理由。
V7l4jRB8Hs
解：
Tf（x）是R上的奇函数，且在［0,+R］上是增函数，
•••f（x）是R上的增函数，于是不等式可等价地转化为f（cos20—3）>f（2mcos0—4m）,
即cos20—3>2mcos0—4m,即cos20—mcos0+2m—2>0。
设t=cos0，则问题等价地转化为函数
2m2m2
g（t）=t2—mt+2m—2=（t—-）2—+2m—2在］0,1］上的值恒为正，又转化为函数g（t）在］0,1］
24
上的最小值为正。
83ICPA59W9
••当—<0,即m<0时，g（0）=2m—2>0二m>1与m<0不符；
2
2__当0wmW1时，即0WmW2时，g（m）=——+2m—2>0=4—2.224
••4—2〕：
2当m>1,即m>2时，g
（1）=m—1>0二m>1。
2
•m>2
综上，符合题目要求的m的值存在，其取值范围是m>4—2、、2。
另法（仅限当m能够解出的情况）：
cos20—mcos0+2m—2>0对于0€［0,—］恒成立，等价于m>（2
2
—cos20）/（2—cos0）对于0€［0,—］恒成立mZkklkzaaP
2
•当0€［0,—］时，（2—cos0）/（2—cos0）W4—2，（2,••m>4—2心；2。
2
点评：
上面两例子借助于函数的单调性处理了恒成立问题和不等式的求解问题。
题型六：
最值问题
例11.（2002全国理，21）设a为实数，函数f（x）=x2+|x—a|+1,x€R。
（1）讨论f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）的最小值。
解：
（1）当a=0时，函数f（—x）=（—x）2+|—x|+1=f（x）,此时f（x）为偶函数。
当a丰0时，f（a）=a2+1,f（—a）=a2+2|a|+1,f（—a）工f（a）,f（—a）z—f（a）。
AVktR43bpw此时函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数。
2123
（2）①当xWa时，函数f（x）=x2—x+a+仁（x—）2+a+。
24
1
若aw，则函数f（乂）在（—g,a）上单调递减，从而，函数f（x）在（—g,a）上的最小值为f
2
（a）=a+1。
ORjBnOwcEd
f（a）。
，则函数f（x）在（—o,a］上的最小值为fJ
22
3
）=4+a，且f（
1
）<
2
②当x>a时，函数f（x）=x2+x—a+仁（x+-）2—a+-。
24
2
（a）=a+1。
综上，当
1
，则函数f（x）在］a,
2
1
，则函数f（x）在］a,
2
2MiJTy0dTT
1.一…
+oo
131
）上的最小值为f（——）=——a，且f（―—）wf（a）。
242
+o］上单调递增，从而，函数
f（x）在］a,+o］上的最小值为f
13
aw——时，函数f（x）的最小值是一a。
24
12
11
当一一vaW时，函数f（x）的最小值是a2+1。
22
13
当a>时，函数f（x）的最小值是a+。
24
点评：
函数奇偶性的讨论问题是中学数学的基本问题，如果平时注意知识的积累，对解此题会有较大
帮助•因为x€R,f（0）=|a|+1M0，由此排除f（x）是奇函数的可能性•运用偶函数的定义分析可知，当a=0
时，f（X）是偶函数，第2题主要考查学生的分类讨论思想、对称思想。
gliSpiue7A
例12.设m是实数，记M={m|m>1},f（x）=log3（x2—4mx+4m2+m+1）。
m—1
（1）证明：
当m€M时，f（x）对所有实数都有意义；反之，若f（x）对所有实数x都有意义，则m€M;
（2）当m€M时，求函数f（x）的最小值；
（3）求证：
对每个m€M,函数f（x）的最小值都不小于1。
、21
（1）证明：
先将f（x）变形：
f（x）=log3［（x—2m）+m+］,
mT
曰六.
疋可
21
当m€M时，m>1,/•（x—m）2+m+>0恒成立,
m—1
故f（x）的定义域为R。
反之，若f（x）对所有实数x都有意义，则只须x2—4mx+4m2+m+—1->0。
mT
1）v0,mT
221
⑵解析：
设u=x—4mx+4m+m+
令△<0，即16m2—4（4m2+m+
解得m>1，故m€M。
•••y=log-u是增函数，
•••当u最小时，f（x）最小。
21而u=（x—2m）+m+—mT
显然，当x=m时，u取最小值为
1
m+
m一1
1
此时f（2m）=log-（m+一）为最小值。
m-1
1
（3）证明：
当m€M时，m+=（m—1）+
m—1
当且仅当m=2时等号成立。
1
mv1》3,
Iog3（m+）>log33=1。
m—1
点评：
该题属于函数最值的综合性问题，考生需要结合对数函数以及二次函数的性质来进行处理。
题型七：
周期问题
a
所以f（a+2x）=f（a—2x）。
解：
因为y=f（2x）关于x对称，
2
所以f（2a—2x）=f［a+（a—2x）］=f［a—（a—2x）］=f（2x）。
同理，f（b+2x）=f（b—2x）,
所以f（2b—2x）=f（2x）,
所以f（2b—2a+2x）=f［2b—（2a—2x）］=f（2a—2x）=f（2x）。
所以f（2x）的一个周期为2b—2a,
故知f（x）的一个周期为4（b—a）。
选项为D。
点评：
考察函数的对称性以及周期性，类比三角函数中的周期变换和对称性的解题规则处理即可。
若
函数y=f（x）的图像关于直线x=a和x=b对称（a*b），则这个函数是周期函数，其周期为2（b—a）。
uEh0U1Yfmh
例14.已知函数y二f（x）是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y二f（x）（-1乞x空1）是奇函数又知y=f（X）在［0,1］上是一次函数，在［1,4］上是二次函数，且在X=2时函数取得最小值-5°IAg9qLsgBX
1证明：
f
（1）f（4）=0;
2求y二f（x）,x・［1,4］的解析式；
3求y二f（x）在［4,9］上的解析式。
解：
•••f（x）是以5为周期的周期函数，
•f（4）=f（4-5）=f（-1）,
又•••y二f（x）（-1乞x空1）是奇函数，
•f
（1）一f（—1）=—f（4）,
•f
（1）f（4）=0。
2当［1,4］时，由题意可设f（x）=a（x-2）2-5（a0）,
由f
（1）f（4）=0得a（1-2）2-5a（4-2）2一5=0,
•a=2,
•f（x）=2（x-2）2-5（仁x乞4）。
3
疋奇
•••y=f（x）（—1空x乞1）是奇函数，
•f（0）=0,
又知y二f（x）在［0,1］上是一次函数，
•可设f（x）=kx（0乞x「），而f⑴=2（1-2）2-5=-3,
•k=-3，•当0_x_1时，f（x）3x,
从而当-1込x：
：
：
0时，f（x）=…f（-X）--3x，故-1込x込1时，f（x）--3x。
.•.当4込x三6时，有一1岂x-5込1,
•f（x）二f（x-5）=3（x-5）--3x15。
当6：
：
x_9时，1：
：
x—5_4,
•f（x）二f（x-5）=2［（x-5）-2］2-5=2（x-7）2-5
'—3x+15,4Wx兰6
•f（x）=」2。
2（^7）-5,6cx
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