三角函数公式推导过程.docx
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三角函数公式推导过程
三角函数公式推导过程
三角函数公式推导过程
三角函数是高中数学的重要内容之一,也是培养和锻炼学生数学思维的最好素材，怎么推导得来的呢？
本文是整理三角函数公式推导过程的资料，仅供参考。
三角函数公式推导过程
万能公式推导
sin2=2sincos=2sincos/（cos（）+sin（））......*，
（因为cos（）+sin（）=1）
再把*分式上下同除cos（），可得sin2=2tan/（1+tan（））
然后用/2代替即可。
同理可推导余弦的万能公式。
正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。
三倍角公式推导
tan3=sin3/cos3
=（sin2cos+cos2sin）/（cos2cos-sin2sin）
=（2sincos（）+cos（）sin-sin（））/（cos（）-cossin（）-2sin（）cos）
上下同除以cos（），得：
tan3=（3tan-tan（））/（1-3tan（））
sin3=sin（2+）=sin2cos+cos2sin
=2sincos（）+（1-2sin（））sin
=2sin-2sin（）+sin-2sin（）
=3sin-4sin（）
cos3=cos（2+）=cos2cos-sin2sin
=（2cos（）-1）cos-2cossin（）
=2cos（）-cos+（2cos-2cos（））
=4cos（）-3cos
即
sin3=3sin-4sin（）
cos3=4cos（）-3cos
和差化积公式推导
首先,我们知道sin（a+b）=sina*cosb+cosa*sinb,sin（a-b）=sina*cosb-cosa*sinb
我们把两式相加就得到sin（a+b）+sin（a-b）=2sina*cosb
所以,sina*cosb=（sin（a+b）+sin（a-b））/2
同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=（sin（a+b）-sin（a-b））/2
同样的,我们还知道cos（a+b）=cosa*cosb-sina*sinb,cos（a-b）=cosa*cosb+sina*sinb
所以,把两式相加,我们就可以得到cos（a+b）+cos（a-b）=2cosa*cosb
所以我们就得到,cosa*cosb=（cos（a+b）+cos（a-b））/2
同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-（cos（a+b）-cos（a-b））/2
这样,我们就得到了积化和差的四个公式:
sina*cosb=（sin（a+b）+sin（a-b））/2
cosa*sinb=（sin（a+b）-sin（a-b））/2
cosa*cosb=（cos（a+b）+cos（a-b））/2
sina*sinb=-（cos（a+b）-cos（a-b））/2
好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.
我们把上述四个公式中的`a+b设为x,a-b设为y,那么a=（x+y）/2,b=（x-y）/2
把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin（（x+y）/2）*cos（（x-y）/2）
sinx-siny=2cos（（x+y）/2）*sin（（x-y）/2）
cosx+cosy=2cos（（x+y）/2）*cos（（x-y）/2）
cosx-cosy=-2sin（（x+y）/2）*sin（（x-y）/2）
怎样推导三角函数公式
三角函数公式最基本的只有两个：
sin（+/-）=sincos+/-cossin
cos（+/-）=coscos-/+sinsin
这两个公式当然可以证明,而且数学课本上应该有证明.
其他的所有公式,包括和差倍半、诱导公式、和差化积、积化和差,全部都是这两个公式的衍生品.
仅举一例：
tan（+）=sin（+）/cos（+）=（sincos+cossin）/（coscos-sinsin）=（tan+tan）/（1-tantan）（上下同除coscos）.
这两个公式就是那一大堆公式的牛鼻子,记牢了就行了.至于剩下的,能记住,做题省点时间;记不住,拿这两个现场推.当然,要想拿这两个去推诱导公式的话,90、180、270那些角的函数值得自己记住.
记住两个,总比一下要记二十几个容易得多.
三角函数所有公式的推导过程
两角和公式
sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
sin（A-B）=sinAcosB-sinBcosA
cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB
cos（A-B）=cosAcosB+sinAsinB
tan（A+B）=（tanA+tanB）/（1-tanAtanB）
tan（A-B）=（tanA-tanB）/（1+tanAtanB）
cot（A+B）=（cotAcotB-1）/（cotB+cotA）
cot（A-B）=（cotAcotB+1）/（cotB-cotA）
倍角公式
tan2A=2tanA/[1-（tanA）]
cos2a=（cosa）-（sina）=2（cosa）-1=1-2（sina）
sin2A=2sinA*cosA
三倍角公式
sin3a=3sina-4（sina）
cos3a=4（cosa）-3cosa
tan3a=tana*tan（/3+a）*tan（/3-a）
半角公式
sin（A/2）=（（1-cosA）/2）sin（A/2）=-（（1-cosA）/2）
cos（A/2）=（（1+cosA）/2）cos（A/2）=-（（1+cosA）/2）
tan（A/2）=（（1-cosA）/（（1+cosA））tan（A/2）=-（（1-cosA）/（（1+cosA））
cot（A/2）=（（1+cosA）/（（1-cosA））cot（A/2）=-（（1+cosA）/（（1-cosA））
tan（A/2）=（1-cosA）/sinA=sinA/（1+cosA）
和差化积
2sinAcosB=sin（A+B）+sin（A-B）
2cosAsinB=sin（A+B）-sin（A-B））
2cosAcosB=cos（A+B）+cos（A-B）
-2sinAsinB=cos（A+B）-cos（A-B）
sinA+sinB=2sin（（A+B）/2）cos（（A-B）/2
cosA+cosB=2cos（（A+B）/2）sin（（A-B）/2）
tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosB
积化和差公式
sin（a）sin（b）=-1/2*[cos（a+b）-cos（a-b）]
cos（a）cos（b）=1/2*[cos（a+b）+cos（a-b）]
sin（a）cos（b）=1/2*[sin（a+b）+sin（a-b）]
诱导公式
sin（-a）=-sin（a）
cos（-a）=cos（a）
sin（pi/2-a）=cos（a）
cos（pi/2-a）=sin（a）
sin（pi/2+a）=cos（a）
cos（pi/2+a）=-sin（a）
sin（pi-a）=sin（a）
cos（pi-a）=-cos（a）
sin（pi+a）=-sin（a）
cos（pi+a）=-cos（a）
tgA=tanA=sinA/cosA
万能公式
sin（a）=（2tan（a/2））/（1+tan（a/2））
cos（a）=（1-tan（a/2））/（1+tan（a/2））
tan（a）=（2tan（a/2））/（1-tan（a/2））
其它公式
a*sin（a）+b*cos（a）=sqrt（a+b）sin（a+c）[其中，tan（c）=b/a]
a*sin（a）-b*cos（a）=sqrt（a+b）cos（a-c）[其中，tan（c）=a/b]
1+sin（a[标签:
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