中考数学阅读理解型问题专题复习.docx
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中考数学阅读理解型问题专题复习
2013年中考数学阅读理解型问题专题复习
2013年中考数学复习专题讲座九:
阅读理解型问题
一、中考专题诠释
阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”,特别引起我们的重视这类问题一般字叙述较长,信息量较大,各种关系错综复杂,考查的知识也灵活多样,既考查学生的阅读能力,又考查学生的解题能力的新颖数学题
二、解题策略与解法精讲
解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料,弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论,或揭示了什么数学规律,或暗示了什么新的解题方法,然后展开联想,将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移,建模应用,解决题目中提出的问题
三、中考考点精讲
考点一:
阅读试题提供新定义、新定理,解决新问题
例1(2012•十堰)阅读材料:
例:
说明代数式的几何意义,并求它的最小值.
解:
=,
如图,建立平面直角坐标系,点P(x,0)是x轴上一点,则可以看成点P与点A(0,1)的距离,
可以看成点P与点B(3,2)的距离,所以原代数式的值可以看成线段PA与PB长度之和,它的最小值就是PA+PB的最小值.
设点A关于x轴的对称点为A′,则PA=PA′,因此,求PA+PB的最小值,只需求PA′+PB的最小值,而点A′、B间的直线段距离最短,所以PA′+PB的最小值为线段A′B的长度.为此,构造直角三角形A′B,因为A′=3,B=3,所以A′B=3,即原式的最小值为3.
根据以上阅读材料,解答下列问题:
(1)代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(1,1)、点B的距离之和.(填写点B的坐标)
(2)代数式的最小值为.
考点:
轴对称-最短路线问题;坐标与图形性质.
专题:
探究型.
ɹɹ析:
(1)先把原式化为的形式,再根据题中所给的例子即可得出结论;
(2)先把原式化为的形式,故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(0,7)、点B(6,1)的距离之和,再根据在坐标系内描出各点,利用勾股定理得出结论即可.解答:
解:
(1)∵原式化为的形式,
∴代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(1,1)、点B(2,3)的距离之和,
故答案为(2,3);
(2)∵原式化为的形式,
∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点A(0,7)、点B(6,1)的距离之和,
如图所示:
设点A关于x轴的对称点为A′,则PA=PA′,
∴PA+PB的最小值,只需求PA′+PB的最小值,而点A′、B间的直线段距离最短,
∴PA′+PB的最小值为线段A′B的长度,
∵A(0,7),B(6,1)
∴A′(0,-7),A′=6,B=8,
∴A′B==10,
故答案为:
10.
点评:
本题考查的是轴对称-最短路线问题,解答此题的关键是根据题中所给给的材料画出图形,再利用数形结合求解.
考点二、阅读试题信息,归纳总结提炼数学思想方法
例2(2012•赤峰)阅读材料:
(1)对于任意两个数a、b的大小比较,有下面的方法:
当a-b>0时,一定有a>b;
当a-b=0时,一定有a=b;
当a-b<0时,一定有a<b.
反过也成立.因此,我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”.
(2)对于比较两个正数a、b的大小时,我们还可以用它们的平方进行比较:
∵a2-b2=(a+b)(a-b),a+b>0
∴(a2-b2)与(a-b)的符号相同
当a2-b2>0时,a-b>0,得a>b
当a2-b2=0时,a-b=0,得a=b
当a2-b2<0时,a-b<0,得a<b
解决下列实际问题:
(1)堂上,老师让同学们制作几种几何体,张丽同学用了3张A4纸,7张B纸;李明同学用了2张A4纸,8张B纸.设每张A4纸的面积为x,每张B纸的面积为,且x>,张丽同学的用纸总面积为1,李明同学的用纸总面积为2.回答下列问题:
①1=(用x、的式子表示)
2=(用x、的式子表示)
②请你分析谁用的纸面积最大.
(2)如图1所示,要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气,已知A、B到l的距离分别是3、4(即A=3,BE=4),AB=x,现设计两种方案:
方案一:
如图2所示,AP⊥l于点P,泵站修建在点P处,该方案中管道长度a1=AB+AP.
方案二:
如图3所示,点A′与点A关于l对称,A′B与l相交于点P,泵站修建在点P处,该方案中管道长度a2=AP+BP.
①在方案一中,a1=(用含x的式子表示);
②在方案二中,a2=(用含x的式子表示);
③请你分析要使铺设的输气管道较短,应选择方案一还是方案二.
考点:
轴对称-最短路线问题;整式的混合运算.
专题:
计算题.
分析:
(1)①根据题意得出3x+7和2x+8,即得出答案;②求出1-2=x-,根据x和的大小比较即可;
(2)①把AB和AP的值代入即可;②过B作B⊥A于,求出A,根据勾股定理求出B.再根据勾股定理求出BA′,即可得出答案;
③求出a12-a22=6x-39,分别求出6x-39>0,6x-39=0,6x-39<0,即可得出答案.
解答:
(1)解:
①1=3x+7,2=2x+8,
故答案为:
3x+7,2x+8.
②解:
1-2=(3x+7)-(2x+8)=x-,
∵x>,
∴x->0,
∴1-2>0,
得1>2,
所以张丽同学用纸的总面积大.
(2)①解:
a1=AB+AP=x+3,
故答案为:
x+3.
②解:
过B作B⊥A于,
则A=4-3=1,
在△AB中,由勾股定理得:
B2=AB2-12=x2-1,
在△A′B中,由勾股定理得:
AP+BP=A′B=,
故答案为:
.
③解:
a12-a22=(x+3)2-()2=x2+6x+9-(x2+48)=6x-39,
当a12-a22>0(即a1-a2>0,a1>a2)时,6x-39>0,解得x>6,
当a12-a22=0(即a1-a2=0,a1=a2)时,6x-39=0,解得x=6,
当a12-a22<0(即a1-a2<0,a1<a2)时,6x-39<0,解得x<6,
综上所述
当x>6时,选择方案二,输气管道较短,
当x=6时,两种方案一样,
当0<x<6时,选择方案一,输气管道较短.
点评:
本题考查了勾股定理,轴对称-最短路线问题,整式的运算等知识点的应用,通过做此题培养了学生的计算能力和阅读能力,题目具有一定的代表性,是一道比较好的题目.
考点三、阅读相关信息,通过归纳探索,发现规律,得出结论
例3(2012•凉州)在学习轴对称的时候,老师让同学们思考本中的探究题.
如图
(1),要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气.泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?
你可以在l上找几个点试一试,能发现什么规律?
聪明的小华通过独立思考,很快得出了解决这个问题的正确办法.他把管道l看成一条直线(图
(2)),问题就转化为,要在直线l上找一点P,使AP与BP的和最小.他的做法是这样的:
①作点B关于直线l的对称点B′.
②连接AB′交直线l于点P,则点P为所求.
请你参考小华的做法解决下列问题.如图在△AB中,点D、E分别是AB、A边的中点,B=6,B边上的高为4,请你在B边上确定一点P,使△PDE得周长最小.
(1)在图中作出点P(保留作图痕迹,不写作法).
(2)请直接写出△PDE周长的最小值:
.
考点:
轴对称-最短路线问题.
分析:
(1)根据提供材料DE不变,只要求出DP+PE的最小值即可,作D点关于B的对称点D′,连接D′E,与B交于点P,P点即为所求;
(2)利用中位线性质以及勾股定理得出D′E的值,即可得出答案.
解答:
解:
(1)如图,作D点关于B的对称点D′,连接D′E,与B交于点P,
P点即为所求;
(2)∵点D、E分别是AB、A边的中点,
∴DE为△AB中位线,
∵B=6,B边上的高为4,
∴DE=3,DD′=4,
∴D′E==,
∴△PDE周长的最小值为:
DE+D′E=3+=8,
故答案为:
8.
点评:
此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识,根据已知得出要求△PDE周长的最小值,求出DP+PE的最小值即可是解题关键.
考点四、阅读试题信息,借助已有数学思想方法解决新问题
例4(2012•重庆)已知:
如图,在直角梯形ABD中,AD∥B,∠B=90°,AD=2,B=6,AB=3.E为B边上一点,以BE为边作正方形BEFG,使正方形BEFG和梯形ABD在B的同侧.
(1)当正方形的顶点F恰好落在对角线A上时,求BE的长;
(2)将
(1)问中的正方形BEFG沿B向右平移,记平移中的正方形BEF为正方形B′EFG,当点E与点重合时停止平移.设平移的距离为t,正方形B′EFG的边EF与A交于点,连接B′D,B′,D,是否存在这样的t,使△B′D是直角三角形?
若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由;
(3)在
(2)问的平移过程中,设正方形B′EFG与△AD重叠部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围.考点:
相似三角形的判定与性质;勾股定理;正方形的性质;直角梯形.
专题:
代数几何综合题.
分析:
(1)首先设正方形BEFG的边长为x,易得△AGF∽△AB,根据相似三角形的对应边成比例,即可求得BE的长;
(2)首先利用△E∽△AB与勾股定理,求得B′,D与B′D的平方,然后分别从若∠DB′=90°,则D2=B′2+B′D2,若∠DB′=90°,则D2=B′2+B′D2,若∠B′D=90°,则B′2=B′D2+D2去分析,即可得到方程,解方程即可求得答案;
(3)分别从当0≤t≤时,当<t≤2时,当2<t≤时,当<t≤4时去分析求解即可求得答案.
解答:
解:
(1)如图①,
设正方形BEFG的边长为x,
则BE=FG=BG=x,
∵AB=3,B=6,
∴AG=AB-BG=3-x,
∵GF∥BE,
∴△AGF∽△AB,
∴,
即,
解得:
x=2,
即BE=2;
(2)存在满足条的t,
理由:
如图②,过点D作DH⊥B于H,
则BH=AD=2,DH=AB=3,
由题意得:
BB′=HE=t,HB′=|t-2|,E=4-t,
∵EF∥AB,
∴△E∽△AB,
∴,即,
∴E=2-t,
在Rt△B′E中,B′2=E2+B′E2=22+(2-t)2=t2-2t+8,
在Rt△DHB′中,B′D2=DH2+B′H2=32+(t-2)2=t2-4t+13,
过点作N⊥DH于N,
则N=HE=t,NH=E=2-t,
∴DN=DH-NH=3-(2-t)=t+1,
在Rt△DN中,D2=DN2+N2=t2+t+1,
(Ⅰ)若∠DB′=90°,则D2=B′2+B′D2,
即t2+t+1=(t2-2t+8)+(t2-4t+13),
解得:
t=,
(Ⅱ)若∠B′D=90°,则B′D2=B′2+D2,
即t2-4t+13=(t2-2t+8)+(t2+t+1),
解得:
t1=-3+,t2=-3-(舍去),
∴t=-3+;
(Ⅲ)若∠B′D=90°,则B′2=B′D2+D2,
即:
t2-2t+8=(t2-4t+13)+(t2+t+1),
此方程无解,
综上所述,当t=或-3+时,△B′D是直角三角形;(3)①如图③,当F在D上时,EF:
DH=E:
H,
即2:
3=E:
4,
∴E=,
∴t=BB′=B-B′E-E=6-2-=,
∵E=2-t,
∴F=t,
当0≤t≤时,S=S△FN=×t×t=t2,
②如图④,当G在A上时,t=2,
∵E=E•tan∠DB=E•=(4-t)=3-t,
∴F=2-E=t-1,
∵NL=AD=,
∴FL=t-,
∴当<t≤2时,S=S△FN-S△FL=t2-(t-)(t-1)=-t2+t-;
③如图⑤,当G在D上时,B′:
H=B′G:
DH,
即B′:
4=2:
3,
解得:
B′=,
∴E=4-t=B′-2=,
∴t=,
∵B′N=B′=(6-t)=3-t,
∵GN=GB′-B′N=t-1,
∴当2<t≤时,S=S梯形GNF-S△FL=×2×(t-1+t)-(t-)(t-1)=-t2+2t-,
④如图⑥,当<t≤4时,
∵B′L=B′=(6-t),E=E=(4-t),B′N=B′=(6-t)E=E=(4-t),S=S梯形NL=S梯形B′EL-S梯形B′EN=-t+.
综上所述:
当0≤t≤时,S=t2,
当<t≤2时,S=-t2+t-;
当2<t≤时,S=-t2+2t-,
当<t≤4时,S=-t+.
点评:
此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识.此题难度较大,注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用,注意辅助线的作法.
四、中考真题演练
1.(2012•宁波)邻边不相等的平行四边形纸片,剪去一个菱形,余下一个四边形,称为第一次操作;在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形,又剩下一个四边形,称为第二次操作;…依此类推,若第n次操作余下的四边形是菱形,则称原平行四边形为n阶准菱形.如图1,▱ABD中,若AB=1,B=2,则▱ABD为1阶准菱形.
(1)判断与推理:
①邻边长分别为2和3的平行四边形是阶准菱形;
②小明为了剪去一个菱形,进行了如下操作:
如图2,把▱ABD沿BE折叠(点E在AD上),使点A落在B边上的点F,得到四边形ABFE.请证明四边形ABFE是菱形.
(2)操作、探究与计算:
①已知▱ABD的邻边长分别为1,a(a>1),且是3阶准菱形,请画出▱ABD及裁剪线的示意图,并在图形下方写出a的值;
②已知▱ABD的邻边长分别为a,b(a>b),满足a=6b+r,b=r,请写出▱ABD是几阶准菱形.
考点:
图形的剪拼;平行四边形的性质;菱形的性质;作图—应用与设计作图.
分析:
(1)①根据邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作即可得出所剩四边形是菱形,即可得出答案;
②根据平行四边形的性质得出AE∥BF,进而得出AE=BF,即可得出答案;
(2)①利用3阶准菱形的定义,即可得出答案;
②根据a=6b+r,b=r,用r表示出各边长,进而利用图形得出▱ABD是几阶准菱形.
解答:
解:
(1)①利用邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作,所剩四边形是边长为1的菱形,
故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形;
故答案为:
2;
②由折叠知:
∠ABE=∠FBE,AB=BF,
∵四边形ABD是平行四边形,
∴AE∥BF,
∴∠AEB=∠FBE,
∴∠AEB=∠ABE,
∴AE=AB,
∴AE=BF,
∴四边形ABFE是平行四边形,
∴四边形ABFE是菱形;
(2)
①如图所示:
,
②∵a=6b+r,b=r,
∴a=6×r+r=31r;
如图所示:
故▱ABD是10阶准菱形.
点评:
此题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定,根据已知n阶准菱形定义正确将平行四边形分割是解题关键.
2.(2012•淮安)阅读理解
如图1,△AB中,沿∠BA的平分线AB1折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿∠B1A1的平分线A1B2折叠,剪掉重复部分;…;将余下部分沿∠BnAn的平分线AnBn+1折叠,点Bn与点重合,无论折叠多少次,只要最后一次恰好重合,∠BA是△AB的好角.
小丽展示了确定∠BA是△AB的好角的两种情形.情形一:
如图2,沿等腰三角形AB顶角∠BA的平分线AB1折叠,点B与点重合;情形二:
如图3,沿∠BA的平分线AB1折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿∠B1A1的平分线A1B2折叠,此时点B1与点重合.
探究发现
(1)△AB中,∠B=2∠,经过两次折叠,∠BA是不是△AB的好角?
(填“是”或“不是”).
(2)小丽经过三次折叠发现了∠BA是△AB的好角,请探究∠B与∠(不妨设∠B>∠)之间的等量关系.根据以上内容猜想:
若经过n次折叠∠BA是△AB的好角,则∠B与∠(不妨设∠B>∠)之间的等量关系为.
应用提升
(3)小丽找到一个三角形,三个角分别为1°、60°、10°,发现60°和10°的两个角都是此三角形的好角.
请你完成,如果一个三角形的最小角是4°,试求出三角形另外两个角的度数,使该三角形的三个角均是此三角形的好角.考点:
翻折变换(折叠问题).
专题:
压轴题;规律型.
分析:
(1)在小丽展示的情形二中,如图3,根据根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B=2∠;
(2)根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠+∠A2B2=2∠;
根据四边形的外角定理知∠BA+2∠B-2=180°①,根据三角形AB的内角和定理知∠BA+∠B+∠=180°②,由①②可以求得∠B=3∠;
利用数学归纳法,根据小丽展示的三种情形得出结论:
∠B=n∠;
(3)利用
(2)的结论知∠B=n∠,∠BA是△AB的好角,∠=n∠A,∠AB是△AB的好角,∠A=n∠B,∠BA是△AB的好角;然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是88°、88°.
解答:
解:
(1)△AB中,∠B=2∠,经过两次折叠,∠BA是△AB的好角;
理由如下:
小丽展示的情形二中,如图3,
∵沿∠BA的平分线AB1折叠,
∴∠B=∠AA1B1;
又∵将余下部分沿∠B1A1的平分线A1B2折叠,此时点B1与点重合,
∴∠A1B1=∠;
∵∠AA1B1=∠+∠A1B1(外角定理),
∴∠B=2∠;
故答案是:
是;
(2)∠B=3∠;如图所示,在△AB中,沿∠BA的平分线AB1折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿∠B1A1的平分线A1B2折叠,剪掉重复部分,将余下部分沿∠B2A2的平分线A2B3折叠,点B2与点重合,则∠BA是△AB的好角.
证明如下:
∵根据折叠的性质知,∠B=∠AA1B1,∠=∠A2B2,∠A1B1=∠A1A2B2,
∴根据三角形的外角定理知,∠A1A2B2=∠+∠A2B2=2∠;
∵根据四边形的外角定理知,∠BA+∠B+∠AA1B1-∠A1B1=∠BA+2∠B-2=180°,
根据三角形AB的内角和定理知,∠BA+∠B+∠=180°,
∴∠B=3∠;
由小丽展示的情形一知,当∠B=∠时,∠BA是△AB的好角;
由小丽展示的情形二知,当∠B=2∠时,∠BA是△AB的好角;
由小丽展示的情形三知,当∠B=3∠时,∠BA是△AB的好角;
故若经过n次折叠∠BA是△AB的好角,则∠B与∠(不妨设∠B>∠)之间的等量关系为∠B=n∠;
(3)由
(2)知,∠B=n∠,∠BA是△AB的好角,
∴∠=n∠A,∠AB是△AB的好角,∠A=n∠B,∠BA是△AB的好角,
∴如果一个三角形的最小角是4°,三角形另外两个角的度数是4、172;8、168;16、160;44、132;88°、88°.
点评:
本题考查了翻折变换(折叠问题).解答此题时,充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质.难度较大.
3.(2012•南京)下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改.
题目:
某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2:
1,在温室内,沿前侧内墙保留3的空地,其他三侧内墙各保留1的通道,当温室的长与宽各为多少时,矩形蔬菜种植区域的面积是2882?
解:
设矩形蔬菜种植区域的宽为x,则长为2x,
根据题意,得x•2x=288.
解这个方程,得x1=-12(不合题意,舍去),x2=12
所以温室的长为2×12+3+1=28(),宽为12+1+1=14()
答:
当温室的长为28,宽为14时,矩形蔬菜种植区域的面积是2882.
我的结果也正确!
小明发现他解答的结果是正确的,但是老师却在他的解答中画了一条横线,并打了一个?
.
结果为何正确呢?
(1)请指出小明解答中存在的问题,并补充缺少的过程:
变化一下会怎样…
(2)如图,矩形A′B′′D′在矩形ABD的内部,AB∥A′B′,AD∥A′D′,且AD:
AB=2:
1,设AB与A′B′、B与B′′、D与′D′、DA与D′A′之间的距离分别为a、b、、d,要使矩形A′B′′D′∽矩形ABD,a、b、、d应满足什么条?
请说明理由.
考点:
相似多边形的性质;一元二次方程的应用.
分析:
(1)根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:
1的理由,所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为x,则长为2x,然后由题意得方程=2,矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:
1,再利用小明的解法求解即可;
(2)由使矩形A′B′′D′∽矩形ABD,利用相似多边形的性质,可得,即
,然后利用比例的性质,即可求得答案.
解答:
解:
(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:
1的理由.
在“设矩形蔬菜种植区域的宽为x,则长为2x.”前补充以下过程:
设温室的宽为,则长为2.
则矩形蔬菜种植区域的宽为(-1-1),长为(2-3-1).
∵=2,
∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:
1;
(2)要使矩形A′B′′D′∽矩形ABD,
就要,即,
即,
即=2.
点评:
此题考查了相似多边形的性质.此题属于阅读性题目,注意理解题意,读懂题目是解此题的关键.
4.(2012•鸡西)如图,在平面直角坐标系中,已知Rt△AB的两条直角边A、B分别在轴和x轴上,并且A、B的长分别是方程x2-7x+12=0的两根(A<B),动点P从点A开始在线段A上以每秒1个单位长度的速度向点0运动;同时,动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动,设点P、Q运动的时间为t秒.
(1)求A、B两点的坐标.
(2)求当t为何值时,△APQ与△AB相似,并直接写出此时点Q的坐标.
(3)当t=2时,在坐标平面内,是否存在点,使以A、P、Q、为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.考点:
相似形综合题;解一元二次方程-因式分解法;平行四边形的判定;矩形的性质;相似三角形的判定与性质.
分析:
(1)解一元二次方程,求出A、B的长度,从而得到A、B点的坐标;
(2)△APQ与△AB相似时,存在两种情况,需要分类讨论,不要遗漏,如图
(2)所示;
(3)本问关键是找齐平行四边形的各种位置与性质,如图(3)所示.在求1,2坐标时,注意到1,2与Q点坐标的对应关系,则容易求解;在求3坐标时,可以利用全等三角形,得到线段之间关系.
解答:
解:
(1)解方程x2-7x+12=0,得x1=3,x2=4,
∵A<B,∴A=3,B=4.
∴A(0,3),B(4,0).
(2)在Rt△AB中,A=3,B=4,∴AB=,∴AP=t,QB=2t,AQ=-2t.
△APQ与△AB相似,可能有两种情况:
(I)△APQ∽△AB,如图
(2)a所示.
则有,即,解得t=.
此时P=A-AP=,PQ=AP•tanA=,∴Q(,);
(II)△APQ∽△AB,如图
(2)b所示.
则有,即,解得t=.
此时AQ=,AH=AQ•sA=,HQ=A