分式与分式方程导学案新北师大.docx

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分式与分式方程导学案新北师大

分式与分式方程导学案（新北师大）

　　第五章　分式与分式方程

　　节认识分式

　　【学习目标】

　　了解分式的概念，明确分式和整式的区别；

　　能用分式表示简单问题数量之间的关系；

　　会判断一个分式何时有意义；

　　会根据已知条件求分式的值。

　　【学习重难点】重点：

掌握分式的概念；

　　难点：

正确区分整式与分式。

　　【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合．

　　【学习过程】

　　模块一预习反馈

　　一、学习准备

　　分式的概念：

整式A除以整式B，可以表示成的形式，如果中含有字母，那么我们称为__________

　　分式与整式的区别：

分式一定含有分母，且分母中一定含有；而整式不一定含有分母，若含有分母，分母中一定不含有字母。

　　分式有意义、无意义或等于零的条件：

　　分式有意义的条件：

分式的的值不等于零；

　　分式无意义的条件：

分式的的值等于零；

　　分式的值为零的条件：

分式的的值等于零，且分式的的值不等于零；

　　阅读教材：

节《认识分式》

　　二、教材精读

　　理解分式的概念

　　分析：

区分整式与分式的唯一标准就是看分母，分母中不含字母的是整式，分母中含有字母的是分式。

　　提示：

是一个常数，而不是字母。

　　解：

　　注意：

理解分式的概念，应把握以下三点：

分式中，A、B是两个整式，它是两个整式相除的商，分数线由括号和除号两个作用，如可以表达成；分式中B一定含有字母，而分子A中可以含有字母，也可以不含字母；分式中，分母的值是零，则分式没有意义，如分式中，

　　分析：

根据分式有意义的条件进行计算，此题即为求分母不等于零时x的取值范围。

　　模块二合作探究

　　下列代数式：

，，，，，，其中是分式的有：

__________________________________________.

　　当x取何值时，下列分式有意义？

9、当x取何值时，下列分式无意义？

10、当x取何值时，下列分式的值为零？

　　模块三形成提升

　　下列各式中，哪些是整式？

哪些是分式？

　　①5x－7，②3x2－1，③，④，⑤，⑥，⑦答：

______________________________.

　　当x取何值时，分式无意义？

　　当x为何值时，分式的值为正？

　　若分式的值为零,则x的值是____________。

　　模块四小结评价

　　本课知识点：

　　分式的概念：

__________________________________________________________________

　　分式有意义、无意义或等于零的条件：

　　分式有意义的条件：

分式的的值不等于零；

　　分式无意义的条件：

分式的的值等于零；

　　分式的值为零的条件：

分式的的值等于零，且分式的的值不等于零；

　　二、本课典型例题：

　　三、我的困惑：

　　第五章　分式与分式方程

　　节分式

　　【学习目标】1、让学生初步掌握分式的基本性质；

　　掌握分式约分方法，熟练进行约分；

　　了解什么是最简分式，能将分式化为最简分式；

　　【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合．

　　【学习重难点】重点：

掌握分式的概念及其基本性质；

　　难点：

正确区分整式与分式，以及运用分式的基本性质来化简分式。

　　【学习过程】

　　模块一预习反馈

　　学习准备

　　分式的基本性质：

分式的和都同时乘以同一个不等于零的整式，分式的值不变。

用字母表示为：

，。

　　．约分：

　　概念：

把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为__________

　　约分的关键：

找出分子分母的公因式；

　　约分的依据：

分式的基本性质；

　　约分的方法：

先把分子、分母分解因式，然后约去它们的公因式，约分的最后结果是将一个分式变为最简分式或整式。

　　．最简分式：

分子与分母没有____________的分式叫做最简分式。

　　二、教材精读

　　分析：

解有关分式恒等变形的填空题，一般从分子或分母的已知项入手，观察变化方式，再把未知项作相应的变形。

本题中是隐含条件。

　　注意：

要深刻理解“都”与“同”的含义，“都”的意思是分子与分母必须同时乘同一个整式，“同”说明分子与分母都乘的整式必须是同一个整式。

　　在分式的基本性质中，要重视这个条件，如，隐含着这个条件，所以等式是正确的，但，分子、分母同乘y，由于没有说明这个条件，所以这个等式变形不正确。

　　若原分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先把分式的分子或分母用括号括上，再乘或除以整式，如：

。

　　分式的分子、分母或分式本身的符号，改变其中任意两个，分式的值不变，如：

;若只改变其中一个的符号或三个符号，则分式的值变成原分式的值的相反数，如.

　　模块二合作探究

　　填空：

==

　　代数式①，②，③，④中，是最简分式的是___________________.

　　模块三形成提升

　　填空：

　　不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.

　　===0

　　把分式中的都扩大为原来的3倍，则分式的值变为原来的倍。

　　⑴化简分式⑵已知，求的值。

　　模块四小结评价

　　一、本课知识点：

　　二、本课典型例题：

　　第五章　分式与分式方程

　　第二节分式的乘除法

　　【学习目标】

　　经历探索分式的乘除法法则的过程，并结合具体情境说明其合理性；

　　会进行简单分式的乘除法计算，具有一定的化归能力；

　　在学知识的同时学到类比转化的思想方法，受到思维训练，能解决与分式有关的简单实际问题；

　　【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合．

　　【学习重难点】重点：

掌握分式的乘除法法则；

　　难点：

熟练地运用法则进行计算，提高运算能力。

　　【学习过程】

　　模块一预习反馈

　　一、学习准备

　　分式的乘除法法则：

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的，把分母相乘的积作为积的；两分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式。

　　分式乘除法运算步骤和运算顺序：

　　步骤：

对分式进行乘除运算时，先观察各分式，看各分式的分子、分母能否分解因式，若能分解因式的应先分解因式。

当分解因式完成以后，要进行____________，直到分子、分母没有______________时再进行乘除。

　　顺序：

分式乘除法与整式乘除法运算顺序相同，一般从左向右，有除法的先把除法转化为乘法。

　　二、教材精读

　　分析：

题中分子、分母都是单项式，可直接运用法则计算；应先分解因式，然后约分，但需注意符号的变化。

模块二合作探究

　　计算：

　　模块三形成提升

　　计算：

　　模块四小结评价

　　一、本课知识点：

　　分式的乘除法法则：

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的，把分母相乘的积作为积的；两分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式。

　　二、本课典型例题：

　　第五章　分式与分式方程

　　第三节分式加减法

　　【学习目标】

　　会进行简单分式的加减运算,具有一定的代数化归能力；

　　能解决一些简单的实际问题，进一步体会分式的模型作用；

　　结合已有数学经验，解决新问题，获得成就感以及克服困难的方法和勇气；

　　【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合．

　　【学习重难点】重点：

分式的通分；

　　难点：

如何确定最简公分母。

　　【学习过程】

　　模块一预习反馈

　　学习准备

　　同分母分式相加减：

　　法则：

同分母的分式相加减，不变，把相加减。

　　注意：

①字母表示为：

。

　　②“分子相加减”是各个分式的“分子整体”相加减，即各个分子都应有括号。

当分子为单项式时，括号可以省略；当分子为多项式时，括号不能省略。

　　③分式加减运算的结果，必须化为最简分式或整式。

　　分式的通分：

　　概念：

根据分式的基本性质，把异分母分式化成同分母分式的过程，叫分式的________。

　　通分的方法：

先求各分式的_____________-，然后用每一个分式的分母去除这个最简公分母，用所得的商去乘相应分式的分子、分母；

　　通分的依据：

________________________。

　　二、教材精读

　　进一步理解同分母的分式相加减的法则：

　　分析：

同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，结果要化成最简分式或整式；因为，把分式化成同分母后，依同分母分式加减法法则运算。

　　通分：

　　分析：

通分的关键：

确定几个分式的最简公分母。

　　模块二合作探究

　　分式，，的最简公分母是

　　计算：

　　模块三形成提升

　　通分：

和和和

　　计算：

　　模块四小结评价

　　一、本课知识点：

　　同分母分式相加减：

法则：

同分母的分式相加减，不变，把相加减。

　　分式通分的概念：

根据分式的基本性质，把异分母分式化成同分母分式的过程，叫分式的____________。

　　二、本课典型例题：

　　三、我的困惑：

　　第五章　分式与分式方程

　　第三节分式加减法

　　【学习目标】

　　会进行异分母分式的通分；

　　会进行异分母分式的加减运算；

　　【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合．

　　【学习重难点】重点：

掌握异分母分式的加减运算；

　　难点：

分式的混合运算，异分母分式相加减要先通分，通分时注意分子和分母同乘以一个整式，避免出现分母乘分子不乘的错误；进行分式运算时要注意运算顺序。

　　【学习过程】

　　模块一预习反馈

　　学习准备：

　　异分母分式的加减法法则：

异分母的分式相加减，先通分，化为______________的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。

　　分式的混合运算：

　　与分数的加、减、乘、除混合运算一样，分式的加、减、乘、除混合运算，也是先算乘除，后算加减，遇有括号，先算括号内的。

　　确定最简公分母的一般步骤：

①取各分母的_________的最小公倍数；

　　②凡出现的字母的幂的因式都要取；

　　③相同字母的幂的因式取__________________的；

　　④如果分母是多项式，一般应先__________________________________。

　　二、教材精读：

　　进一步理解异分母分式的加减法法则

　　分析：

先找最简公分母，再通分把它们化成同分母分式，然后再相加减。

　　模块二合作探究

　　用两种不同的运算顺序计算

　　计算：

　　模块三形成提升

　　计算：

　　计算：

　　计算：

　　模块四小结评价

　　一、本课知识点：

　　异分母分式的加减法法则：

异分母的分式相加减，先通分，化为______________的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算。

　　二、本课典型例题：

　　三、我的困惑：

　　第五章　分式与分式方程

　　第四节分式方程

　　【学习目标】

　　能找出现实情景中的等量关系；

　　会通过设适当的未知数根据等量关系列出分式方程；

　　通过列出的方程归纳出它们的共同特点，得出分式方程的概念.了解分式的概念，明确分式和整式的区别；

　　【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合．

　　【学习重难点】重点：

理解分式方程的定义、找出问题中的等量关系列出方程；

　　难点：

如何找出等量关系，如何把等量关系转化为分式方程。

　　【学习过程】

　　模块一预习反馈

　　学习准备：

　　分式方程的概念：

中含有未知数的方程叫做分式方程；

　　判断分式方程的条件：

①方程；②分母中含有未知数；

　　与整式方程的区别：

分母中是否含有______________；

　　列分式方程解应用题。

　　二、教材精读：

　　进一步理解分式方程

　　例1中是分式方程的有

　　A．2个B.3个c.4个D.5个

　　例2甲、乙两地相距1500，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍。

　　你能找出这一问题中的所有等量关系吗？

　　如果设特快列车的平均速度为x/h，那么x满足怎样的方程？

　　如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh，那么y满足怎样的方程？

　　解：

　　模块二合作探究

　　例2为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。

已知七年级同学捐款总额为4900元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等。

如果设七年级捐款人数为x人，那么x满足怎样的方程？

____________________________________________________

　　模块三形成提升

　　A、；B、；c、中，是分式方程,是整式方程。

理由：

_________。

　　判断下列方程中哪些是分式方程？

　　；；；

　　；；；

　　；答：

___________。

　　甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程，已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的，求甲、乙两队单独完成各需多少天？

　　解：

设

　　列出方程为：

。

　　模块四小结评价

　　一、本课知识点：

　　分式方程的概念：

中含有未知数的方程叫做分式方程；

　　判断分式方程的条件：

___________________________________.

　　二、本课典型例题：

　　三、我的困惑：

　　第五章　分式与分式方程

　　第四节分式方程

　　【学习目标】

　　体会分式方程到整式方程的转化思想，掌握分式方程的解法；

　　了解分式方程产生增根的原因，会检验根的合理性；

　　培养学生的数学转化思想和观察、类比、探索的能力；

　　【学习方法】自主探究总结与小组合作交流相结合．

　　【学习重难点】重点：

掌握分式方程的解法解、分式方程要验根；

　　难点：

解分式方程及验根。

　　【学习过程】

　　模块一预习反馈

　　学习准备：

　　解分式方程的一般步骤：

　　去分母，把原分式方程化为；

　　解这个整式方程；

　　检验：

把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母的值不等于零的根是原分式方程的，使最简公分母的值等于零的根是原方程的。

　　增根

　　概念：

将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去分母，有时可能产生不适合原分式方程的解，这种根通常称为增根；

　　认识增根：

①增根是去分母后所得的根；

　　②增根使最简公分母的值为；

　　③增根原方程的根。

　　教材精读：

　　进一步理解如何解分式方程

　　例1解方程

　　解：

方程两边都乘________________，得_______________________________________.

　　解这个方程，得_____________________________________________________________

　　检验：

将_________________________，得_______________________________________

　　所以________________________________________________________________________

　　例2解方程：

　　解：

方程两边都乘________________，得_______________________________________.

　　解这个方程，得______________________________________________________________

　　检验：

将_________________________，得_______________________________________

　　所以________________________________________________________________________

　　模块二合作探究

　　解分式方程

　　解：

方程两边都乘________________，得_______________________________________.

　　解这个方程，得______________________________________________________________

　　检验：

将_________________________，得_______________________________________

　　所以________________________________________________________________________

　　若方程有增根，求的值。

　　分析：

若分式方程有增根，则最简公分母必须等于零，由此我们可以找出所有可能的增根，再利用增根满足整式方程，列出关于的方程，求出的值即可。

模块三形成提升

　　关于x的方程有增根，则增根只能是

　　A、1B、2c、3D、0

　　关于x的方程有增根，则的值为

　　A、1B、0c、D、

　　解下列方程：

　　当为何值时，关于x的方程有增根。

　　模块四小结评价

　　一、本课知识点：

　　解分式方程的一般步骤：

___________________________________________________

　　什么是增根：

_____________________________________________________________

　　二、本课典型例题：

　　三、我的困惑：

　　第五章　分式与分式方程

　　第四节分式方程

　　【学习目标】

　　经历将实际问题中的等量关系用分式方程表示的过程；

　　掌握列分式方程解应用题的一般步骤；

　　会列出分式方程解决简单的应用题，提高学生的分析问题、解决问题的能力和应用意识；

　　【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合．

　　【学习重难点】重点：

列分式方程解应用题；

　　难点：

对所求出的分式方程的根进行检验的思想的重视

　　【学习过程】

　　模块一预习反馈

　　学习准备：

　　列分式方程解应用题的一般步骤：

　　审清题意；

　　设未知数；

　　找出等量关系；

　　列出分式方程；

　　解这个分式方程；

　　检验，既要验证根是否是所列分式方程的根，又要检验根是否符合题意；

　　写出答案。

　　列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的区别：

　　列分式方程解应用题时要注意，既要验证求出的未知数的值是否是所列分式方程的根，又要检验根是否。

　　教材精读：

　　例1甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相等，已知甲、乙两人每天共加工35个玩具，求甲乙两人每天各加工多少个玩具？

　　分析：

等量关系是：

甲用的时间与乙用的时间相等。

　　解题方案：

　　解：

设甲每天加工个玩具，则乙每天加工个玩具，

　　①甲加工90个玩具所用的时间为_______，乙加工120个玩具所用的时间为_______；

　　②根据题意,列出相应方程__________________；

　　③解这个方程得___________；

　　④检验：

____________；

　　⑤答：

甲每天加工________个玩具，乙每天加工_________个玩具。

　　模块二合作探究

　　例2某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨.小丽家去年12月的水费是15元，而今年7月的水费则是30元。

已知小丽家今年7月的水量比去年12月的用水量多5，求该市今年居民用水的价格。

　　分析：

此题的主要等量关系是：

____________________________________________________

　　解：

设该市去年居民用水的价格为x元/，则今年的水价为______________元/，

　　根据题意，得

　　模块三形成提升

　　小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书。

科普书的价格比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书少1本。

这种科普书和这种文学书的价格各是多少？

　　某市今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨25%，小明家去年12月份的水费是18元，而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12月份多6立方米，求该市今年居民用水的价格？

　　李明到离家2.1的学校参加初三联欢会，到学校时发现演出道具还放在家中，此时距联欢会开始还有42in，于是他立即步行回家，在家拿道具用了1in，然后立即骑自行车返回学校。

已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少20in，且骑自行车的速度是步行速度的3倍。

　　李明步行的速度是多少？

　　李明能否在联欢会开始前赶到学校？

　　分析：

此题的主要等量关系是：

_____________________________________________________

　　模块四小结评价

　　一、本课知识点：

　　列分式方程解应用题的一般步骤：

________________________________________________

　　二、本课典型例题：

　　三、我的困惑：

　　第五章　分式

　　回顾与思考

　　典型问题分析：

　　问题一：

1、下列各式，，，，，中，分式的个数是

　　A.1个B.2个c.3个D.4个

　　在，，，，，中，是分式的有

　　A.2个B.3个c.4个D.5个

　　问题二：

当时，分式有意义；

　　当时，分式的值为零；

　　若分式无意义，则=；

　　当时，分式的值为正数。

　　问题三：

计算：

⑴

　　⑵⑶

　　问题四：

1、如果，则=.

　　若，则＝.

　　分式方程有增根，则＝