西安电子科技大学信号与系统教案第4章.ppt

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信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第1-1页电子教案电子教案第四章第四章连续系统的频域分析连续系统的频域分析4.14.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数4.24.2傅里叶级数傅里叶级数4.34.3周期信号的频谱周期信号的频谱4.44.4非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换4.54.5傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质4.64.6周期信号的傅里叶变换周期信号的傅里叶变换4.7LTI4.7LTI系统的频域分析系统的频域分析4.84.8取样定理取样定理点击目录点击目录，进入相关章节，进入相关章节信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第1-2页电子教案电子教案第四章第四章连续系统的频域分析连续系统的频域分析4.14.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数一、矢量正交与正交分解一、矢量正交与正交分解时域分析时域分析，以，以冲激函数冲激函数为基本信号，任意输入信号为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数；而可分解为一系列冲激函数；而yf（t）=h（t）*f（t）。

本章将以本章将以正弦信号正弦信号和和虚指数信号虚指数信号ejt为基本信号，任为基本信号，任意输入信号可分解为一系列意输入信号可分解为一系列不同频率不同频率的正弦信号或虚指的正弦信号或虚指数信号之和。

数信号之和。

这里用于系统分析的独立变量是这里用于系统分析的独立变量是频率频率。

故称为。

故称为频域分析频域分析。

矢量矢量Vx=（vx1,vx2,vx3）与与Vy=（vy1,vy2,vy3）正交的定义：

正交的定义：

其内积为其内积为0。

即。

即信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第1-3页电子教案电子教案4.14.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数由两两正交的矢量组成的矢量集合由两两正交的矢量组成的矢量集合-称为称为正交矢量集正交矢量集如三维空间中，以矢量如三维空间中，以矢量vx=（2，0，0）、）、vy=（0，2，0）、）、vz=（0，0，2）所组成的集合就是一个所组成的集合就是一个正交矢量集正交矢量集。

例如对于一个三维空间的矢量例如对于一个三维空间的矢量A=（2，5，8），可以可以用一个三维正交矢量集用一个三维正交矢量集vx，vy，vz分量的线性组合分量的线性组合表示。

即表示。

即A=vx+2.5vy+4vz矢量空间正交分解的概念可推广到矢量空间正交分解的概念可推广到信号信号空间，空间，在信号空间找到若干个在信号空间找到若干个相互正交的信号相互正交的信号作为基本信号，作为基本信号，使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。

使得信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。

信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第1-4页电子教案电子教案4.14.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数二、信号正交与正交函数集二、信号正交与正交函数集1.定义：

定义：

定义在定义在（t1，t2）区间的两个函数区间的两个函数1（t）和和2（t）,若满足若满足（两函数的内积为两函数的内积为0）则称则称1（t）和和2（t）在区间在区间（t1，t2）内内正交正交。

2.正交函数集：

正交函数集：

若若n个函数个函数1（t），2（t），n（t）构成一个函数构成一个函数集，当这些函数在区间集，当这些函数在区间（t1，t2）内满足内满足则称此函数集为在区间则称此函数集为在区间（t1，t2）的的正交函数集正交函数集。

信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第1-5页电子教案电子教案4.14.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数3.完备正交函数集：

完备正交函数集：

如果在正交函数集如果在正交函数集1（t），2（t），n（t）之外，不存在函数之外，不存在函数（t）（0）满足满足则称此函数集为则称此函数集为完备正交函数集完备正交函数集。

例如例如：

三角函数集三角函数集1，cos（nt），sin（nt），n=1,2,和和虚指数函数集虚指数函数集ejnt，n=0，1，2，是两组典型的在是两组典型的在区间区间（t0，t0+T）（T=2/）上的完备正交函数集。

上的完备正交函数集。

（i=1，2，n）信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第1-6页电子教案电子教案4.14.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数三、信号的正交分解三、信号的正交分解设有设有n个函数个函数1（t），2（t），n（t）在区间在区间（t1，t2）构成一个正交函数空间。

将任一函数构成一个正交函数空间。

将任一函数f（t）用这用这n个个正交函数的线性组合来近似，可表示为正交函数的线性组合来近似，可表示为f（t）C11+C22+Cnn如何选择各系数如何选择各系数Cj使使f（t）与近似函数之间误差在区与近似函数之间误差在区间间（t1，t2）内为最小。

内为最小。

通常使误差的方均值通常使误差的方均值（称为称为均方误差均方误差）最小。

均方误差最小。

均方误差为为信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第1-7页电子教案电子教案4.14.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数为使上式最小为使上式最小展开上式中的被积函数，并求导。

上式中只有两项不展开上式中的被积函数，并求导。

上式中只有两项不为为0，写为，写为即即所以系数所以系数信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第1-8页电子教案电子教案4.14.1信号分解为正交函数信号分解为正交函数代入，得最小均方误差（推导过程见教材）代入，得最小均方误差（推导过程见教材）在用正交函数去近似在用正交函数去近似f（t）时，所取得项数越多，即时，所取得项数越多，即n越越大，则均方误差越小。

当大，则均方误差越小。

当n时（为完备正交函数集）时（为完备正交函数集），均方误差为零。

此时有，均方误差为零。

此时有上式称为上式称为（Parseval）巴塞瓦尔公式巴塞瓦尔公式，表明：

在区间，表明：

在区间（t1,t2）f（t）所含能量恒等于所含能量恒等于f（t）在完备正交函数集中分在完备正交函数集中分解的各正交分量能量的总和。

解的各正交分量能量的总和。

函数函数f（t）可可分解为无穷多项正交函数之和分解为无穷多项正交函数之和信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第1-9页电子教案电子教案4.24.2傅里叶级数傅里叶级数4.24.2傅里叶级数傅里叶级数一、傅里叶级数的三角形式一、傅里叶级数的三角形式设周期信号设周期信号f（t），其周期为其周期为T，角频率角频率=2/T，当满足当满足狄里赫利狄里赫利（Dirichlet）条件时，它可分解为如下三角条件时，它可分解为如下三角级数级数称为称为f（t）的的傅里叶级数傅里叶级数系数系数an,bn称为称为傅里叶系数傅里叶系数可见，可见，an是是n的偶函数，的偶函数，bn是是n的奇函数。

的奇函数。

信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第1-10页电子教案电子教案4.24.2傅里叶级数傅里叶级数式中，式中，A0=a0上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。

上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。

其中，其中，A0/2为为直流分量直流分量；A1cos（t+1）称为称为基波或一次谐波基波或一次谐波，它的角频率与原，它的角频率与原周期信号相同；周期信号相同；A2cos（2t+2）称为称为二次谐波二次谐波，它的频率是基波的，它的频率是基波的2倍；倍；一般而言，一般而言，Ancos（nt+n）称为称为n次谐波次谐波。

可见可见An是是n的的偶函数，偶函数，n是是n的奇的奇函数。

函数。

an=Ancosn，bn=Ansinn，n=1,2,将上式同频率项合并，可写为将上式同频率项合并，可写为信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第1-11页电子教案电子教案4.24.2傅里叶级数傅里叶级数二、波形的对称性与谐波特性二、波形的对称性与谐波特性1.f（t）为偶函数为偶函数对称纵坐标对称纵坐标bn=0，展开为余弦级数。

展开为余弦级数。

2.f（t）为奇函数为奇函数对称于原点对称于原点an=0，展开为正弦级数。

展开为正弦级数。

实际上，任意函数实际上，任意函数f（t）都可分解为奇函数和偶函数两部都可分解为奇函数和偶函数两部分，即分，即f（t）=fod（t）+fev（t）由于由于f（-t）=fod（-t）+fev（-t）=-fod（t）+fev（t）所以所以信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第1-12页电子教案电子教案4.24.2傅里叶级数傅里叶级数3.f（t）为奇谐函数为奇谐函数f（t）=f（tT/2）此时此时其傅里叶级数中只含奇次其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分谐波分量，而不含偶次谐波分量即量即a0=a2=b2=b4=0三、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式三角形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用不便，因而经常采用指数形式指数形式的傅里叶级数。

可从三的傅里叶级数。

可从三角形式推出：

利用角形式推出：

利用cosx=（ejx+ejx）/2信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第1-13页电子教案电子教案4.24.2傅里叶级数傅里叶级数上式中第三项的上式中第三项的n用用n代换，代换，An=An，n=n，则上式写为则上式写为令令A0=A0ej0ej0t，0=0所以所以信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第1-14页电子教案电子教案4.24.2傅里叶级数傅里叶级数令复数令复数称其为称其为复傅里叶系数复傅里叶系数，简称傅里叶系数。

，简称傅里叶系数。

n=0,1,2，表明：

任意周期信号表明：

任意周期信号f（t）可分解为许多不同频率的虚指数可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。

信号之和。

F0=A0/2为直流分量。

为直流分量。

信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第1-15页电子教案电子教案4.24.2傅里叶级数傅里叶级数四、周期信号的功率四、周期信号的功率Parseval等式等式直流和直流和n次谐波分量在次谐波分量在1电阻上消耗的平均功率之和。

电阻上消耗的平均功率之和。

n0时，时，|Fn|=An/2。

周期信号一般是功率信号，其平均功率为周期信号一般是功率信号，其平均功率为信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第1-16页电子教案电子教案4.34.3周期信号的频谱周期信号的频谱4.34.3周期信号的频谱及特点周期信号的频谱及特点一、信号频谱的概念一、信号频谱的概念从广义上说，信号的某种从广义上说，信号的某种特征量特征量随信号频率变化随信号频率变化的关系，称为的关系，称为信号的频谱信号的频谱，所画出的图形称为信号的，所画出的图形称为信号的频谱图频谱图。

周期信号的频谱周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即相位随频率的变化关系，即将将An和和n的的关系分别画在以关系分别画在以为为横轴的平横轴的平面上得到的两个图，分别称为面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图振幅频谱图和和相位频谱相位频谱图图。

因为。

因为n0，所以称这种频谱为所以称这种频谱为单边谱单边谱。

也可画也可画|Fn|和和n的关系，称为的关系，称为双边谱双边谱。

若。

若Fn为为实数，也可直接画实数，也可直接画Fn。

信号与系统信号与系统信号与系统信号与系统西安电子科技大学电路与系统教研中心第1-17页电子教案电子教案4.