高考数学第一轮系统复习资料按章节编排教师版.docx
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高考数学第一轮系统复习资料按章节编排教师版
2015年高考数学第一轮系统复习资料（按章节编排）（教师版）
第一章集合
第一节集合的含义、表示及基本关系
A组
1．已知A＝{1,2}，B＝{x|x∈A}，则集合A与B的关系为________．
解析：
由集合B＝{x|x∈A}知，B＝{1,2}．答案：
A＝B
2．若∅{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是________．
解析：
由题意知，x2≤a有解，故a≥0.答案：
a≥0
3．已知集合A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合B＝{x|－2≤x<8}，则集合A与B的关系是________．
解析：
y＝x2－2x－1＝（x－1）2－2≥－2，∴A＝{y|y≥－2}，∴BA.
答案：
BA
4．（2009年高考广东卷改编）已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N
2＝{x|x＋x＝0}关系的韦恩（Venn）图是________．
解析：
由N={x|x2+x=0}，得N={-1,0}，则NM.答案：
②
5．（2010年苏、锡、常、镇四市调查）已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
解析：
命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，∴AB，∴a<5.
答案：
a<5
6．（原创题）已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，又C＝{x|x＝4a＋1，a∈Z}，判断m＋n属于哪一个集合？
解：
∵m∈A，∴设m＝2a1，a1∈Z，又∵n∈B，∴设n＝2a2＋1，a2∈Z，∴m＋n＝2（a1＋a2）＋1，而a1＋a2∈Z，∴m＋n∈B.
B组
abab1．设a，b都是非零实数，y＝可能取的值组成的集合是________．|a||b||ab|
解析：
分四种情况：
（1）a>0且b>0；
（2）a>0且b<0；（3）a<0且b>0；（4）a<0且b<0，讨论得y＝3或y＝－1.答案：
{3，－1}
2．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝________.
222解析：
∵B⊆A，显然m≠－1且m≠3，故m＝2m－1，即（m－1）2＝0，∴m
＝1.答案：
1
3．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是________个．
解析：
依次分别取a＝0,2,5；b＝1,2,6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P＋Q＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：
8
4．已知集合M＝{x|x2＝1}，集合N＝{x|ax＝1}，若NM，那么a的值是________．
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解析：
M＝{x|x＝1或x＝－1}，NM，所以N＝∅时，a＝0；当a≠0时，x1＝＝1或－1，∴a＝1或－1.答案：
0,1，－1a
5．满足{1}A⊆{1,2,3}的集合A的个数是________个．
解析：
A中一定有元素1，所以A有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：
3
1b1c16．已知集合A＝{x|x＝aa∈Z}，B＝{x|x＝，b∈Z}，C＝{x|x＝c∈Z}，62326
则A、B、C之间的关系是________．
解析：
用列举法寻找规律．答案：
AB＝C
7．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x<a}，则“A⊆B”是“a>5”的________．
解析：
结合数轴若A⊆B⇔a≥4，故“A⊆B”是“a>5”的必要但不充分条件．答案：
必要不充分条件
8．（2010年江苏启东模拟）设集合M＝{m|m＝2n，n∈N，且m<500}，则M中所有元素的和为________．
解析：
∵2n<500，∴n＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M中所有元素的和S＝1＋2＋22＋…＋28＝511.答案：
511
9．（2009年高考北京卷）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“孤立元”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．
解析：
依题可知，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：
6
10．已知A＝{x，xy，lg（xy）}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，试求x，y的值．
解：
由lg（xy）知，xy>0，故x≠0，xy≠0，于是由A＝B得lg（xy）＝0，xy＝1.
1∴A＝{x,1,0}，B＝{0，|x|，．x
1于是必有|x|＝1，x≠1，故x＝－1，从而y＝－1.x
11．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，
（1）若B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；
（2）若A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围；
（3）若A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．
解：
由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}，
（1）∵B⊆A，∴①若B＝∅，则m＋1>2m－1，即m<2，此时满足B⊆A.
m＋1≤2m－1，ìï②若B≠∅，则í－2≤m＋1，
ïî2m－1≤5.解得2≤m≤3.
由①②得，m的取值范围是（－∞，3]．
2m－1>m－6，ìï
（2）若A⊆B，则依题意应有ím－6≤－2，
ïî2m－1≥5.
∴m的取值范围是[3,4]．m>－5，ìï解得ím≤4，故3≤m≤4，ïîm≥3.
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ìïm－6＝－2，（3）若A＝B，则必有í解得m∈∅.，即不存在m值使得A＝B.ï2m－1＝5，î
12．已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|x2－（a＋1）x＋a≤0}．
（1）若A是B的真子集，求a的取值范围；
（2）若B是A的子集，求a的取值范围；
（3）若A＝B，求a的取值范围．
解：
由x2－3x＋2≤0，即（x－1）（x－2）≤0，得1≤x≤2，故A＝{x|1≤x≤2}，而集合B＝{x|（x－1）（x－a）≤0}，
（1）若A是B的真子集，即AB，则此时B＝{x|1≤x≤a}，故a>2.
（2）若B是A的子集，即B⊆A，由数轴可知1≤a≤
2.
（3）若A=B，则必有a=2
第二节集合的基本运算
A组
1．（2009年高考浙江卷改编）设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩∁UB＝____.
解析：
∁UB＝{x|x≤1}，∴A∩∁UB＝{x|0<x≤1}．答案：
{x|0<x≤1}
2．（2009年高考全国卷Ⅰ改编）设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有________个．
解析：
A∩B＝{4,7,9}，A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，∁U（A∩B）＝{3,5,8}．答案：
3
3．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________.
解析：
由题意知，N＝{0,2,4}，故M∩N＝{0,2}．答案：
{0,2}
4．（原创题）设A，B是非空集合，定义AⓐB＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，则AⓐB＝________.
解析：
A∪B＝[0，＋∞），A∩B＝[0,2]，所以AⓐB＝（2，＋∞）．
答案：
（2，＋∞）
5．（2009年高考湖南卷）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
解析：
设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图
得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3，∴喜爱篮球运动但
不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12（人）．答案：
12
6．（2010年浙江嘉兴质检）已知集合A＝{x|x>1}，集
合B＝{x|m≤x≤m＋3}．
（1）当m＝－1时，求A∩B，A∪B；
（2）若B⊆A，求m的取值范围．
解：
（1）当m＝－1时，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥－1}．
（2）若B⊆A，则m>1，即m的取值范围为（1，＋∞）
B组
1．若集合M＝{x∈R|－3<x<1}，N＝{x∈Z|－1≤x≤2}，则M∩N＝________.
解析：
因为集合N＝{－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－1,0}．答案：
{－1,0}
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2．已知全集U＝{－1,0,1,2}，集合A＝{－1,2}，B＝{0,2}，则（∁UA）∩B＝________.
解析：
∁UA＝{0,1}，故（∁UA）∩B＝{0}．答案：
{0}
3．（2010年济南市高三模拟）若全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x≤0}，则M∩（∁UN）＝________.
解析：
根据已知得M∩（∁UN）＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}＝{x|－2≤x<0}．答案：
{x|－2≤x<0}
4．集合A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.
解析：
由A∩B＝{2}得log2a＝2，∴a＝4，从而b＝2，∴A∪B＝{2,3,4}．答案：
{2,3,4}
5．（2009年高考江西卷改编）已知全集U＝A∪B中有m个元素，（∁UA）∪（∁UB）中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________．
解析：
U＝A∪B中有m个元素，
∵（∁UA）∪（∁UB）＝∁U（A∩B）中有n个元素，∴A∩B中有
m－n个元素．答案：
m－n
6．（2009年高考重庆卷）设U＝{n|n是小于9的正整数}，A
＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U（A∪B）
＝________.
解析：
U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}，∴A∪B＝{1,3,5,6,7}，得∁U（A∪B）＝{2,4,8}．答案：
{2,4,8}
x7．定义A⊗B＝{z|z＝xy＋x∈A，y∈B}．设集合A＝{0,2}，B＝{1,2}，C＝{1}，y
则集合（A⊗B）⊗C的所有元素之和为________．
解析：
由题意可求（A⊗B）中所含的元素有0,4,5，则（A⊗B）⊗C中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和为18.答案：
18
8．若集合{（x，y）|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝x，y）|y＝3x＋b}，则b＝________.
ììïx＋y－2＝0，ïx＝0，í解析：
由⇒í点（0,2）在y＝3x＋b上，∴b＝2.ïïîx－2y＋4＝0.îy＝2.
9．设全集I＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{2，|a＋1|}，∁IA＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}，则集合M的所有子集是________．
解析：
∵A∪（∁IA）＝I，∴{2,3，a2＋2a－3}＝{2,5，|a＋1|}，∴|a＋1|＝3，且a2＋2a－3＝5，解得a＝－4或a＝2，∴M＝{log22，log2|－4|}＝{1,2}．
答案：
∅，{1}，{2}，{1,2}
10．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋（a2－5）＝0}．
（1）若A∩B＝{2}，求实数a的值；
（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
2解：
由x－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，故集合A＝{1,2}．
（1）∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入B中的方程，得a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1或a＝－3；当a＝－1时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a＝－3时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a的值为－1或－3.
（2）对于集合B，Δ＝4（a＋1）2－4（a2－5）＝8（a＋3）．∵A∪B＝A，∴B⊆A，①当Δ<0，即a<－3时，B＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a＝－3时，B＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a>－3时，B＝A＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得
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ììïa＝－2，ï1＋2＝－2（a＋1）í⇒íï1×2＝a2－5îï25îa＝7，矛盾.综上，a的取值范围是a≤－3.
11．已知函数f（x）＝－1的定义域为集合A，函数g（x）＝lg（－x2＋2x＋m）x＋1
的定义域为集合B.
（1）当m＝3时，求A∩（∁RB）；
（2）若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值．
解：
A＝{x|－1<x≤5}．
（1）当m＝3时，B＝{x|－1<x<3}，则∁RB＝{x|x≤－1或x≥3}，
∴A∩（∁RB）＝{x|3≤x≤5}．
（2）∵A＝{x|－1<x≤5}，A∩B＝{x|－1<x<4}，
∴有－42＋2×4＋m＝0，解得m＝8，此时B＝{x|－2<x<4}，符合题意．
12．已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}．
（1）若A＝∅，求实数a的取值范围；
（2）若A是单元素集，求a的值及集合A；
（3）求集合M＝{a∈R|A≠∅}．
解：
（1）A是空集，即方程ax2－3x＋2＝0无解．
2若a＝0，方程有一解x＝3
9若a≠0，要方程ax2－3x＋2＝0无解，则Δ＝9－8a<0，则a>.8
9综上可知，若A＝∅，则a的取值范围应为a>.8
22
（2）当a＝0时，方程ax2－3x＋2＝0只有一根x＝A＝{}符合题意．33
9当a≠0时，则Δ＝9－8a＝0，即a时，8
44方程有两个相等的实数根x＝A＝}．33
294综上可知，当a＝0时，A＝{}；当a＝A＝{}．383
2（3）当a＝0时，A＝∅.当a≠0时，要使方程有实数根，3
9则Δ＝9－8a≥0，即a≤.8
99综上可知，a的取值范围是a≤，即M＝{a∈R|A≠∅}＝{a|a≤}88
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第二章函数
第一节对函数的进一步认识
A组
－x－3x＋41．（2009年高考江西卷改编）函数y＝的定义域为________．x
2ìï－x－3x＋4≥0，解析：
í⇒x∈[－4,0）∪（0,1]ïx≠0，î
答案：
[－4,0）∪（0,1]
2．（2010年绍兴第一次质检）如图，函数f（x）的图象是曲线
段OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0,0），（1,2），（3,1），
1则f（）的值等于________．f（3）
1解析：
由图象知f（3）＝1，f（＝f
（1）＝2.答案：
2f（3）
xìï3，x≤1，3．（2009年高考北京卷）已知函数f（x）＝í若f（x）＝2，则x＝________.ï－x，x>1.î
解析：
依题意得x≤1时，3x＝2，∴x＝log32；
当x>1时，－x＝2，x＝－2（舍去）．故x＝log32.答案：
log32
4．（2010年黄冈市高三质检）函数f：
{1，2}→{1，2}满
足f[f（x）]>1的这样的函数个数有________个．
解析：
如图．答案：
1
5．（原创题）由等式x3＋a1x2＋a2x＋a3＝（x＋1）3＋b1（x＋1）2＋
b2（x＋1）＋b3定义一个映射f（a1，a2，a3）＝（b1，b2，b3），则
f（2,1，－1）＝________.
解析：
由题意知x3＋2x2＋x－1＝（x＋1）3＋b1（x＋1）2＋b2（x＋1）＋b3，令x＝－1得：
－1＝b3；
ìï－1＝1＋b1＋b2＋b3再令x＝0与x＝1得í，ï3＝8＋4b1＋2b2＋b3î
解得b1＝－1，b2＝0.
答案：
（－1,0，－1）
11＋（x>1），x16．已知函数f（x）＝2
（1）求f（1－，f{f[f（－2）]}的值；x＋1（－1≤x≤1），2－1
2x＋3（x<－1）.
3
（2）求f（3x－1）；（3）若f（a）＝，求a.2
解：
f（x）为分段函数，应分段求解．1
（1）∵11－（2＋1）＝－2<－1，∴f（－2）＝－22＋3，－1ìïíïî
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13又∵f（－2）＝－1，f[f（－2）]＝f（－1）＝2，∴f{f[f（－2）]}＝1＋＝.22
213x
（2）若3x－1>1，即x>，f（3x－1）＝1＋33x－13x－1
3若－1≤3x－1≤1，即0≤x≤，f（3x－1）＝（3x－1）2＋1＝9x2－6x＋2；2
若3x－1<－1，即x<0，f（3x－1）＝2（3x－1）＋3＝6x＋1.
2∴f（3x－1）＝í9x－6x＋2（0≤x≤，3î6x＋1（x<0）.23x2（x>，33x－1
3（3）∵f（a），∴a>1或－1≤a≤1.2
13当a>1时，有1＋＝，∴a＝2；a2
32当－1≤a≤1时，a2＋1＝，∴a＝22
2∴a＝2或.2
B组
11．（2010年广东江门质检）函数y＝＋lg（2x－1）的定义域是________．3x－2
22解析：
由3x－2>0,2x－1>0，得x>答案：
{x|x>}33
－2x＋1，（x<－1），ìï2．（2010年山东枣庄模拟）函数f（x）＝í－3，（－1≤x≤2），
ïî2x－1，（x>2），3则f（f（f）＋5））＝_.2
33解析：
∵－12，∴f（＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f
（2）＝－3，22
∴f（－3）＝（－2）×（－3）＋1＝7.答案：
7
3．定义在区间（－1,1）上的函数f（x）满足2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1），则f（x）的解析式为________．
解析：
∵对任意的x∈（－1,1），有－x∈（－1,1），
由2f（x）－f（－x）＝lg（x＋1），①
由2f（－x）－f（x）＝lg（－x＋1），②
①×2＋②消去f（－x），得3f（x）＝2lg（x＋1）＋lg（－x＋1），21∴f（x）＝x＋1）＋－x），（－1<x<1）．33
21答案：
f（x）＝lg（x＋1）＋－x），（－1<x<1）33
4．设函数y＝f（x）满足f（x＋1）＝f（x）＋1，则函数y＝f（x）与y＝x图象交点的个数可能是________个．
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解析：
由f（x＋1）＝f（x）＋1可得f
（1）＝f（0）＋1，f
（2）＝f（0）＋2，f（3）＝f（0）＋3，…本题中如果f（0）＝0，那么y＝f（x）和y＝x有无数个交点；若f（0）≠0，则y＝f（x）和y＝x有零个交点．答案：
0或无数
ìï2（x＞0）5．设函数f（x）＝í2，若f（－4）＝f（0），f（－2）＝－2，则f（x）ïx＋bx＋c（x≤0）î
的解析式为f（x）＝________，关于x的方程f（x）＝x的解的个数为________个．
解析：
由题意得
ìï16－4b＋c＝cíï4－2b＋c＝－2
îìïb＝4í，
ïc＝2î
ìï2（x＞0）∴f（x）＝í2.ïx＋4x＋2（x≤0）î
由数形结合得f（x）＝x的解的个数有3个．
ìï2（x＞0）答案：
í23ïx＋4x＋2（x≤0）î
6．设函数f（x）＝logax（a＞0，a≠1），函数g（x）＝－x2＋bx＋c，若f（2＋2）－f（2＋
11）＝，g（x）的图象过点A（4，－5）及B（－2，－5），则a＝__________，函数f[g（x）]2
的定义域为__________．
答案：
2（－1,3）
ìx2－4x＋6，x≥0ï7．（2009年高考天津卷改编）设函数f（x）＝í，则不等式f（x）>f
（1）ïx＋6，x<0î
的解集是________．
解析：
由已知，函数先增后减再增，当x≥0，f（x）>f
（1）＝3时，令f（x）＝3，解得x＝1，x＝3.故f（x）>f
（1）的解集为0≤x<1或x>3.
当x<0，x＋6＝3时，x＝－3，故f（x）>f
（1）＝3，解得－3<x<0或x>3.
综上，f（x）>f
（1）的解集为{x|－3<x<1或x>3}．答案：
{x|－3<x<1或x>3}
8．（2009年高考山东卷）定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝ìïlog2（4－x），x≤0，í则f（3）的值为________．ïf（x－1）－f（x－2），x＞0，î
解析：
∵f（3）＝f
（2）－f
（1），又f
（2）＝f
（1）－f（0），∴f（3）＝－f（0），∵f（0）＝log24＝
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2，∴f（3）＝－2.答案：
－2
9．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟第-9-页共149页
ì－a）ï－2＋1＝3（1
a－1∴í－2＝61－aïîΔ＝[3（1－a）]－24（1－a）>0221－a2<0，
11．已知f（x＋2）＝f（x）（x∈R），并且当x∈[－1,1]时，f（x）＝－x2＋1，求当x∈[2k－1,2k＋1]（k∈Z）时、f（x）的解析式．
解：
由f（x＋2）＝f（x），可推知f（x）是以2为周期的周期函数．当x∈[2k－1,2k
2＋1]时，2k－1≤x≤2k＋1，－1≤x－2k≤1.∴f（x－2k）＝－（x－2k）＋1.
又f（x）＝f（x－2）＝f（x－4）＝…＝f（x－2k），
∴f（x）＝－（x－2k）2＋1，x∈[2k－1,2k＋1]，k∈Z.
12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ21支线客机备受关注，接到了包括美国在ìa＝2，ï∴ía＝±2.5ïa<－î11或a>1a<－1或a>1，∴a＝2.
ì
（2）f（x）＝í1000î216－x（87≤x<216，x∈N）.*2000（0<x≤86，x∈N*）.3x（3）分别为86、130或87、129.
第二节函数的单调性
A组
1．（2009年高考福建卷改编）下列函数f（x）中，满足“对任意x1，x2∈（0，＋∞），当x1<x2时，都有f（x1）>f（x2）”的是________．
1①f（x）＝②f（x）＝（x－1）2③f（x）＝ex④f（x）＝ln（x＋1）x
解析：
∵对任意的x1，x2∈（0，＋∞），当x1<x2
时，都有f（x1）>f（x2），∴f（x）在（0，＋∞）上为减函数．答
案：
①
2．函数f（x）（x∈R）的图象如右图所示，则函数g（x）
＝f（logax）（0<a<1）的单调减区间是________．
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1解析：
∵0<a<1，y＝logax为减函数，∴logax∈[0，]时，
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