高三理科数学人教版二轮复习125空间几何体同步练习.docx
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高三理科数学人教版二轮复习125空间几何体同步练习
高考专题训练五 空间几何体
班级________ 姓名________ 时间：
45分钟 分值：
75分 总得分________
一、选择题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．
1．（2011·浙江）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（ ）
解析：
由三视图可知，该几何体的直观图为B.
答案：
B
2．（2011·辽宁）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，它的三视图中的俯视图如图所示，侧（左）视图是一个矩形，则这个矩形的面积是（ ）
A．4 B．2
C．2D.
解析：
设该正三棱柱侧棱长和底面边长为a，
则a2·a＝2，
∴a3＝8，∴a＝2，
由俯视图知，该正三棱柱如图ABC－A1B1C1，
其侧（左）视图即为矩形CDD1C1，
其面积为×2＝2.
答案：
B
3．（2011·山师大附中高三模拟）已知某一几何体的正（主）视图与侧（左）视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有（ ）
A．①②③⑤B．②③④⑤
C．①②④⑤D．①②③④
解析：
根据给出的正（主）视图和侧（左）视图可知，该组合体由上、中、下三个几何体组合而成，由于正（主）视图和侧（左）视图中三层均为矩形，所以这些几何体可能是一些长方体、底面为直角三角形的直三棱柱以及圆柱组合而成的．而第⑤个俯视图中，有两处与已知不符，一是上层几何体的俯视图不正确，由于上层几何体的正（主）视图与侧（左）视图为两个相同的矩形，所以其俯视图中矩形的两边长应该相等；二是下层几何体的俯视图不正确，如果下层几何体的底面为俯视图所示的三角形，则在正（主）视图中底层的矩形应有一条中位线，这与已知不符合，所以⑤不可能，故选D.
答案：
D
4．（2011·湖北）设球的体积为V1，它的内接正方体的体积为V2，下列说法中最合适的是（ ）
A．V1比V2大约多一半B．V1比V2大约多两倍半
C．V1比V2大约多一倍D．V1比V2大约多一倍半
解析：
设球的内接正方体的边长为a，
球的半径为R，∴2R＝a，∴R＝a.
∴V1＝πR3＝π·a3＝πa3，
V2＝a3，∴V1＝πV2≈2.5V2，∴V1－V2≈1.5V2.
答案：
D
5．（2011·北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（ ）
A．32B．16＋16
C．48D．16＋32
解析：
由三视图可知，该四棱锥为正四棱锥
S底＝4×4＝16，S侧＝4××4×2＝16
∴S表面积＝S底＋S侧＝16＋16.
答案：
B
6．（2011·辽宁）已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝2，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥S－ABC的体积为（ ）
A.B.
C.D.
解析：
如图所示．
∠ASC＝∠BSC＝45°
且OS＝OB＝OA＝OC＝2，
∴△SOB，△SOA为全等的等腰直角三角形，
且SC⊥OB，SC⊥OA，
又OA∩OB＝O，∴SC⊥平面AOB
又∵AB＝OB＝OA＝2，
∴△AOB为等边三角形
∴VS－ABC＝VS－AOB＋VC－AOB＝·S△AOB·SC＝××4＝.
答案：
C
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．
7．（2011·全国新课标版）已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．
解析：
令球心为O，圆锥底面圆圆心为O′，球半径为R，圆锥底面圆半径为r，则·4πR2＝πr2，
∴r＝R，在Rt△AOO′中，OO′＝＝.
故＝＝.
答案：
8．（2011·洛阳市高三模拟）图2中的实线围成的部分是长方体（图1）的平面展开图，其中四边形ABCD是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展形图内的概率是，则此长方体的体积是________．
解析：
设长方体的高为h，则图2中虚线围成的矩形长为2＋2h，宽为1＋2h，面积为（2＋2h）（1＋2h），展开图的面积为2＋4h；由几何概型的概率公式知＝，得h＝3，所以长方体的体积是V＝1×3＝3.
答案：
3
9．（2011·北京市海淀区高三第二学期练习）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥P－ABC的正（主）视图与侧（左）视图的面积的比值为________．
解析：
依题意得三棱锥P－ABC的正（主）视图与侧（左）视图分别是一个三角形，且这两个三角形的底边长都等于正方体的棱长，底边上的高也都相等，因此三棱锥P－ABC的正视图与侧视图的面积之比等于1.
答案：
1
10．一个几何体的三视图如图所示，已知正（主）视图是底边长为1的平行四边形，侧（左）视图是一个长为，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形，则该几何体的体积V是________．
解析：
由三视图可知，该几何体是一个平行六面体（如图），其底面是边长为1的正方形，高为.
所以V＝1×1×＝.
答案：
三、解答题：
本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
11．（12分）（2011·浙江省宁波市）一个多面体的直观图及三视图如图所示（其中M，N分别是AF，BC的中点）．
（1）求证：
MN∥平面CDEF；
（2）求二面角A－CF－B的余弦值；
（3）求多面体A－CDEF的体积．
解：
由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE－BCF，且AB＝BC＝BF＝4，
DE＝CF＝4，∠CBF＝.
（1）证明：
连接BE，易知BE通过点M，连接CE.
则EM＝BM，CN＝BN，∴MN∥CE，又CE⊂平面CDEF，MN⊄平面CDEF，∴MN∥平面CDEF.
（2）作BQ⊥CF于Q，连接AQ，
∵平面BFC⊥平面ABFE，平面ABFE∩平面BCF＝BF，AB⊂平面ABFE，AB⊥BF，∴AB⊥平面BCF，
又CF⊂平面BCF，∴AB⊥CF，又BQ⊥CF，AB∩BQ＝B，∴CF⊥平面ABQ，∵AQ⊂平面ABQ，∴AQ⊥CF，故∠AQB为所求二面角的平面角．
在Rt△ABQ中，tan∠AQB＝＝＝，则
cos∠AQB＝，故所求二面角的余弦值为.
（3）多面体A－CDEF的体积V＝2×VA－CEF＝2×VC－ABF＝2×S△ABF·BC＝.
12．（13分）（广东卷）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如下图
（1）所示．墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH，下半部分是长方体ABCD－EFGH.图
（2）、（3）分别是该标识墩的正视图和俯视图．
（1）请画出该安全标识墩的侧视图；
（2）求该安全标识墩的体积；
（3）证明：
直线BD⊥平面PEG.
分析：
（1）根据正（主）视图和俯视图可以知道其侧（左）视图和正（主）视图是完全相同的；
（2）根据两个视图给出的标记，这个安全墩的下半部分是一个底面边长为40cm、高为20cm的长方体，上半部分四棱锥的高为60cm，根据公式计算即可；（3）根据正四棱锥的性质进行证明．
解：
（1）该安全标识墩侧（左）视图如右图所示．
（2）该安全标识墩的体积
V＝VP－EFGH＋VABCD－EFGH
＝×402×60＋402×20＝32000＋32000＝64000（cm3）．
（3）
证明：
如右图所示，连接HF、EG.由题设知四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，
∴FH⊥EG，
又∵ABCD－EFGH为长方体，
∴BD∥FH.
设点O是EFGH的对称中心，连接PO.
∵P－EFGH是正四棱锥，
∴PO⊥平面EFGH，而FH⊂平面EFGH，
∴PO⊥FH.
∵FH⊥PO，FH⊥EG，PO∩EG＝O，
PO⊂平面PEG，EG⊂平面PEG，
∴FH⊥平面PEG.
而BD∥FH，故BD⊥平面PEG.
点评：
解这类给出了直观图和三视图中的两个图形的题目，只要根据直观图得出另一个视图的形状，再根据给出的两个视图上标注的几何量，在第三个视图上标注上几何量即可．
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